Математический анализ / Математический анализ учебник

Поскольку определитель ± =	¯	1	1	¯	= ¡2, то, сделав замену x = x1 + h,
	¯1		1¯
	¯			¯
y = y1 + k, получим	¯		¡ ¯

h + k ¡ 3 = 0

h = 2

½ h ¡ k ¡ 1 = 0;

½ k = 1:

Тогда

x = x1 + 2

½ y = y1 + 1;

dy = dy1;

dx = dx1:

Подставив эту замену в уравнение, получим однородное уравнение

dy1

=

x1 + y1

:

dx1

Сделаем в нем замену

x1 ¡ y1

y1 = ux1;

dy1

= u + x1

du

;

dx1

dx1

получим

Z

u + x

du

=

1 + u

;

1 ¡ u

du =

dx1

;

1 ¡ u

du =

dx1

;

1 ¡ u

1 + u2

1 dx1

x1

Z 1 + u2

x1

1

arctg u = ln Cx1p1 + u2

¯

;

arctg u ¡ 2 ln j1 + u2j = ln jx1j + ln C;

¯

1Cx1p

= earctg u:

¯

¯

Поскольку u =

y1

=

y

¡

1 + u2

, то мы получим общее решение исходного урав-

x1

x ¡ 2

нения

y 1

Cp(x ¡ 2)2 + (y ¡ 1)2 = earctg x¡¡2 :

6.5. Линейные дифференциальные уравнения превого порядка

Определение 6.5.1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y0, оно имеет вид

y0 + P (x)y = Q(x);

здесь P (x) и Q(x) непрерывные функции.

201

6.5.1. Метод подстановки решения линейного уравнения

Будем искать решение в виде произведения двух функций y = u(x)v(x), тогда y0 = u0v + uv0. Подставляя эту замену в уравнение, получим

u0v + uv0 + P (x)uv = Q(x);

u0v + u(v0 + P (x)v) = Q(x):

Выберем функцию v так, чтобы v0 + P (x)v = 0, тогда

dv

dv

= ¡P (x)v;

= ¡P (x)dx;

dx

v

ln v = ¡ Z

P (x) dx;

v = e¡ R P (x) dx:

Подставим найденную функцию v(x) в уравнение:

u0v(x) = Q(x);

du

=

Q(x)

;

dx

v(x)

Q(x)

Q(x)

du =

dx; u = Z

dx + C:

v(x)

v(x)

Тогда общее решение уравнения будет иметь вид

y = µZ

v(x) dx + C¶e¡ R P (x) dx:

Q(x)

6.5.2. Метод вариации решения линейного уравнения

Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной решения линейного дифференциального уравнения. Решим однородное уравнение

y0 + P (x)y = 0;

которое является уравнением с разделяющимися переменными, тогда

y0 = P (x)y;

dy

=

¡

P (x)y;

dy

=

¡

P (x)dx;

dx

y

Z

y ¡ Z

¡

y = Ce¡ R P (x) dx:

P (x) dx;

ln y = ¡ Z

P (x) dx + ln C;

dy

Будем считать константу C функцией от x, т.е. варьировать ее, получим

y = C(x)e¡ R

P (x) dx. Найдем y0 = C0e¡ R P (x) dx ¡ Ce¡ R P (x) dxP (x). Подста-

вим y и y0в исходное уравнение, получим

C0e¡ R P (x) dx ¡ Ce¡ R P (x) dxP (x) + Ce¡ R P (x) dxP (x) = Q(x):

v =

¡ R

P (x) dx тогда

Обозначим

Q(x)

,

dC

Q(x)

Q(x)

C0 =

;

=

;

dC =

dx;

v(x)

dx

v(x)

v(x)

202

C(x) = Z	Q(x)
		dx + C1	;
	v(x)

где C1 = const. Общее решение исходного уравнения будет иметь вид

y = µZ	Q(x)	¶e¡ R P (x) dx:
	v(x) dx + C1

Аналогично решаются уравнения линейные по переменному x. Такое

уравнение имеет вид x0 + P (y)x = Q(y), в этом уравнении x0 =

dx

.

y

dy

Пример 6.5.1. Найти общее решение уравнения y0 ¡

= x + 1. Решим

x

его методом подстановки. Пусть y = uv, y0 = u0v + uv0, тогда

u0v + uv0 ¡ x

= x + 1;

u0v + u

³v0 ¡ x´

= x + 1:

uv

v

Сначала решим уравнение

v0 ¡

v

dv

v

dv

dx

= 0;

=

;

=

;

x

dx

x

v

x

ln v = ln x;

v = x:

Подставим найденную функцию v в уравнение, получим

u0x = x + 1;

du

=

x + 1

;

du =

x + 1

dx;

u = Z

dx

x

x

+ 1

x

dx;

u = x + ln jxj + C:

x

Тогда общим решением исходного уравнения будет

y = x(x + ln jxj + C):

Пример 6.5.2. Найти общее решение уравнения

(y + y3 + 2xy)y0 = 1 + y2:

Преобразуем это уравнение

y + y3 + 2xy =

1 + y2

;

y

поскольку

1

= x0, то

y0

x0 =

y + y3 + 2xy

x0 = y +

2xy

x0

¡

2y

x = y:

;

;

1 + y2

1 + y2

1 + y2

203

Последнее уравнение линейное по x, решим его методом вариации.

x0 ¡

2y

dx

2y

dx

2ydy

x = 0;

=

x;

=

;

1 + y2

dy

1 + y2

x

1 + y2

Z

dx

= Z

2y dy

;

ln x = ln(1 + y2) + ln C;

x = C(1 + y2):

x

1 + y2

Будем считать C функцией от y, тогда x0 = C0(1 + y2) + C2y. Подставляя в уравнение, получим

C0(1 + y2) + 2Cy ¡ 2yC = y;

C0 =

y

;

dC

=

y

;

1 + y2

dy

1 + y2

y

y dy

1

dC =

dy; C = Z

;

C =

ln(1 + y2) + C1:

1 + y2

1 + y2

2

Общее решение имеет вид
x = µ	1	ln(1 + y2) + C	¶(1 + y2):
	2

6.6. Дифференциальное уравнение Бернулли

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли y0 + P (x)y = Q(x)yn;

где P (x) и Q(X) непрерывные функции. Разделим это уравнение на yn, получим уравнение

y¡n + P (x)y1¡n = Q(x):

Это уравнение сводится к линейному уравнению с помощью замены

	z = y1¡n; z0 = (1 ¡ n)y¡ny0 или y¡ny0 =					z0	:
						1 n
					¡
Подставляя эту замену в уравнение, получим
		z0		+ P (x)z = Q(x); z0	+ (1 ¡ n)P (x)z = (1 ¡ n)Q(x):
	1	¡	n

Последнее уравнение линейное по z.

Аналогично доказывается, что уравнение Бернулли по x x0 + P (y)x = Q(y)xn

сводится к линейному.

При решении конкретных уравнений необязательно сводить его к линейному, можно его сразу решать как линейное, например, методом замены.

204

Пример 6.6.1. Найти общее решение уравнения

y0 + xy = x3y3:

Сделаем замену y = uv, y0 = u0v + uv0, получим:

u0v + uv0 + xuv = x3u3v3;

u0v + u(v0

+ xv) = xu3v3:

Решим уравнение

dv

dv

dv

v0 + xv = 0;

= ¡xv;

= ¡xdx;

Z

= ¡ Z

x dx;

dx

v

v

1

1

2

ln v = ¡

x2;

v = e¡2 x

:

2

Подставляя найденную функцию v в уравнение, получим:

u0e¡21 x2 = x3e¡23 x2 u3;

u0 = x3e¡x2 u3;

du

= x3e¡x2 dx;

3

u

du

2

1

1

2

Z

=

Z x3e¡x

dx;

¡

=

Z (¡x2)e¡x

(¡2x)dx =

u3

2u2

2

=

t = ¡x2

=

1

tetdt =

u = t

du = dt

=

2 Z

¯dv = etdt

v = et

¯dt = ¡2xdx¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= 12tet ¡ 12et + C = ¡12x2e¡x2 ¡ 12e¡x2 + C:

Тогда

	u2	= 2x2e¡x			+ e¡x		= C; u =	³x2e¡x		+ e¡x		+ C´¡	1	:
	1	1			2	2			2		2		2
Общее решение уравнения имеет вид								y = ³x2 + 1 + Cex2 ´¡21 ;
y = e¡21 x2 ³x2e¡x2 + e¡x2 + C´¡21 ;

1

y = px2 + 1 + Cex2 :

205

6.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение 6.7.1. Дифференциальное уравнение вида

M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x; y), т.е.

dU = @U@x dx + @U@y dy = M(x; y)dx + N(x; y)dy;

Из определения получим, что @U@x = M(x; y), @U@y = N(x; y), а общим решением будет U(x; y) = C, где C = const.

Теорема 6.7.1. Если M(x; y) и N(x; y) непрерывно дифференцируемые функции, то для того, чтобы уравнение

M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0

было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

@M(x; y)

=

@N(x; y)

:

@y

@x

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть исходное уравнение есть

уравнение в полных дифференциалах, тогда

@U

= M(x; y);

@U

= N(x; y):

@x

@y

Продифференцируем первое равенство по y, а второе по x, получим

@2U

=

@M

;

@2U

=

@N

:

@x@y

@y

@y@x

@x

Поскольку функции M и N непрерывно дифференцируемы, то

@2U

=

@x@y

@2U

. Тогда получим, что

@M

=

@N

.

@y@x

@y

@x

206

2. Достаточность. Пусть @M@y = @N@x . Найдем функцию U(x; y). Поскольку @U@x = M(x; y), то определим

Zx

U(x; y) = M(x; y)dx + '(y);

x0

где x0 любая абсцисса фиксированной точки P (x0; y0) из области определения функций M и N. Найдем неизвестную функцию '(y). Продифференцируем выражение для функции U по переменному y, получим

x

@U

@M

= xZ0

dx + '0(y) = N(x; y):

@y

@y

Поскольку

@M

=

@N

, то

@y

@x

x

¯

x0

Z

@N

¯

x

@x

dx + '0(y) = N(x; y); N(x; y) x0

+'0(y) = N(x; y);

N(x; y) ¡ N(x0; y) + '0(y) = N(x; y);

'0(y) = N(x0; y);

тогда

Zy

'(y) = N(x0; y) dy:

y0

Поэтому функцию U(x; y) можно найти по формуле

U(x; y) = xZ0	M(x; y) dx +yZ0	N(x0; y) dy;
x	y

где точка P (x0; y0) фиксированная точка из области определения функций M и N. И мы доказали, что исходное уравнение есть полный дифференциал некоторой функции U(x; y), значит, наше уравнение в полных дифференциалах.

207

Из доказательства достаточности следует, что найденная функция U(x; y) дает общее решение уравнения

Zx Zy

M(x; y) dx + N(x0; y) dy = C;

x0

y0

где C = const. Поскольку в правой части присутствует произвольная константа, то в левой части можно брать неопределенные интегралы, т.е. находить общее решение уравнения по формуле

ZZ

M(x; y) dx + N(x; y) dy = C:

Пример 6.7.1. Найти общее решение уравнения

2

2

= 0:

2x(1 + px ¡ y)dx

¡ (px

¡ y ¡ y)dy

2

2

¡ y + y. Проверим

В этом уравнении M = 2x + 2x

x ¡ y, N = ¡

x

условие, что @M = @N . Действительно,

p

p

@y @x

@M

= ¡2x

1

= ¡

x

;

@y

x2

y

x2

y

@N

= ¡

2p2x

¡

= ¡

px

¡

:

@x

2

x2 ¡ y

x2 ¡ y

Эти производные совпадают, значит, исходное уравнение в полных диффе-

p

p

ренциалах. Тогда

2

3

U(x; y) = Z ¡2x + 2xpx2 ¡ y¢dx = x2 +

(x2 ¡ y)2 + '(y):

3

Найдем функцию '(y). Поскольку

@U

= ¡px2 ¡ y + '0(y);

а N = ¡p

@y

+ y, то

x2 ¡ y

1

¡px2 ¡ y + '0(y) = ¡px2 ¡ y + y;

'0(y) = y;

'(y) =

y2:

2

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

2

1

p(x2 ¡ y)3 +

x2 +

y2 = C:

3

2

208

Пример 6.7.2. Найти частное решение уравнения

2xdx + y2 ¡ 3x2 dy = 0;
y3	y4

при условии, что x = 2, y = 1. Найдем общее решение этого уравнения.

Имеем M =

2x

, N =

y2 ¡ 3x2

. Найдем

y3

y4

@M

= ¡

6x

;

@N

= ¡

6x

:

@y

y4

@x

y4

Эти производные совпадают, поэтому исходное уравнение в полных диф-

ференциалах. Тогда

y3 dx = y3 + '(y):

U(x; y) = Z

2x

x2

Найдем функцию '(y). Поскольку

@U

=

3x2

+ '0(y) = N(x; y) =

y2 ¡ 3x2

=

1 3x2

;

@y

y2 ¡ y4

¡ y4

y4

то '0(y) =

1

. Поэтому '(y) = ¡

1

. Общее решение исходного уравнения

y2

y

имеет вид

x2

1

= C:

¡

y3

y

Найдем частное решение. Подставив начальные условия в общее решение, получим 4¡1 = C или C = 3. Частное решение уравнения будет иметь вид

x2	1		= 3 или x2 ¡ y2 = 3y3:
	¡
y3		y

6.8. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 6.8.1. Дифференциальное уравнение вида

F (x; y; y0; y00) = 0

называется дифференциальным уравнением второго порядка, оно может быть разрешено относительно старшей производной

y00 = f(x; y; y0):

209

Теорема 6.8.1 (Коши, теорема существования и единственности). Если в уравнении

y00 = f(x; y; y0)

функция f(x; y; y0) и ее частные производные по аргументам y и y0 непрерывны в некоторой области, содержащей точку

x = x0; y = y0; y0 = y00 ;

то существует единственное решение y = '(x) этого уравнения, удовлетворяющее условиям '(x0) = y0, '0(x0) = y00 .

Определение 6.8.2. Условия x = x0, y = y0, y0 = y00 называются начальными условиями для уравнения второго порядка.

Определение 6.8.3. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка

y00 = f(x; y; y0)

называется функция y = '(x; C1; C2), зависящая от двух произвольных констант C1 и C2, такая, что:

1) она удовлетворяет уравнению при любых C1 и C2;

2) при заданных начальных условиях y(x0) = y0, y0(x0) = y00 можно

подобрать константы C1 = C10 и C2 = C20, такие, что y0 = '(x0; C10; C20), y00 = '0(x0; C10; C20).

Определение 6.8.4. Решение y = '(x; C10; C20), удовлетворяющее

начальным условиям y(x0) = y0 = '(x0; C10; C20), y0(x0) = y00 = '0(x0; C10; C20), называется частным решением дифференциального урав-

нения y00 = d(x; y; y0).

Задача Коши. Найти решение y = '(x; C1; C2) дифференциального уравнения

y00 = f(x; y; y0);

удовлетворяющее начальным условиям x = x0, y(x0) = y0, y0(x0) = y00 .

Решение задачи Коши:

1.Найти общее решение уравнения.

2.Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

210