Математический анализ / Математический анализ учебник

Пример 7.1.2. Рассмотрим геометрическую прогрессию

a + aq + aq2 + : : : + aqn¡1 + : : : =

1

aqn¡1;

(7.2)

n=1

где a = const 6= 0.

X

Сумма Sn первых n чисел равна (q 6= 1)

1

qn

a

aq

n

Sn =

a¡1 ¡ q

¢

=

¡

:

1 q

1

q

¡

¡

¡

Рассмотрим четыре случая.

1. Если

q < 1, то qn

n

0, следовательно,

j j

¡¡¡¡!

!1

aqn

lim

lim

a

=

a

µ1 ¡ q

1 ¡ q :

n!1 Sn

= n!1

¡ 1 ¡ q ¶

a

Значит, при jqj < 1 ряд (7.2) сходится и его сумма равна S =

.

1 q

q > 1, то qn

a 1 ¡ q

n

¡

2. Если

и тогда

; т.е. предела

n

¡1 ¡ q

¢

n

j j

¡¡¡¡!1! 1

¡¡¡¡!1! 1

n-частичных сумм Sn не существует и ряд (7.2) расходится.

3. Пусть q = 1. Тогда ряд (7.2) имеет вид

a + a + a + : : : :

Поэтому Sn = na и nlim Sn = nlim na = 1, т.е. ряд (7.2) расходится.

!1

!1

4. Пусть q = ¡1. Тогда ряд (7.2) имеет вид

В этом случае

a ¡ a + a ¡ : : : :

0; n = 2k

1;

k = 1; 2; 3; : : : :

Sn = (a; n = 2k

¡

Поэтому n-частичные суммы Sn предела не имеют и ряд (7.2) расходится.

7.1.1. Действия над рядами

Теорема 7.1.1. Если сходится ряд

X1

un = u1 + u2 + : : : + un + : : : ;	(7.3)
n=1
то сходится и ряд
uk+1 + uk+2 + : : : ;	(7.4)
241

полученный из ряда (7.3) отбрасыванием первых k членов, и обратно, если сходится ряд (7.4), то сходится и ряд (7.3).

Доказательство. Обозначим ck = u1 + u2 + : : : + uk сумму первых k чисел. Пусть Sn частичная сумма ряда (7.3); ¾n частичная сумма ряда (7.4) при n > k. Тогда Sn = ck + ¾n. Поэтому если ряд (7.3) сходится,

то существует

S =

lim Sn =

lim (ck + ¾n) = ck + lim ¾n:

n!1

n!1

n!1

Тогда существует ¾ = nlim!1 ¾n = S ¡ ck, и ряд (7.4) сходится.

И наоборот, если существует ¾ =

lim ¾n, то существует

n!1

lim Sn = lim (ck + ¾n) = ck + lim ¾n = ck + ¾ = S;

n!1

n!1

n!1

и ряд (7.3) сходится.

nP

P

1

1

Теорема 7.1.2. Если ряды

1

un и

1

vn сходятся и a = const, то

nP

P

=1

n=1

ряды =1 aun и n=1(un § vn) также сходятся и

1

1

X

=

X

aun

a

un

n=1

n=1

1

1

1

X

X

X

(un § vn)

=

un §

vn:

(7.5)

n=1

n=1

n=1

Доказательство. Справедливость этой теоремы следует из справедли-

вости этих фактов для конечных сумм. Действительно,

1

n

n

1

X

X

X

X

aun = lim

auk = a lim

uk = a un

n=1

n!1

n!1

n=1

k=1

k=1

и

1

n

n

n

1

1

X

X

X

X

X

X

(un §vn) = nlim

(uk §vk) = nlim

uk §lim vk =

un §

vn:

n=1

!1

!1

n=1

n=1

k=1

k=1

k=1

Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (7.5), не следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа в (7.5).

Пример 7.1.3. Ряд (1 ¡ 1) + (1 ¡ 1) + : : : сходится, поскольку все его

члены равны 0, но ряды P1 1 и ¡ P1 1 расходятся.

n=1 n=1

242

Замечание 7.1.1. В сходящемся ряде можно члены группировать как

угодно, например, (u1 + u2) + (u3 + u4 + u5) + u6 + : : :, он останется сходящимся. А вот раскрывать скобки, если они есть, нельзя, ряд может

начать расходиться.

7.1.2. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 7.1.3. Если ряд (7.3) сходится, то его n-член стремится к нулю при n ! 1, т.е.

				lim un = 0:
				n!1
				1
	Доказательство. Пусть ряд un = S сходится, т.е. lim Sn = S. Тогда
и lim Sn			1 = S. Получим	nP		n	!1
		¡		=1
n	!1
	0 = S ¡ S = nlim Sn			¡ nlim Sn¡1	= nlim (Sn ¡ Sn¡1) = nlim un;
			!1	!1	!1		!1

поскольку un = Sn ¡ Sn¡1. Поэтому lim un = 0.

n!1

Следствие 7.1.1. Если n-член ряда не стремится к нулю при n ! 1, то ряд расходится.

Пример 7.1.4. Рассмотрим ряд

X1 2n :

n=1 n + 1

Поскольку un =	2n	, то
	n + 1
nlim un = nlim			2n	= nlim	2	= 2 6= 0:
			n + 1		1
!1		!1		!1	1 + n

Поэтому исходный ряд расходится.

Пример 7.1.5. Рассмотрим ряд P1 n, поскольку lim n = 1, то ряд

расходится.	n=1	n!1

Замечание 7.1.2. Этот признак является необходимым, но не явля-

ется достаточным, поскольку, если lim un = 0, то отсюда не следует,

n!1

что ряд P1 un сходится, он может расходиться.

n=1

243

Пример 7.1.6. Гармонический ряд

Рассмотрим ряд

X1 n1 = 1 + 12 + 13 + : : : + n1 + : : : :

n=1

Предел n-члена ряда lim 1 = 0, но ряд расходится. Докажем это.

n!1 n

Напишем гармонический ряд

		1				1						1											1						1							1					1							1								1
	1 +				+							+										+						+				+								+						+							+ : : : +								+ : : : :	(7.6)
			2				3											4						5						6								7					8						9							16
Напишем						|							{z						}				|											{z										}				|						{z				}
								2 чл.																						4 чл.																							8 чл.
	вспомогательный ряд
		1				1						1											1						1							1					1							1								1
	1 +				+									+							+							+				+								+						+							+ : : : +								+ : : : :	(7.7)
		2				4										4							8						8								8				8							16									16
												{z					}					|											{z									}					|							{z					}
					|2
												чл.																	4 чл.																								8 чл.

Пусть Sn сумма n первых членов ряда (7.6), а ¾n сумма n первых членов ряда (7.7). Для n > 2 имеем Sn > ¾n, поскольку члены первого ряда больше либо равны членам второго ряда. Для ряда (7.7) имеем:

¾2 = 1 +	1		= 1 + 1 ¢					1		;
		2						2					1
	1		1			1
:¾:4: =: : :1:+: : :2:			:+: :³: :4: :+: :						´: : =: : :1: +: : :2 ¢					;
							4:						2
			1
¾2k = 1 + k ¢					:
				2
Поэтому												= 1:
k!1 ¾2 = k!1³1 + k 2´
lim				lim				1
	k

Поскольку последовательность f¾2k g1k=1 есть подпоследовательность по-

следовательности f¾ng1 , то lim ¾n = 1. Поэтому ряд (7.7) расходится.

n=1 n!1

Поскольку Sn > ¾n, то и lim Sn = 1, следовательно, гармонический

n!1

ряд (7.6) также расходится.

7.2. Числовые ряды с положительными членами

Определение 7.2.1. Ряд

X1

un;

n=1

244

если un > 0 для любого натурального n, называется рядом с положительными членами.

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

X1

un = u1	+ u2 + : : : + un + : : : ;	(7.8)
n=1
1
X
vn = v1	+ v2 + : : : + vn + : : : :	(7.9)

n=1

Теорема 7.2.1 (Признак сравнения). Пусть члены ряда (7.8) не больше членов ряда (7.9), т.е. un 6 vn для любого n = 1; 2; 3; : : :, тогда:

1)если ряд (7.9) сходится, то сходится и ряд (7.8),

2)если ряд (7.8) расходится, то расходится и ряд (7.9).

Доказательство. Обозначим n-частичные суммы рядов (7.8), (7.9), соответственно, Sn и ¾n. Поскольку un 6 vn, то Sn 6 ¾n.

Докажем первое утверждение. Если ряд (7.9) сходится, то существует

lim ¾n = ¾. Члены обеих рядов положительны, поэтому последователь-

n!1

ность f¾ng монотонно возрастает, а значит, ¾n < ¾, тогда и Sn < ¾n < ¾. Получили, что последовательность fSng ограничена сверху и монотонно

возрастает, поэтому существует lim Sn = S. Значит, ряд (7.8) сходится.

n!1

Докажем второе утверждение. Из условия теоремы имеем un 6 vn, тогда Sn 6 ¾n. Поскольку ряд (7.8) с положительными членами, то Sn

монотонно возрастает, и поскольку он расходится, то lim Sn = 1. Но тогда и n!1

lim ¾n = 1, а значит, и ряд (7.9) расходится.

n!1

Пример 7.2.1. Исследовать на сходимость ряд

1

1

X

:

n

n

n=1

Рассмотрим вспомогательный ряд 1

1

. Обозначим un =

1

и vn =

1

.

2n

nn

=1

1

1

2n

nP

1

nP

При n > 2 имеем un < vn. Поскольку ряд

=1

2n

есть геометрическая

прогрессия со знаменателем q =

< 1, то он сходится, а значит, сходится

2

nP

и ряд 1

1

.

nn

=1

245

Пример 7.2.2. Исследовать на сходимость ряд

X1 1

n=1 pn:

Рассмотрим вспомогательный гармонический ряд P1 1 . Он расходится.

1 1

n=1 n

А поскольку для un = n и vn = pn выполняется un 6 vn для любого

nP

1

натурального n, то ряд

1

также расходится.

=1 p

n

Следствие 7.2.1 (Предельный признак сравнения). Если существует

0 < nlim

un

= A < +1;

v

n

nP

P

!1

то ряды

1

un и

1

vn сходятся или расходятся одновременно.

=1

n=1

Пример 7.2.3. Исследовать на сходимость ряд

1

n + 2

X

:

n=1

n2 + 3

Рассмотрим вспомогательный ряд

1 1

, который расходится. Поскольку

=1

n

для un =

n + 2

и vn =

1

nP

lim

(n + 2)n

=

lim

n2

+ 2n

= 1,

существует

n2

+ 3

n

n2 + 3

n!1

n!1 n2 + 3

то исходный ряд также расходится.

7.2.1. Признак Даламбера

Теорема 7.2.2. Пусть для ряда

1

un с положительными членами

существует

=1

nP

lim un+1 = l;

n!1 un

то:

1)если l < 1, то ряд сходится;

2)если l > 1, то ряд расходится;

3)если l = 1, то ряд надо исследовать по другому признаку.

246

Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть l < 1. Возьмем

число l < q < 1. Поскольку l = lim un, то из определения предела следует,

n!1

что, начиная с некоторого номера N, выполняется

un+1 < q для любого n > N: un

Тогда

uN+1 uN+2

uN+3

и т.д.

<quN

<quN+1 < q2uN

<quN+2 < q3uN

Рассмотрим два ряда:
u1 + u2 + : : : + uN + uN+1 + uN+2 + uN+3 + : : : ;	(7.10)
uN + quN + q2uN + q3uN + : : : :	(7.11)

Ряд (7.11) есть геометрическая прогрессия со знаменателем q < 1, поэтому он сходится. Начиная с номера N, члены ряда (7.10) меньше либо равны членов ряда (7.11), поэтому по признаку сравнения исходный ряд (7.10) также сходится.

Докажем второе утверждение. Пусть l > 1. Поскольку l = lim un+1 ,

n!1 un

то, начиная с некоторого номера N, дробь un+1 > 1 при n > N, т.е. un

un+1 > un. Поэтому общий член исходного ряда не стремится к нулю, а значит, по необходимому признаку ряд расходится.

Замечание 7.2.1. Признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимости ряда только тогда, когда этот предел существует и отличен от 1. В остальных случаях ряд может и сходиться и расходиться.

Пример 7.2.4. Исследовать на сходимость ряд

1

n

X

:

n=1

3n+1

Поскольку un =

n

, un+1 =

n + 1

и

3 n+1

3n+2

un+1

n + 1

3n+1

(n + 1)3n+1

1

nlim

= nlim

¢

= nlim

=

< 1;

u

3n+2

n

n3n+2

3

!1

n

!1

!1

то ряд сходится.

247

Пример 7.2.5. Исследовать на сходимость ряд

1

2n

X

:

n=1

(n + 1)!

2n

2n+1

Поскольку un =

, а un+1 =

, то

(n + 1)!

(n + 2)!

lim

un+1

=

lim

2n+1(n + 1)!

= lim

2 ¢ 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ n ¢ (n + 1)

=

1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ n ¢ (n + 1) ¢ (n + 2)

n!1

un

n!1

2n(n + 2)!

n!1

=

lim

2

= 0 < 1:

n!1 n + 2

Поэтому исходный ряд сходится.

Пример 7.2.6. Исследовать на сходимость ряд

1

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1):

X

n=1

n!

Имеем un =

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1)

, а un+1

=

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1) ¢ (3n + 2)

,

тогда

n!

(n + 1)!

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1) ¢ (3n + 2)n!

lim

un+1

= lim

=

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1)(n + 1)!

n!1

un

n!1

=

lim

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1) ¢ (3n + 2) ¢ 1 ¢ 2 : : : ¢ n

=

2 ¢ 5 ¢ 8 : : : ¢ (3n ¡ 1) ¢ 1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ n ¢ (n + 1)

n!1

= lim 3n + 2 = 3 > 1:

n!1 n + 1

Поэтому исходный ряд расходится.

Пример 7.2.7. Исследовать на сходимость ряд Дирихле

X1 1

n=1 np ;

где p > 0. Имеем

lim un+1 = lim µn + 1¶p = 1:

n!1 un n!1 n

Поэтому о сходимости ряда ничего сказать нельзя, его надо исследовать с помощью других признаков.

248

7.2.2. Признак Коши

Теорема 7.2.3. Пусть дан ряд с положительными членами

X

un = u1 + u2 + : : :

n!1

p

и существует lim n un = l; тогда:

n!1

1)если l < 1, то ряд сходится;

2)если l > 1, то ряд расходится;

3)если l = 1, то ряд надо исследовать с помощью других признаков.

Доказательство. 1. Пусть l < 1. Возьмем число l < q < 1. Начиная с

			n	для
n
некоторого номера N выполняется неравенство pun < q или un < q
всех n > N. Рассмотрим два ряда:
u1 + u2 + : : : + uN + uN+1 + uN+2 + : : : ;			(7.12)
qN + qN+1 + qN+2 + : : : :			(7.13)

Поскольку q < 1, то ряд (7.13) сходится как геометрическая прогрессия. Поскольку, начиная с номера N, члены ряда (7.12) меньше членов ряда (7.13), то по признаку сравнения исходный ряд сходится.

p 2. Пусть l > 1. Тогда начиная с некоторого номера N выполняется n un > 1 или un > 1 при n > N. Поэтому общий член ряда не может стремиться к нулю, а значит, по необходимому признаку ряд расходится.

Пример 7.2.8. Исследовать на сходимость ряд

1

n

n

X

µ

¶ :

n=1

2n + 1

n

n

Поскольку un = µ

¶ , то

2n + 1

nlim

pun = nlim

s

2n + 1

n

= nlim 2n + 1

= 2 < 1:

n

n

µ

n

¶

n

1

!1

!1

!1

Поэтому этот ряд сходится.

Пример 7.2.9. Исследовать на сходимость ряд

n=1

µn + 1

¶

:

1

3n

2n

X

249

Поскольку un = µ

3n

¶

2n

, то

n + 1

¶

!1 µ

¶

!1

!1

s

µ

2n

2

nlim

pun = nlim

n + 1

= nlim n + 1

= 9 > 1:

n

n

3n

3n

Поэтому исходный ряд расходится.

Пример 7.2.10. Исследовать на сходимость ряд

X1 1

n=1 np

при p > 0. Имеем

p

n

n

1

Ã

n

1

!

p

r

nlim

pun = nlim

np

= nlim

n

= 1

= 1:

!1

!1 r

!1

Поэтому этот ряд надо исследовать с помощью других признаков.

7.2.3. Интегральный признак сходимости числового ряда

Теорема 7.2.4. Пусть члены ряда

X1

= u1 + u2 + : : : + un + : : :

(7.14)

n=1

положительны и не возрастают, т.е.

u1 > u2 > u3 > : : : > 0;

и пусть f(x) > 0 непрерывно убывающая функция такая, что

f(1) = u1; f(2) = u2; : : : ; f(n) = un; : : : :

Тогда:

1) если несобственный интеграл +R1f(x) dx сходится, то ряд (7.14)

1

также сходится;

2) если несобственный интеграл +R1f(x) dx расходится, то ряд (7.14)

1

также расходится.

Доказательство. Поскольку частичные суммы ряда являются интегральными суммами для несобственного интеграла, то они ведут себя одинаково.

250