Математический анализ / Математический анализ учебник

3.4.Несобственные интегралы

3.4.1.Несобственные интегралы с бесконечными пределами

интегрирования

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на луче x 2 [a; +1). Рассмотрим интеграл

Zb

I(b) = f(x) dx:

a

Функция I(b) определена для любого b 2 [a; +1) и является непрерывной функцией на этом промежутке.

Определение 3.4.1. Если существует конечный предел

Zb

lim f(x) dx;

b!+1

a

то он называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a; +1)(несобственным интегралом первого типа) и обозначается

Z+1

f(x) dx;

a

т.е.

Z+1 Zb

f(x) dx = lim

f(x) dx:

b!+1

aa

Аналогично определяются несобственные интегралы:

b b

	Z	lim f(x) dx;
		= a!¡1 Z
Z	¡1		a	Za
	f(x) dx =		a!¡1
+1				b
			lim	f(x) dx:
¡1			b!+1

Определение 3.4.2. Если конечный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, если конечный предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

121

y

f(x)

a o x

Рис. 3.15.

+1

Пусть f(x) > 0, тогда несобственный интеграл

f(x) dx выражает

a

площадь неограниченной фигуры, задаваемой кривойRy = f(x) и прямыми

y = 0, x = a (рис. 3.15)

Пример 3.4.1. Исследовать на сходимость интеграл

+1

b

Z0

dx

=

lim

dx

x2

+ 2x + 2

b!+1 Z0 (x + 1)2 + 1

=

¯

lim arctg(x + 1)

b=

lim (arctg(b + 1)

¡

arctg 1) =

¼

¼

=

¼

:

2

= b!+1

¯0

b!+1

¡ 4 4

Поэтому данный интеграл сходится.

+R1 dx

Пример 3.4.2. Исследовать на сходимость интеграл 1 x® . Рассмотрим случай, когда ® 6= 1, тогда

Z	x® = b!+1 Z		x¡ dx = b!+1		1 ® 1=
+1	dx		b		¡		¯	b
		lim		lim			¯
							¯

11

= b

·

= (

¡

® ¡ 1

!

1

¡

¡

¸

+

1

® < 1:

lim

b1¡®

1

; ® > 1;

1

Рассмотрим случай ® = 1

+1

dx = lim

¯

b

lim

ln b = + :

1

Z

b!+1 ln x

¯

1= b!+1

1

x

Поэтому данный интеграл расходится при ® 6 1 и сходится при ® > 1.

122

Пример 3.4.3. Исследовать на сходимость

e¡ d(¡x )1 =

Z xe¡

dx = b!+1 Z

xe¡ dx = b!+1

0¡2 Z

+1

b

b

0

x

2

0

x

2

@

1

x

2

2

A

0

lim

lim

= b!+1 µ¡

¡

¯

0¶

b!+1 µ¡

¡

¶

2

2

2

2

lim

2

1e

x2

b

=

lim

1e

b2 +

1

= 1:

¯

Поскольку lim e¡

b

интеграл сходится.

= 0, то данный¯

b!+1

Теорема 3.4.1. Если для любого x 2 [a; +1) выполняется неравен-

ство

+1

+1

0 6 f(x) 6 '(x) и интеграл

'(x) dx сходится, то интеграл f(x) dx

a

a

также сходится и

выполняется неравенство

R

R

+1

+1

Z

f(x) dx 6

Z '(x) dx:

a

a

Доказательство. Поскольку для определенного интеграла верно нера-

венство

Zb Zb

f(x) dx 6 '(x) dx;

aa

то, применяя предельный переход, получим

+1 b b +1

f(x) dx

lim

f(x) dx

lim '(x) dx = '(x) dx < +

:

Za

= b!+1 Za

6 b!+1 Za

Za

1

Пример 3.4.4. Исследовать на сходимость интеграл

+1

Z1

dx

:

x2(1 + ln x)

Заметим,

что для

любого x

2

[1; +1)

выполняется

неравенство

1

1

6

. И поскольку интеграл

x2(1 + ln x)

x2

Z

x2 = b!+1 µ¡x¶

¯1= b!+1 µ¡b + 1¶

+1

dx

1

¯

b

1

1

lim

¯

lim

= 1

123¯

сходится, то сходится и исходный интеграл

+1

Z1

dx

< 1:

x2(1 + ln x)

Теорема 3.4.2. Если для любого x 2 [a; +1) выполняется неравен-

ство

R

+

0 6 '(x)

6 f(x) и

+1

интеграл

a

'(x) dx

расходится, то интеграл

R

1

f(x) dx также расходится.

a

Пример 3.4.5. Исследовать на сходимость интеграл

+1

Z1

+ 2

xp3

dx:

x5

x + 2

x

1

Поскольку для x 2 [1; +1) выполняется

p3

>

p3

=

p3

; а интеграл

x5

x5

x2

1

3

¯

+1

+1 dx

Z

lim

3px

¯

= +

1

p3 x2 = b!+1

¯

1

+

R

расходится, то и исходный интеграл

1 (x + 2) dx

расходится.

1

p3

x5

+1

R

+1

Теорема 3.4.3. Если интеграл

a

jf(x)j dx сходится, то сходится и

интеграл

R

f(x) dx.

+1

a

R

+1

Определение 3.4.3. Если интеграл

jf(x)j dx сходится, то инте-

	a
грал	R
	f(x) dx называется абсолютно сходящимся.
	a

Пример 3.4.6. Исследовать на сходимость интеграл

Z+1

cos x x2 dx:

1

124

Поскольку ¯

cos x

¯

1

+

dx

6

при x 2 [1; +1), а интеграл

11

= 1 сходится, то

x2

x2

x2

¯

¯

+1

cos x

R

+1 cos x

сходится интеграл¯ ¯

1

¯

¯dx, а поэтому исходный интеграл

dx

x2

1 x2

сходится абсолютно.R

¯

¯

R

¯

¯

3.4.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a; c) и при x = c функция либо разрывна, либо не определена. Тогда определенный интеграл на отрезке [a; c] от функции f(x) может не существовать.

Определение 3.4.4. Если существует конечный предел

Zb

lim f(x) dx;

b!c¡0

a

то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго типа) от разрывной в точке c функции и обозначается

Zc Zb

f(x) dx = lim

f(x) dx:

b!c¡0

aa

Если конечный предел существует, то интеграл от разрывной функции называется сходящимся, в противном случае называется расходящимся. Аналогично даются определения: если функция f(x) разрывна в точке a,

то	c	c
	Z	lim	f(x) dx;
		f(x) dx = b!a+0 Z
	a	b

если f(x) разрывна в точке b 2 (a; c), то

c b1 c

Za

f(x) dx =

lim

f(x) dx +

lim

f(x) dx:

b1!b¡0 Za

b2!b+0 Z

b2

2

dx

Пример 3.4.7. Исследовать на сходимость интеграл 0

p

dx. Осо-

2 ¡ x

бенность подынтегральной функции в точке

x = 2

,

поэтому

R

2

¡

0

b

¡

p

¯

0

dx =

lim

b

dx

lim

dx

Z

b!2¡0 Z

¯

p

2 x

p

2 x

dx = ¡ b!2¡0 2 2 ¡ x

0

=

125

p

p

p

lim

(2

2

¡

b

¡

2 2) = 2

2:

= ¡ b!2¡0

Следовательно, данный интеграл сходится.

1

dx

Пример 3.4.8. Исследовать на сходимость интеграл

. Поскольку

особенность подынтегральной функции в точке x = 0, то¡R1

x2

1

dx

b

dx

1

dx

lim

lim

=

Z x2

x2

x2

= b!¡0 Z

+ a!+0 Z

b!¡0

áx

¯

1!

¡1

¡1

b!¡0

a

a

¶

1

a!+0 áx

¯a!

µ¡b ¡ 1¶+a!+0 µ¡

= lim

1

b

+ lim

1

1

=

lim

1

lim

1 +

1

=

:

¯¡

¯

¯

¯

¯

¯

Для несобственных интегралов второго типа верны теоремы о сравнении, как и для интегралов первого типа.

Теорема 3.4.4. Если на отрезке [a; c] функции f(x) и '(x) разрывны в точке c и для любого x 2 [a; c) выполняется неравенство 0 6 f(x) 6 '(x)

и интеграл Rc '(x) dx сходится, то сходится и интеграл Rc f(x) dx.

a

a

Теорема 3.4.5. Если на отрезке [a; c] функции f(x) и '(x) разрывны в точке c и для любого x 2 [a; c) выполняется неравенство 0 6 f(x) 6 '(x)

и интеграл Rc f(x) dx расходится, то расходится и интеграл Rc '(x) dx.

a

a

Теорема 3.4.6. Если функция f(x) разрывна в точке c и интеграл

Rc jf(x)j dx сходится, то сходится и интеграл Rc f(x) dx.

a a

Пример 3.4.9. Исследовать на сходимость интеграл

c

Za

dx

:

(c ¡ x)®

Рассмотрим случай, когда ® 6= 1:

b!c¡0 ¡ 1 ®

¯a

Z (c x)®

b!c¡0 Z

(c x)®

c

dx

b

dx

(c ¡ x)1¡®

b

a

¡

=

lim

a

¡

=

lim

=

¡

¯

¯

= b

µ¡

¡

1 ®

+

¡

1 ®

¶

=

8

(c a)1¡®

¯

1

¡

®

c 0

1 ¡ ®

1 ¡ ®

® > 1:

! ¡

<

;

lim

(c b) ¡

(c a)

¡

: 1

¡

; ® < 1;

126

Рассмотрим случай, когда ® = 1:

c				b
Z	dx		lim		dx		= lim (	¡	ln(c	¡	x) b ) =
	c ¡ x				c ¡ x
			= b!c¡0 Z				b!c¡0				¯a
a			a								¯

= lim (¡ ln(c ¡ b) + ln(c ¡ a)) = 1:

b!c¡0

Поэтому данный интеграл сходится при ® < 1 и расходится при ® > 1.

1

dx

Пример 3.4.10. Исследовать на сходимость интеграл

p3

2

. По-

2

x

(0; 1]

0

x

+ x

скольку для

2

R

выполняется неравенство

1

1

0 <

p3

+ x2

<

p3

;

x2

x2

а интеграл

1

dx

сходится, так как ® =

2

, то исходный интеграл также

p3

0

3

x2

сходится.

R

127

Глава 4

Функции нескольких переменных

4.1. Понятие функции нескольких переменных, предел функции нескольких переменных

Рассмотрим пространство Rn = fx = (x1; x2; : : : ; xn)g.

Определение 4.1.1. Если каждой точке (вектору) x = (x1; x2; : : : ; xn), принадлежащей некоторому множеству D ½ Rn, соответствует определенное действительное число w, то будем называть w функцией n переменных x1; x2; : : : ; xn и писать w = f(x1; x2; : : : ; xn).

p

Обозначим jxj = x21 + x22 + : : : + x2n модуль вектора x.

Определение 4.1.2. Окрестностью точки x0 2 Rn будем назы-

вать множество U"(x0) = fx 2 R : jx ¡ x0j < "g это n-мерный шар радиуса " с центром в точке x0.

На плоскости окрестность точки это открытый круг, в пространстве R3 шар без границы.

В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных z = f(x; y) и функции трех переменных u = f(x; y; z).

Определение 4.1.3. Под областью на плоскости R2 будем понимать часть плоскости, ограниченной линиями.

Определение 4.1.4. Линия, ограничивающая область D, называется границей этой области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек называется открытой. Если к области относится граница, то область называется замкнутой.

В открытую область каждая точка входит с некоторой своей окрестностью.

128

Определение 4.1.5. Область D называется ограниченной, если

найдется такое число C, что для любой точки (x; y) 2 D выполняется px2 + y2 6 C.

Аналогично, для пространства Rn под областью будем понимать некоторое тело, ограниченное поверхностями.

Определение 4.1.6. Совокупность точек x 2 Rn, для которых определяется значение функции w = f(x), называется областью определения функции f(x).

4.1.1. Геометрическое изображение функции 2-х переменных

Графиком функции z = f(x; y) является некоторая поверхность в пространстве R3. Это точки с координатами M(x; y; f(x; y)).

Пример 4.1.1. Например, графиком функции z = (x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 является эллиптический параболоид (см. рис. 4.1).

z

y

x

(x0; y0)

Рис. 4.1.

4.1.2. Частное и полное приращения функции нескольких переменных

На примере функции двух переменных z = f(x; y) рассмотрим понятия частного и полного приращения функции нескольких переменных. Функция z = f(x; y) задает поверхность в R3. Пусть точка M(x; y) принадлежит этой поверхности.

Рассмотрим пересечение поверхности z = f(x; y) плоскостью y = const, проходящую через точку M(x; y) (см. рис. 4.2). В пересечении получим кривую P S. На этой кривой изменяется только переменное x. Дадим этому переменному приращение ¢x, тогда функция z(x; y) получит приращение

¢xz = f(x + ¢x; y) ¡ f(x; y);

129

Z S y = const

	M
T		Q
	P	x = const
		Y

X

Рис. 4.2.

называемое частным приращением по x.

Аналогично, при x = const, дав переменному y приращение ¢y, получим частное приращение по y

¢yz = f(x; y + ¢y) ¡ f(x; y):

Если одновременно дать приращение ¢x по переменному x и приращение ¢y по переменному y, то получим полное приращение

¢z = f(x + ¢x; y + ¢y) ¡ f(x; y):

Аналогично дается определение частного и полного приращений для функции нескольких переменных, например, частное приращение по переменному xi есть

¢wxi = f(x1; x2; : : : ; xi + ¢xi; : : : ; xn) ¡ f(x1; x2; : : : ; xn);

где все переменные, кроме i-ого, равны константам. Полное приращение есть

¢w = f(x1 + ¢x1; x2 + ¢x2; : : : ; xn + ¢xn) ¡ f(x1; x2; : : : ; xn):

4.1.3. Предел функции нескольких переменных

Пусть дана функция w = f(x1; x2; : : : ; xn) в области D ½ Rn. И пусть точка x0 = (x01; x02; : : : ; x0n) 2 D. Рассмотрим ±- окрестность точки x0

U±(x0) = fx 2 D : jx ¡ x0j < ±g;

p

где jx ¡ x0j = (x1 ¡ x01)2 + (x2 ¡ x02)2 + : : : + (xn ¡ x0n)2:

130