Математический анализ / Математический анализ учебник

Подставляя найденные производные в уравнение, получим

2A cos x¡2(2Ax+B) sin x¡(Ax2 +Bx) cos x++2C sin x+2(2Cx+D) cos x¡ ¡(Cx2 + Dx) sin x + (Ax2 + Bx) cos x + (Cx2 + Dx) sin x = 8x cos x + 2 sin x:

Приравняем коэффициенты при функциях x cos x, x sin x, cos x, sin x, получим систему

x cos x	4C=8
x sin x	-4A=0
cos x	2A + 2D = 0
sin x	¡2B + 2C = 2:

Решая систему, найдем A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. Тогда y¤ = x cos x + 2x2 sin x:

3. Общее решение имеет вид

y= C1 cos x + C2 sin x + x cos x + 2x2 sin x:

6.14.Решение систем обыкновенных дифференциальных

									уравнений
	Рассмотрим решение систем на системах двух уравнений с двумя неиз-
вестными функциями.
	Пусть дана система
						>	dy
							dz		= g(x; y; z);
						< dx			= f(x; y; z)	(6.12)
						8 dx
						:
где	y	,	z	искомые	функции; x аргумент.
						>

Проинтегрировать систему (6.12) значит, определить функции y и z, удовлетворяющие этой системе и начальным условиям y(x0) = y0, z(x0) = z0.

Определение 6.14.1. Система вида (6.12), у которой в левой части производные первого порядка, а правая часть не содержит производных, называется нормальной системой.

Рассмотрим метод решения таких систем метод сведения к уравнению более высокого порядка.

1. Продифференцируем по x первое уравнение:

d2y

=

@f

+

@f dy

+

@f dz

:

dx2

@x

@y dx

@z dx

231

2.

Заменив

dy

и

dz

на функции f и g, будем иметь

dx

dx

d2y

=

@f

+

@f

f +

@f

g:

(6.13)

dx2

@x

@y

@z

3.

Выразим z из первого уравнения системы (6.12):

dy

z = '³x; y;

´:

(6.14)

dx

4. Подставив z в уравнение (6.13), получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции y. Решая его, найдем

y= Ã(x; C1; C2):

5.Подставим найденное y в выражение (6.14):

z = Â(x; C1; C2):

Таким образом, мы получили общее решение исходной системы. Чтобы получить частное решение, надо подставить начальные условия в общее

решение и определить константы C1 и C2.

Пример 6.14.1. Найти общее решение системы

3

¡

¡

8dx = 1 + 4x ¡ 2y ¡ 4z

или

y0

=

2

<

dy

<

2

¡

>

dz

3

8z0

1 + 4x

2y

4z

=

x2

¡

y + z:

=

x

y + z:

>dx

2

:

:

1. Продифференцируем первое уравнение системы по x: y00 = 4 ¡ 2y0 ¡ 4z0:

2. Подставим y0 и z0 из системы в это уравнение:

y00 = 4 ¡ 2(1 + 4x ¡ 2y ¡ 4z) ¡ 4³32x2 ¡ y + z´ = 2 ¡ 8x ¡ 6x2 + 8y + 4z:

3). Выразим из первого уравнения системы z:

z = 1 + 4x ¡ 2y ¡ y0 ;

4

тогда будем иметь

y00 = 2 ¡ 8x ¡ 6x2 + 8y + 1 + 4x ¡ 2y ¡ y0

или

y00 + y0 ¡ 6y = ¡6x2 ¡ 4x + 3:

232

Решим это уравнение. Поскольку корни характеристического уравнения k2 + k ¡ 6 = 0 равны k1 = ¡3, k2 = 2, то общее решение однородного уравнения имеет вид

y¹ = C1e¡3x + C2e2x:

Так как a = 0, n = 2 и a 6= k1;2, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y¤ = Ax2 + Bx + C:

Поскольку

y¤0 = 2Ax + B; y¤00 = 2A;

то

2A + 2Ax + B ¡ 6(Ax2 + Bx + C) = ¡6x2 ¡ 4x + 3:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

2		¡6A = ¡6
x1
x0		2A ¡ 6B = ¡4
x		2A + B ¡ 6C = 3:

Решая эту систему, найдем A = 1, B = 1, C = 0. Тогда частное решение имеет вид y¤ = x2 + x. И общее решение будет

y= C1e¡3x + C2e2x + x2 + x:

4.Найдем функцию z. Для этого найдем y0 = ¡3C1e¡3x+2C2e2x+2x+1.

Тогда

z = 1 + 4x ¡ 2y ¡ y0 = 4

=

1 + 4x ¡ 2C1e¡3x ¡ 2C2e2x ¡ 2x2 ¡ 2x + 3C1e¡3x ¡ 2C2e2x ¡ 2x ¡ 1

=

4

=

C1

e¡3x ¡ C2e2x ¡

x2

:

4

2

5. Общее решение исходной системы имеет вид

y = C1e¡3x + C2e2x + x2 + x

8

C1

3x

2x

x2

<z =

e¡

C2e

:

4

2

:

¡233

¡

6.14.1. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

	Рассмотрим нормальную однородную систему двух уравнений первого
порядка
						dy
					<dx
					8	dx		= a11y + a12z	(6.15)
					>dz			= a21y + a22z;
			= const		:
	a				(6.15) можно решать предыдущим способом. Рас-
где		ij		. Систему	>

смотрим другой способ решения таких систем.

Поскольку система однородная, то ее решением и для y, и для z является сумма линейно независимых частных решений с произвольными константами. Будем искать частные решения этой системы в виде

y = ®ekx; z = ¯ekx:

Требуется найти ®, ¯ и k так, чтобы y и z удовлетворяли исходной системе.

Подставим их в систему (6.15), получим

(

k®ekx = (a11® + a12¯)ekx k¯ekx = (a21® + a22¯)ekx:

Сокращая ekx и перенося все в одну сторону, будем иметь
(a11 ¡ k)® + a12¯ = 0			(6.16)
(a21® + (a22	¡	k)¯ = 0:

Выберем ®, ¯ и k так, чтобы они удовлетворяли системе (6.16). Составим

определитель этой системы:

¯

a21

a22

k¯

¡

¯

¡ k

¯

¢(k) =

¯

a11

a12

¯

:

Ненулевое решение у системы (6.16)¯

будет только¯в том случае, если ¢(k) =

0. Поэтому

a21

a22

k¯

¡

¡

¡

¯

¡

¯

a11 ¡ k

¯

= (a11

k)(a22

k) a12a21 = 0:

¯

¯

¯

¯

Получим уравнение второго порядка для нахождения k.

Определение 6.14.2. Определитель			a22		k¯
	¯	a21		¡
	¯	a11 ¡ k			¯
¢(k) =	¯		a12		¯
		234
	¯				¯

называется характеристическим определителем системы (6.15), а уравнение

(a11 ¡ k)(a22 ¡ k) ¡ a12a21 = 0

характеристическим уравнением системы (6.15). Его корни k1 и k2 называются характеристическими корнями.

Рассмотрим 3 случая.

I. Корни k1, k2 действительны и не равны, т.е. k1 6= k2.

Для корня k1 составим систему (6.16):

(

(a11 ¡ k1)® + a12¯ = 0 a21® + (a22 ¡ k1)¯ = 0:

Эта система имеет ранг, равный 1, поэтому мы сами выбираем любое ®1 =6 0, тогда ¯1 находим из этой системы. Поэтому для корня k1, получим частные решения:

y1 = ®1ek1x; z1 = ¯1ek1x:

Аналогично, для корня k2 составим систему (6.16), найдем ®2 и ¯2 и частные решения

y2 = ®2ek2x; z = ¯2ek2x:

Очевидно, что частные решения y1 и y2, а также z1 и z2 линейно независимы, поскольку k1 6= k2.

Поэтому общее решение исходной системы будет иметь вид

(

y = ®1C1ek1x + ®2C2ek2x z = ¯1C1ek1x + ¯2C2ek2x:

Пример 6.14.2. Найти общее решение системы

(

y0 = 2y + 2z z0 = y + 3z:

Составим характеристическую систему

(

(2 ¡ k)® + 2¯ = 0 ® + (3 ¡ k)¯ = 0:

Вычислим характеристический определитель
¯	1	3	¡	k¯
¯	2 ¡ k			¯	= 0:
¯				¯
¯				¯

Тогда (2 ¡ k)(3 ¡ k) ¡ 2 = 0 или k2 ¡ 5k + 4 = 0. Получим k1 = 4, k2 = 1.

235

Вначале будем делать, как в предыдущем случае. Подставим корень k в систему (6.16) и найдем ® и ¯. Поэтому первая группа частных решений имеет вид (

y1 = ®ekx z1 = ¯ekx:

Вторую группу частных решений будем искать в виде

(

1. Пусть k1 = 4. Подставив его в характеристическую систему, получим

(

¡2®1 + 2¯1 = 0

®1 ¡ ¯1 = 0:

Если ®1 = 1, то ¯1 = 1. Тогда y1 = e4x, z1 = e4x. 2. Пусть k2 = 1. Получим(

®2 + 2¯2 = 0 ®1 + 2¯2 = 0:

Если ¯2 = 1, то ®2 = ¡2. Тогда y2 = ¡2ex, z2 = ex.

Общее решение исходной системы будет иметь вид

(

y = C1e4x ¡ 2C2ex

z= C1e4x + C2ex:

II.Корни характеристического уравнения действительны и равны, т.е.

k1 = k2 = k.

y2 = (a1x + b1)ekx z2 = (a2x + b2)ekx

для того, чтобы они были линейно независимы с первой группой частных решений. Подставим эти решения в исходную систему (6.15), сократим на

ekx и получим

(

ka1x + kb1 + a1 = (a1x + b1)a11 + (a2x + b2)a12 ka2x + kb2 + a2 = (a1x + b1)a21 + (a2x + b2)a22:

Далее, в каждом уравнении приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему, которая имеет ранг не более 2. Находим коэффициенты a1, a2, b1 и b2, но так, чтобы a1 =6 0, a2 =6 0.

Общее решение исходной систему будет иметь вид

(

y = C1®ekx + C2(a1x + b1)ekx

z = C1¯ekx + C2(a2x + b2)ekx:

236

Пример 6.14.3. Найти общее решение системы

	(z00	= ¡y + z:
	y	= 3y + z
Составим характеристическую систему
	k)® + ¯ = 0
((3®¡+ (1						¡		k)¯ = 0:
	¡
Вычислим характеристический определитель
	¯3 ¡1k					1		1 k¯	= 0:
	¯ ¡							¡ ¯
Тогда (3 ¡ k)(1 ¡ k) + 1 = 0	¯		2					¯	4 = 0. Получим k1 = k2 = k = 2.
	¯или k				¡ 4k +¯
1. Для k = 2 найдем первую группу решений. Подставим k в характе-
ристическую систему:	(®
		+ ¯ = 0
		®		¡			¯ = 0:
	¡

Возьмем ® = 1, тогда ¯ = ¡1. Получим y1 = e2x, z1 = ¡e2x. 2. Найдем вторую группу решений, положим

(

y2 = (a1x + b1)e2x z2 = (a2x + b2)e2x:

Подставим эти решения в исходную систему, сократим на e2x, получим

(

a1 + 2(a1x + b1) = 3(a1x + b1) + (a2x + b2) a2 + 2(a2x + b2) = ¡(a1x + b1) + (a2x + b2);

или (

(a1 + a2)x + (b1 ¡ a1 ¡ b2) = 0 (a1 + a2)x + (a2 + b2 + b1) = 0:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему

a1 + a2 = 0
>	¡		¡
>a1 + a2 = 0
>
<		a1		b2 = 0
8b1

>

>

>

:a2 + b2 + b1 = 0:

237

Эта система имеет ранг, равный 2. Поэтому два коэффициента мы должны выбрать сами, пусть a1 = 1, b2 = 0, тогда a2 = ¡1, а b1 = 1. Мы получили решения y2 = (x + 1)e2x, z2 = ¡xe2x.

Общее решение исходной системы будет равно

(

y = C1e2x + C2(x + 1)e2x

z= ¡C1e2x ¡ C2xe2x:

III.Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е.

k1;2 = a § ib. Подставим k = a + ib в систему (6.16), найдем комплексные решения ® и ¯. Поэтому комплексные решения исходной системы будут

иметь вид	(y¹ = ®ekx
	z¹ = ¯ekx:

Тогда действительная и мнимая части комплексных решений y¹ и z¹ будут являться линейно независимыми частными решениями исходной системы.

Общее решение будет иметь вид

(

y = C1 Re y¹ + C2 Im y¹ z = C1 Re z¹ + C2 Im z:¹

Пример 6.14.4. Найти общее решение системы

(z

00

= ¡y + z:

y

= 3y + 2z

Составим характеристическую систему

k)® + 2¯ = 0

((3®¡+ (1

¡

k)¯ = 0:

¡

Вычислим характеристический определитель

¯3 ¡1k

1

2 k¯

= 0:

¯

¡

¡

¯

Тогда (3

¡

k)(1

¡

¯

или k2

¡

¯

+ 5 = 0. Получим k1;2 = 2

§

i.

k) + 2 = 0¯

4k¯

Подставив корень k = 2 + i в характеристическую систему, получим
(		®¡+ (1	2		i)¯ = 0	или	(	®¡		(1 + i)¯ = 0:
	(3 2 ¡ i)® + 2¯ = 0						(1		i)® + 2¯ = 0
	¡		¡	¡			¡	¡

Возьмем ¯ = ¡1, тогда из второго уравнения ® = 1 + i. Поэтому комплексные решения равны y¹ = (1 + i)e(2+i)x, z¹ = ¡e(2+i)x. Применяя формулу

238

Эйлера ea+ibx = eax(cos bx + i sin bx) и выделяя действительную и мнимую

часть, получим

8

>y¹ = (1 + i)e(2+i)x = (1 + i)e2x(cos x + i sin x) =

< ¡ ¢ >= e2x (cos x ¡ sin x) + i(cos x + sin x) :z¹ = ¡e(2+i)x = ¡e2x(cos x + i sin x):

Действительное общее решение исходной системы будет равно

( ¡ ¢ y = e2x C1(cos x ¡ sin x) + C2(cos x + sin x)

z = ¡e2x(C1 cos x + C2 sin x):

239

Глава 7

Ряды

7.1. Числовые ряды

Определение 7.1.1. Выражение

u1 + u2 + : : : + un + : : : ;

(7.1)

где un числа, называется числовым рядом. При этом числа u1, u2, . . . , un, . . . , называются членами ряда.

Ряд (7.1) можно записать в виде

X1

un = u1 + u2 + : : : + un + : : : ;

n=1

где un общий член ряда.

Пример 7.1.1. Примеры числовых рядов:

1

1

1

nP1

1

1

1) 1 + 2 + 3 + : : : + n + : : : = n;

1

+

2 3 + 4

+ : : : +

=1

+ : : : = 1

( 1)n n :

(¡1)Pn

2) 1 +

2

+

3

+ : : : +

n

+ : : : = n=1

n

;

3) ¡

n

nP

¡

¡

2

3

4

5

n + 1

=1

n + 1

Определение 7.1.2. Числа Sn = u1 + u2 + : : : + un называются n- частичными суммами ряда (7.1).

Определение 7.1.3. Если существует конечный предел

lim Sn = S;

n!1

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд (7.1) сходится.

Если предел n-частичных сумм Sn не существует, то ряд (7.1) расходится и суммы не имеет.

240