Математический анализ / Математический анализ учебник

5.3.4. Сферические координаты

Сферические координаты задаются следующими уравнениями:

8

< x = ½ cos ' cos µ y = ½ sin ' cos µ

: z = ½ sin µ;

здесь

½ длина радиус-вектора точки P , т.е. расстояние от начала координат до точки P ;

V

V 0

f(x; y; z) dxdydz =

f(½; '; z)½ d½d'dz:

где jIj модуль якобиана перехода

¯

@x

@x

@x

¯

@u

@v

@t

@y

@y

@y

I = ¯

¯

¯

¯

¯

¯

@u

@v

@t

¯

@z

@z

@z

¯

¯

:¯

@u

@v

@t

¯

¯

¯

¯

переменных в тройном

Рассмотрим некоторые частные¯

случаи замены¯

интеграле.

¯

¯

5.3.3. Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты задаются уравнениями

x = ½ cos '

8 y = ½ sin '

< z = z;

где '; ½ полярные координаты точки M проекции точки P на плос-

:

кость XOY . Вычислим якобиан перехода от декартовой системы координат

к цилиндрической:

¯

@x

@x

@x

¯

@½

@'

@z

cos '

¡

½ sin '

0

cos '

½ sin '

¯

@y

@y

@y

¯

I = ¯

¯ =

¯

sin '

½ cos '

0

¯

=

sin '

¡

= ½;

¯

@½ @'

@z

¯

0

0

¯

½ cos '

¯

¯

1¯

¯

@z

@z

@z

¯

¯

¯

¯

¯

¯

@½

@'

@z

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

поэтому ¯

¯

¯

ZZZ

¯

ZZZ

'угол между проекцией радиус-вектора точки P на плоскость XOY

иосью OX;

181

-z

x2 + y2 = 3z

y

xx2 + y2 + z2 = 4

Рис. 5.13.

µ угол между радиус-вектором точки P и его проекцией на плоскость

XOY .

переменные изменяются в следующих пределах: 0

6

½ < + ,

Данные

¼

¼

1

0 6 ' < 2¼, ¡

6 µ 6

. Вычислим якобиан перехода от декартовой

2

2

системы координат к сферической системе координат

¯

sin µ

0

¡ ½ cos µ

¯

¯

cos ' cos µ

¡½ sin ' cos µ

½ cos ' sin µ

¯

I =

¯

½ cos ' cos µ

¡½ sin ' sin µ

¯

= ½2 cos µ:

¯sin ' cos µ

¯

¯

¯

Тогда

¯

¯

ZZZ f(x; y; z) dxdydz = ZZZ f(½; '; µ)½2 cos µ d½d'dµ:

V

V 0

Пример 5.3.2. Вычислить объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 4 и параболоидом x2 + y2 = 3z (рис. 5.13). Найдем проекцию тела на плоскость XOY . Имеем

4 ¡ z2 = 3z; z2 + 3z ¡ 4 = 0; z1 = ¡4; z2 = 1;

поэтому проекцией будет круг x2 + y2 = 3 радиуса p3. Перейдем в цилиндрическую систему координат

8

< x = ½ cos '

y = ½ sin '

:z = z:

182

Объем можно искать, в силу симметрии тела, только в первой четверти,

поэтому 0 6 ' 6

¼

, 0 6 ½ 6 p

. Нижней границей по оси OZ будет

3

2

1

½2, а верхней сфера z = p4 ¡ ½2. Тогда

параболоид z =

3

p

p

p

¼

4

¡

½2

¼

V = ZZZ

2

3

2

d' Z

3

d½ =

dxdydz = 4 Z

d' Z ½ d½

1Z2

dz = 4 Z

½ 4 ¡ ½2¡3½2

1

V

0

0

3 ½

0

0

³p

´

¼

p

¼

3

= 2 Z d' Z

( 4 ¡ ½2 ¡ 3½2) d(½2) = 2 Z

¡

3 (4 ¡ ½2)3 ¡ 6½4

0 d' =

2

1

2

³

2

1

´¯

p3

0

0

p

0

p

¯

¼

¯

= 2 Z

¡

+

¡

d' =

'

¯

0 =

¼:

3

3

2

3

6

0

³

´

2

1

16

3

19

¯

¼

19

2

¯

5.4. n-мерные интегралы

Рассмотрим ограниченную область D ½ Rn, и пусть функция

f(x) = f(x1; x2; : : : ; xn) определена и непрерывна на D. Определим интеграл от функции f(x) по области D.

1.Проведем разбиение области D (n¡1)-мерными гиперповерхностями на конечное число подобластей Vj, j = 1; 2; : : : ; n.

2.Пусть существует n-мерный объем этих подобластей, равный ¢Vj.

3.Выберем в каждой подобласти точку P (xj) = P (xj1; xj2; : : : ; xjn).

4.Составим интегральную сумму

Xn

Vn = P (xj)¢Vj:

j=1

Обозначим dj диаметр подобласти Vj, т.е. ее наибольший линейный размер.

Определение 5.4.1. n-мерным интегралом по области D ½ Rn от функции f(x) = f(x1; x2; : : : ; xn) называется предел интегральных сумм

		n
		Xj
lim Vn =	lim	P (xj)¢Vj;
max dj!0	max dj!0	=1
	183

не зависящий от способа разбиения области D на частичные подобласти

и выбора точек P (xj), и обозначается

Z ZZ Z

f(x)dx = ¢ ¢ ¢ f(x1; x2; : : : ; xn) dx1dx2 ¢ ¢ ¢ dxn:

DD

Теорема 5.4.1. Пусть функция f(x1; : : : ; xn) непрерывна в области D и область D удовлетворяет условию, что любая прямая, параллельная оси Oxn, пересекает ее границу не более чем в 2-х точ-

ках '1(x1; x2; : : : ; xn¡1) и '2(x1; x2; : : : ; xn¡1) (т.е. область D ограничена (n ¡ 1)-мерными поверхностями xn = '1(x1; x2; : : : ; xn¡1) и xn =

'2(x1; x2; : : : ; xn¡1)), тогда

ZZ Z

¢ ¢ ¢ f(x1; : : : ; xn) dx1dx2 ¢ ¢ ¢ dxn =

		D
= ZZ ¢ ¢ ¢	Z		'	(x	;:::;x		)
		dx1 ¢ ¢ ¢ dxn¡1	2	1Z		n¡1	f(x1; : : : ; xn) dxn;
Dn¡1			'1(x1;:::;xn¡1)
где Dn¡1 проекция		области D	на		координатную гиперплоскость
Ox1x2 ¢ ¢ ¢ xn¡1.

Замечание 5.4.1. Если проекция Dn¡1 ством по отношению к xn¡1 и так далее,

интеграл к n-кратному интегралу

ZZ Z

опять обладает этим свойто можно свести n-мерный

				¢ ¢ ¢	f(x1; : : : ; xn) dx1 ¢ ¢ ¢ dxn =
				D
	'n¡1(x )			'n¡2(x		;x )	'1		(x ;:::;x		)
= Zb dx1	n2 Z1	1	dx2	n2 2 Z	1	2 dx3 ¢ ¢ ¢ 1		2	1Z	n¡1	f(x1; : : : ; xn) dxn:
a	'1 ¡ (x1)			'1 ¡ (x1;x2)			'1	(x1;:::;xn¡1)

Свойства n-мерного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла, и мы их не будем повторять.

5.5. Кривые и поверхности второго порядка

Данный материал дается в качестве дополнительного. Рассмотрим кривые второго порядка на плоскости. Общее уравнение кривых второго порядка имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0:

184

y

y2

x2

x2

y2

¡

= 1

b

+

= 1

b2

a2

a2

b2

x2

y2

¡

= 1

a2

b2

.o a x

Рис 5 14			/Рис. 5.15.
Если определитель	¯B		C	¯	6= 0;
± =
	¯	A	B	¯
	¯			¯
	¯			¯

то с помощью переноса и поворота системы координат общее уравнение сводится к одному из канонических видов.

5.5.1. Кривые второго порядка

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса имеет вид (рис. 5.14)

x2		y2
	+				= 1;
2			b	2
a

где a большая полуось; b малая полуось эллипса.

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид (рис. 5.15)

x2	y2
	¡		= 1;
a2		b2

где a действительная полуось; b мнимая полуось гиперболы. Уравнение сопряженной гиперболы есть

y2	x2		= 1:
	¡
b2		a2
	185

0y

y2 = ¡2px

y2 = 2px

¡p=2 p=2 x

Рис. 5.16.

Асимптотами этих гипербол являются прямые y = §ab x.

Парабола

Каноническое уравнение параболы имеет вид (рис. 5.16) y2 = 2px; p > 0:

Другими каноническими уравнениями параболы являются уравнения y2 = ¡2px; x2 = 2px; x2 = ¡2px:

5.5.2. Поверхности второго порядка

Рассмотрим поверхности второго порядка (рис. 5.17-5.25).

Эллипсоид

Каноническое уравнение эллипсоида (рис. 5.17) имеет вид

	x2	+	y2	+	z2	= 1;
	a2		b2		c2

здесь a; b; c полуоси эллипсоида.

Однополостной гиперболоид

Однополостные гиперболоиды (рис. 5.18) имеют следующие уравнения:

x2			y2						z2
		+					¡				= 1;
a2				b2						c2
x2			z2					y2
		+				¡					= 1;
a2				c2					b2
y2		z2					x2
	+				¡						= 1:
b2			c2					a2
					186

Двуполостной гиперболоид

Двуполостные гиперболоиды (рис. 5.19) имеют следующие уравнения:

x2		+		y2			¡		z2		= ¡1;
a2				b2						c2
x2		+		z2				y2			= ¡1;
						¡
a2				c2					b2
y2			z2				x2
	+				¡						= ¡1:
b2			c2					a2

Эллиптический параболоид

Эллиптические параболоиды (рис. 5.20) имеют следующие уравнения:

2z = x2 + y2 ; p q

2y = x2 + z2 ; p q

2x = y2 + z2 : p q

Гиперболический параболоид

Гиперболические параболоиды (рис. 5.21) имеют следующие уравнения:

2z = x2 ¡ y2 ; p q

2y = x2 ¡ z2 ; p q

2x = y2 ¡ z2 : p q

Конусы второго порядка

Конусы второго порядка (рис. 5.22) имеют следующие уравнения:

x2				y2						z2
		+					¡				= 0;
a2				b2						c2
x2				z2					y2
		+				¡					= 0;
a2				c2					b2
y2			z2					x2
	+				¡						= 0:
b2			c2					a2
		187

Цилиндры второго порядка

В пространстве R3 уравнение f(x; y) = 0 задает цилиндрическую поверхность, образующая которого прямая параллельная оси OZ, а направляющая кривая, лежащая в плоскости XOY . Аналогично, уравнение f(x; z) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси OY и направляющей кривой в плоскости XOZ, а уравнение f(y; z) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси OX и направляющей кривой в плоскости Y OZ. Поэтому уравнения всех кривых второго порядка задают в пространстве R3 цилиндрические поверхности. Рассмотрим некоторые из них.

Эллиптический цилиндр

Эллиптические цилиндры (рис. 5.23) задаются в пространстве уравнения-

ми

x2

+

y2

= 1;

y2

+

z2

= 1;

x2

+

z2

= 1:

a2

b2

b2

c2

a2

c2

Гиперболический цилиндр

Гиперболические цилиндры (рис. 5.24), например, могут задаваться урав-

нениями

x2

y2

y2

z2

x2

z2

¡

= 1;

¡

= 1;

¡

= 1

a2

b2

b2

c2

a2

c2

и уравнениями, сопряженными к ним.

Параболический цилиндр

Параболические цилиндры (рис. 5.25) задаются уравнениями y2 = 2px; x2 = 2pz; z2 = 2py:

188

			z	x	+	y	¡	z2	= 1
				a		b		c2
17z 2 2		2
c	xa2 + yb2 + zc2		= 1
			c		b
	b		a				y
a	y
			x
x
Рис. 5. .			2Рис. 5.18.

2	2	2
3z xa2 + yb2 ¡ zc2			= ¡1	z	2z =	x2	+	y2
						p		q
c	b
a		y					y
x				x

Рис. 5.19.

4Рис. 5.20.

189

z x2

+

y2

¡

z2

= 0

a2

b2

c2

2z =

x2

¡

y2

p

q

5z

y

x

x

y

7Рис. .21.

6Рис. 5.22.

z x2

y2

y2

z2

a2

+ b2 = 1

z a2

¡ b2

= 1

y

y

x

x

Рис. 59.23. 8Рис. 5.24.

z x2 = 2py

y

x

Рис. 5.25.

190