Математический анализ / Математический анализ учебник

Y

M

T

¢y

M0 N

¢x

®

o x0 x + ¢x X

Рис. 1.3.

Определение 1.5.2. Дифференциал функции y = f(x), соответствующий данным значениям точки x0 и приращения ¢x, равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в точке x.

1.5.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим приращение функции ¢y = f0(x)¢x + ®(¢x)¢x = dy + ®(¢x)¢x: Пусть f0(x) 6= 0: Тогда

	lim	¢y	= lim	dy + ®(¢x)¢x		= 1 +	lim	®(¢x)¢x		= 1 + 0 = 1:
		dy		dy				f0(x)¢x
	¢x!0		¢x!0				¢x!0

Поэтому ¢y ' dy эквивалентные бесконечно малые при ¢x ! 0. Так как

¢y = f(x + ¢x) ¡ f(x) ¼ dy = f0(x)¢x, то

f(x + ¢x) ¼ f(x) + f0(x)¢x

при достаточно малых ¢x: Это и есть формула приближенного вычисления значения функции.

Пример 1.5.6. Пусть y = sin x, найти приближенно значение sin 310.

Возьмем x = 300, тогда x + ¢x = 310, поэтому ¢x = 310 ¡300 = 10 = 180¼ 0 : По формуле приближенного вычисления имеем

sin(x + ¢x) ¼ sin x + cos x ¢ ¢x:

41

Поэтому мы получим

p

1

3; 14

¼

3

sin 310

¼ sin 300

+ cos 300 ¢

¼

+

¢

¼

1800

2

2

180

¼ 0; 5 + 0; 865 ¢ 0; 017 = 0; 5 + 0; 014705 = 0; 514705:

Пример 1.5.7. Найти приближенно значение p

. Рассмотрим функ-

1; 01

цию

y = px

, тогда

y0 =

1

и

2p

x

y(x + ¢x)

y(x) + y0(x)¢x = p

+

1

¢x:

x

¼

2px

Возьмем x = 1; x + ¢x = 1; 01, тогда ¢x = 0; 01. Поэтому

p p 1

1; 01 ¼ 1 + 2p1 ¢ 0; 01 = 1 + 0; 5 ¢ 0; 01 = 1; 005:

1.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Значения y = f0(x) зависят от x, то есть производная f0(x) есть опять функция от x. Поэтому ее также можно дифференцировать.

Определение 1.6.1. Производная от первой производной функции y = f(x) называется производной второго порядка или второй производной, то есть y00 = (y0)0.

Обозначения второй производной: f00; y00:

Пример 1.6.1. Пусть y = x5; тогда y0 = 5x4, а y00 = 20x3:

Определение 1.6.2. Производной n-ого порядка от функции f(x) называется производная от производной (n ¡1)-ого порядка и обозначается

y(n) = f(n) = (f(n¡1))0:

Пример 1.6.2. Пусть y = xn, тогда

y0 = nxn¡1; y00 = n(n ¡ 1)xn¡2; : : : ; y(n) = n!:

Теорема 1.6.1. Пусть u(x) и v(x) n раз дифференцируемые функции, тогда

1: (u § v)(n) = u(n) § v(n);

n(n ¡ 1)

2: (u

¢

v)(n)

= u(n)v +

n

u(n¡1)v0

+

u(n¡2)v00

+ : : : + uv(n)

(формула

1

1

¢

2

Лейбница).

42

Доказательство. Докажем второе утверждение теоремы по индукции. Пусть y = u ¢ v, тогда y0 = u0v + uv0, а y00 = u00v + u0v0 + u0v0 + uv00 = u00v +

2u0v0

+ uv00: Пусть утверждение теоремы выполняется для производной

(n ¡ 1) порядка, докажем, что оно верно и для порядка n. Найдем

³

´

µ

1

1 ¢ 2

(uv)(n¡1)

0

=

´

u(n¡1)v +

n ¡ 1

u(n¡2)v0 +

(n ¡ 1)(n ¡ 2)

u(n¡3)v00+

1

1

+ : : : + uv(n¡1)

0 = u(n)v + u(n¡1)v0 +

n ¡ 1

u(n¡1)v0 +

n ¡ 1

u(n¡2)v00+

+

(n ¡ 1)(n ¡ 2)

u(n¡2)v00 + : : : + uv(n) =

1 ¢ 2

= u(n)v +

1 + n ¡ 1

u(n¡1)v0 +

(n ¡ 1)(2 + n ¡ 2)

u(n¡2)v00 + : : : + uv(n) =

1

1 ¢ 2

= u(n)v +

n

u(n¡1)v0

+

n(n ¡ 1)

u(n¡2)v00 + : : : + uv(n):

1

1 ¢ 2

Таким образом утверждение теоремы верно.

Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, тогда dy = f0(x) dx, где dx не зависит от x.

Определение 1.6.3. Дифференциал от первого дифференциала функции f(x) называют вторым дифференциалом этой функции и обозначают

d2y = d(dy):

Найдем выражение для второго дифференциала функции.

d2y = d(d(y)) = d(f0(x) dx) = (f0(x) dx)0 dx = f00(x) dx ¢ dx = = f00(x)(dx)2 = f00(x) dx2:

Аналогично можно дать определение n-ого дифференциала функции. Тогда

dny = d(dn¡1y) = f(n)(x) dxn:

Пример 1.6.3. Пусть y = sin2 x. Найдем второй дифференциал d2y этой функции. Поскольку

y0 = 2 sin x	¢	cos x = sin 2x; y00	= 2 cos 2x;

тогда

d2y = 2 cos 2x dx2:

43

1.6.1. Неинвариантность формы второго дифференциала

Дифференциал функции второго и более высокого порядков свойством инвариантности не обладает. Покажем это. Пусть дана сложная функция y = f(u); u = u(x); то есть y = f(u(x)) = f(x). Второй дифференциал функции f(x) как функции независимого переменного x есть

d2y = f00(x) dx:

Найдем второй дифференциал этой же функции как функции зависимого переменного u. Поскольку dy = fu0 (u) du и du = u0x(x) dx зависит от x, то

d2y = d(fu0 (u) du) = d(fu0 (u)) du + fu0 (u)d(du) =

= fuu00 du2 + fu0 (u) d2u;

где d2u = u00uu dx2:

Таким образом, мы видим, что форма или вид второго дифференциала сложной функции не обладает свойством инвариантности.

1.6.2. Высшие производные неявной и параметрической функций

Правило. Чтобы найти вторую производную неявной функции, нужно выражение для первой производной еще раз продифференцировать по x, считая y и y0 функциями от x и выразить из него y00.

Пример 1.6.4. Найдем вторую производную функции x2 +y2 = 1: Возьмем первую производную, получим

2x + 2yy0 = 0:
Тогда
2 + 2y0y0 + 2yy00 = 0 или	y00 = ¡	y02	+ 1	:
			y
Рассмотрим функцию, заданную параметрически:
x = '(t)	t 2 T:
½ y = Ã(t)

Поскольку yx0 (t) = Ã0(t); то мы можем рассмотреть новую параметриче-

'0(t)

скую функцию
	x = '(t)
	½ y = yx0 (t)	t 2 T:
	44

Тогда по правилу дифференцирования параметрической функции, полу-

чим

= (y0 )0 = (yx0 )t0

или y00 =

µxt0

¶t =

µ't0

¶t :

y00

y0

0

Ã0

0

t

t

xx

x x

xx

xt0

xt0

xt0

Отсюда получаются формулы для нахождения второй производной параметрической функции:

	x0y00		y0x00
yxx00 =		t tt ¡	t	tt
		(xt0)3
или
	'0	Ã00	Ã0	'00
yxx00 =	t	tt ¡	t	tt		:
		('t0)3

1.7. Приложение дифференциального исчисления 1.7.1. Теоремы о среднем

Теорема 1.7.1 (Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и f(a) = f(b), то существует точка c 2 (a; b) такая, что f0(c) = 0:

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то по теореме 1.3.3 она достигает на этом отрезке своего наибольшего M

инаименьшего m значений.

1.Если M = m, то f(x) = const = M, тогда f0(x) = 0 для любого x 2 (a; b). И поэтому теорема доказана.

2.Пусть M 6= m. Поскольку f(a) = f(b), то одно из значений M или m достигается внутри отрезка [a; b], то есть на интервале. Будем считать, что это значение M. Пусть точка c 2 (a; b) такая, что f(c) = M. Поскольку теперь f(c) это наибольшее значение, то

f(c + ¢x) ¡ f(c) 6 0 для любых				¢x > 0; ¢x < 0:
Тогда
	f(c + ¢x) ¡ f(c)	6 0	при	¢x > 0;
	¢x
	f(c + ¢x) ¡ f(c)	> 0	при	¢x < 0:
	¢x

Так как функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b), то существуют

	lim	f(c + ¢x) ¡ f(c)	= f0(c) 6 0 при ¢x > 0 и
		¢x
	¢x!+0
			45

Y

	o
	a		c b	X
	Рис. 1.4.
lim	f(c + ¢x) ¡ f(c)	= f0(c) > 0	при	¢x < 0:
¢x!¡0	¢x

Отсюда следует, что f0(c) = 0.

Замечание 1.7.1. Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что существует точка A(c; f(c)) на графике функции, в которой касательная параллельна оси OX. Причем f(a) = f(b) = B не обязательно равное 0 (см.рис. 1.4).

Теорема 1.7.2 (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует точка c 2 (a; b) такая, что

f(b) ¡ f(a) = f0(c)(b ¡ a):

Геометрический смысл теоремы (см.рис. 1.5).

Y

		f(x)
	f(c)
	'
®
o a	c	x b X

Рис. 1.5.

46

f0(c)

Величина Q =

= tg ' есть тангенс угла наклона хорды,

f(b) ¡ f(a)

b ¡ a

соединяющей точки (a; f(a)) и (b; f(b)) на графике функции f(x). А f0(c) = tg ® есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (c; f(c)). Поскольку по теореме Q = f0(c), то это значит, что найдется точка c такая, что касательная в точке (c; f(c)) параллельна хорде, проходящей через точки (a; f(a)); (b; f(b)):

Доказательство. Введем функцию F (x) = f(x)¡f(a)¡(x¡a)Q, которая равна разности значений функции в точке x и соответствующего значения на хорде. Очевидно, что эта функция непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Причем

F (a) = f(a) ¡ f(a) ¡ (a ¡ a)Q = 0;

F (b) = f(b) ¡ f(a) ¡ (b ¡ a)f(b) ¡ f(a) = 0: b ¡ a

Поэтому функция F (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [a; b]. Следовательно существует точка c 2 (a; b) такая, что F 0(c) = 0: Поскольку F 0(x) = f0(x) ¡ Q, то f0(c) ¡ Q = 0 или

f0(c) = f(b) ¡ f(a): b ¡ a

И теорема доказана.

Теорема 1.7.3 (Коши). Если функции f(x) и '(x) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b), причем '0(x) 6= 0 при x 2 (a; b), то найдется точка c 2 (a; b) такая, что

f(b) ¡ f(a)

'(b) ¡ '(a) = '0(c):

Без доказательства.

1.7.2. Правило Лопиталя

Теорема 1.7.4 (Неопределенность 00 ). Пусть функции f(x) и '(x)

непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b) и пусть f(a) = '(a) = 0 и '0(x) 6= 0 для любого x 2 (a; b), тогда если существует предел

lim f0(x) = A;

x!a '0(x)

то существует и предел
lim	f(x)		= lim	f0(x)		= A:
x!a '(x)			x!a '0(x)
			47

Доказательство. Возьмем x 2 (a; b). Применим теорему Коши к функциям f(x) и '(x) на отрезке [a; x]. Получим, что существует точка c 2 (a; x) такая, что

f(x) ¡ f(a)

=

f0(c)

:

'(x) ¡ '(a) '0(c)

Но f(a) = '(a) = 0, поэтому

f(x)

=

f0(c)

:

'(x) '0(c)

lim f0(x)

= A

Поскольку при x ! a точка c ! a и существует x!a

'0(x)

, то суще-

ствует и lim

f0(c)

= A. Тогда получим

c!a '0(c)

lim f(x) = lim f0(c) = lim f0(c) = lim f0(x) = A:

x!a '(x) x!a '0(c) c!a '0(c) x!a '0(x)

И теорема доказана.

Замечание 1.7.2. Точка a может быть равна и бесконечности a =

1.

Замечание 1.7.3. Если f0(a) = '0(a) = 0 и производные f0(x) и '0(x) удовлетворяют условиям теоремы, наложенным на функции f(x) и '(x),

f0(x)

то применяя правило Лопиталя к отношению '0(x), приходим к формуле

lim f(x) = lim f0(x) = lim f00(x) :

x!a '(x) x!a '0(x) x!a '00(x)

И т.д.
Пример 1.7.1. Рассмотрим
lim	sin 7x		= lim	(sin 7x)0	= lim	7 cos 7x		=	7		:
	5x			(5x)0		5			5
x!0			x!0		x!0

Теорема 1.7.5 (Неопределенность 11). Пусть функции f(x) и '(x)

непрерывны и дифференцируемы при всех x =6 a в окрестности точки a,

причем '0(x) =6 0 и пусть lim f(x) = 1, lim '(x) = 1 и существует

x!a x!a

lim f0(x) = A;

x!a '0(x)

48

тогда существует

f(x)

lim

= A:

'(x)

x!a

Без доказательства.

Пример 1.7.2. Вычислим

lim

ex

= lim

(ex)0

=

lim

ex

=

1

:

x

x

(x)

1

!

+

1

x

!

+

1

x

!

+

1

0

Пример 1.7.3. Найдем

lim

2x2 + 2

= lim

4x

=

4

= 2:

x!1 x2 + 1

x!1 2x

2

К предыдущим случаям сводятся неопределенности вида:

1): 0 ¢ 1;

2): 00; 3): 10;

4): 11;

5): 1 ¡ 1:

1. Рассмотрим неопределенность вида 0 ¢ 1, тогда

lim f(x) = 0;

lim '(x) =

1

:

x!a

x!a

По правилу Лопиталя получим

lim f(x)

'(x) = lim

f(x)

=

0

= lim

(f(x))0

:

¢

1

µ0

1

0

x!a

x!a

¶

x!a

µ

¶

'(x)

'(x)

2. Рассмотрим неопределенность вида 00, тогда

lim f(x) = 0;

lim '(x) = 0:

x!a

x!a

Прологарифмируем функцию y = (f(x))'(x), имеющую неопределенность указанного вида 00, получим функцию ln y = '(x) ¢ ln f(x), имеющую неопределенность вида 0 ¢ (¡1). Тогда

lim ln y = lim

ln f(x)

=

³

1

´

= lim

(ln f(x))0

= A:

1

1

0

x!a

x!a

1

x!a

µ

¶

'(x)

'(x)

Отсюда

lim y = lim (f(x))'(x) = eA:

x!a

x!a

3. Рассмотрим неопределенность вида 10, тогда

lim f(x) = +

1

;

lim '(x) = 0:

x

!

a

x

!

a

49

Прологарифмируем функцию y = (f(x))'(x), имеющую неопределенность указанного вида 10, получим функцию ln y = '(x) ¢ ln f(x), имеющую неопределенность вида 0 ¢ 1. Тогда

lim ln y = lim

ln f(x)

=

³

1

´

= lim

(ln f(x))0

= A:

1

1

µ

1

¶

0

x!a

x!a

x!a

'(x)

'(x)

Отсюда

lim y = lim (f(x))'(x) = eA:

x!a x!a

4. Рассмотрим неопределенность вида 11, тогда

lim f(x) = 1;	lim '(x) =			1	:
x a	x	!	a
!

Прологарифмируем функцию y = (f(x))'(x), имеющую неопределенность указанного вида 11, получим функцию ln y = '(x) ¢ ln f(x), имеющую неопределенность вида 1 ¢ 0. Тогда

lim ln y = lim

ln f(x)

=

µ

0

¶

= lim

(ln f(x))0

= A:

1

0

µ

1

¶

0

x!a

x!a

x!a

'(x)

'(x)

Отсюда

lim y = lim (f(x))'(x) = eA:

x!a x!a

5. Рассмотрим неопределенность вида 1 ¡ 1, тогда

lim f(x) =			1	;	lim '(x) =			1	:
x	!	a			x	!	a

Будем считать, что lim f(x) = 1. Используя правило Лопиталя, получим

x!a '(x)

lim (f(x)

¡

'(x)) = lim f(x)

f(x)

x!a

x!a

µ1 ¡ '(x)¶ = (1 ¢ 0) =

= lim

1 ¡ '(x)

= 0

lim

µ1 ¡ '(x)¶

0

= A:

f(x)

µ

¶

f(x)

f(x)

= x!a

µf(x)

¶

x!a

1

0

1

0

50