Математический анализ / Математический анализ учебник

уравнение найдем, что

Глава 6

Дифференциальные уравнения

6.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений

Установлено, что скорость роста населения прямо пропорциональна его количеству в каждый данный момент. Определить закон изменения населения Земли в зависимости от времени, если при t = 0 население было

m0.

Скорость роста определяется следующим образом. Пусть в момент времени t население было m, в момент времени t + ¢t стало равно m + ¢m.

За время ¢t население увеличилось на ¢m. Отношение ¢¢mt есть средняя скорость роста населения. Предел этого отношения при ¢t ! 0

	lim	¢m	=	dm
		¢t		dt
	¢t!0

есть скорость роста населения в момент времени t. По условию задачи

dmdt = km;

где k коэффициент пропорциональности (k > 0). При увеличении t население увеличивается, поэтому dmdt > 0. Решая это дифференциальное

m= m0ekt:

6.1.2.Основные понятия

Определение 6.1.1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f(x) и ее производные y0; y00; : : : ; y(n); т.е.

F (x; y; y0; y00; : : : ; y(n)) = 0

191

удовлетворяющее условию, что при x = x0 значение y = y0 кривая y = '(x) проходит через точку M0.

192

= '(x0); т.е.

y = '(x);

@y

торой области D на плоскости XOY , содержащей некоторую точку M0(x0; y0), то существует единственное решение этого уравнения

по y непрерывны в неко-

функция f(x; y) и ее частная производная

@f

и его тогда называют разрешенным относительно производной.

Теорема 6.2.1 (Коши, теорема существования и единственности). Если в дифференциальном уравнении

y0 = f(x; y)

или
F ³x; y;	dy	;	d2y	; : : : ;	dny	´= 0:
	dx		dx2		dxn

Например, дифференциальным уравнением является уравнение y02 ¡ 2xy0 = x2

или

(x2 + y2)dy = 2xydx:

Определение 6.1.2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, дифференциальное уравнение y0 ¡ 2xy2 + 5 = 0 есть дифференциальное уравнение превого порядка. Уравнение y00 + 2y0 + 3y = 5x имеет второй порядок.

Определение 6.1.3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = '(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F (x; y; y0) = 0:

Если это уравнение можно разрешить относительно y0, то его можно записать в виде

y0 = f(x; y)	или	f(x; y)dx + g(x; y)dy = 0;

Геометрическим смыслом этой теоремы является факт, что существует единственная функция y = '(x), являющаяся решением этого уравнения, и график которой проходит через точку (x0; y0).

Определение 6.2.1. Условие, что при x = x0, функция y равна заданному числу y0, называется начальным условием.

Начальные условия могут быть записаны в одном из следующих видов:

x = x0	; y = y0	; y(x0) = y0	; y¯x=x0 = y0:
			¯

Определение 6.2.2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

y = '(x; C);

зависящая от x и произвольной константы C и удовлетворяющая условиям:

1.функция '(x; C) удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом C;

2.при любых начальных условиях x = x0, y = y0 можно найти значение константы C = C0, такое, что y0 = '(x0; C0).

Решение y = '(x; C0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение 6.2.3. Равенство вида ©(x; y; C) = 0, неявно задающие общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого уравнения. Соотношение ©(x; y; C0) = 0 называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство кривых на плоскости XOY , зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через точку (x0; y0).

Определение 6.2.4. Задачей Коши для дифференциального уравнения называется задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Чтобы решить задачу Коши надо:

1.найти его общее решение y = '(x; C);

2.найти частное решение y = '(x; C0).

193

Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения первого порядка заключается в следующем. Пусть дано дифференциальное уравнение

y0 = f(x; y)

(6.1)

и функция y = '(x; C) есть его общее решение. Оно определяет семейство интегральных кривых. Уравнение (6.1) для каждой точки A(x; y) определяет значение производной y0 в этой точке, т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку A. Таким образом, уравнение (6.1) определяет поле направлений на плоскости XOY . Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направления касательных к которым совпадают с направлением поля в соответствующих точках.

6.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6.3.1. Дифференциальное уравнение вида y0 = f(x) ¢ g(y)

или

dxdy = f(x) ¢ g(y)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Характеристикой этого типа уравнений является представление правой части в виде произведения функции, зависящей только от x, на функцию, зависящую только от y.

Найдем общее решение этого уравнения. Разделим переменные в уравнении dxdy = f(x)g(y). Для этого обе части уравнения разделим на g(y) и

умножим на dx, получим

dy = f(x)dx: g(y)

В полученном уравнении левая часть не зависит от правой, поэтому мы

можем интегрировать это уравнение			g(x) dx + C:
Z	g(y) =	Z
	dy

Вычисляя полученные интегралы и прибавляя в правую часть константу, мы получим общее решение этого уравнения.

194

Заметим, что при делении на функцию g(y) мы могли потерять решения g(y) = 0, поэтому является ли функция g(y) = 0 решением уравненияпроверяется отдельно.

Дифференциальное уравнение вида

f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0

также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные в этом уравнении:

		f1	(x)			g2		(y)
					dx = ¡				dy:
		f2	(x)			g1		(y)
Интегрируя обе части, получим
	f1(x)						g2(y)
Z				dx = ¡ Z						dy + C:
	f2(x)						g1(y)

В этом уравнении мы делили на функции f2(x) и g1(y), поэтому надо проверять, являются ли функции f2(x) = 0 и g1(y) = 0 решением исходного уравнения.

Пример 6.3.1. Найти общее решение уравнения и построить семейство

интегральных кривых:

y0 = xy :

Разделим переменные в этом уравнении, получим

	dy		=	y	;	dy	=	dx	:
	dx			x		y		x

Проинтегрируем обе части и вычислим полученные интегралы:

Z	dy	= Z	dx		; ln jyj = ln jxj + ln jCj; y = Cx:
	y		x

Таким образом, y = Cx есть общее решение исходного уравнения. Поскольку мы делили на y и y = 0 является решением исходного уравнения, то его надо включить в ответ. Но при C = 0 из общего решения мы получаем решение y = 0, поэтому дополнительно писать это решение не надо, мы его не потеряли. Интегральные кривые этого уравнения показаны на рис. 6.1.

Пример 6.3.2. Найти общее решение уравнения

dx		1 + x2
	¡		dy = 0:
y3		y

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:
	1 + x2 = y2dy		Z	1 + x2 = Z		y2dy:
	dx			dx
			195

yc = 2

c = 1

c = 1=2

:o x

					c = ¡1
				c = ¡2
			Рис. 6.1.
	Вычислим интегралы:
	3			y = p3
		y	= arctg x + C;
					3 arctg x + C:
		3
	При решении этого уравнения мы ничего не потеряли.
	Пример 6.3.3. Найти частное решение уравнения
			tg x ¢ y0	= y + 1;

при x =

¼

, y = 2. Найдем общее решение этого уравнения:

6

dy

= ctg xdx;

Z

dy

= Z

ctg xdx;

y + 1

y + 1

ln jy + 1j = ln j sin xj + ln jCj;

y + 1 = C sin x;

y = C sin x ¡ 1:

В полученное общее решение подставим начальные условия

¼

2

= C sin

¡ 1

или

C = 6;

6

тогда частное решение имеет вид

y = 6 sin x ¡ 1:

196

197

Сделаем замену 2x + 3y = u, тогда y0 = в уравнение, получим:

6.3.1.Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида

y0 = f(ax + by)

сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

u = ax + by;

где u(x) новая неизвестная функция от x. Тогда y = Поэтому исходное уравнение примет вид

u0 = bf(u) + a;

u ¡ ax и y0 = u0 ¡ a. b b

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Пример 6.3.4. Найти общее решение уравнения y0 = cos2(2x + 3y).

u0 3¡ 2. Подставив эту замену

u0 = 3 cos2 u + 2;

du

= 3 cos2 u + 2;

du

= dx:

dx

3 cos2 u + 2

Проинтегрируем это уравнение

Z

du

= Z

dx;

3 cos2 u + 2

тогда

¯

1

¯

t = tg u

du =

du

x =

=

1 + t

2

=

1

2

Z 3 cos

u + 2

¯cos2 u =

¯

2

¯

¯

¯

1 + t

¯

¯

¯

dt

¯

dt

1

dt

¯

=

¯

=

=

¯

=

3

5 + 2t2

Z

(1 + t2)

+ 2

Z

2 Z

25 + t2

1 + t2

³

´

1

p

t

1

p

tg u

2

2

= p

arctg

p

+ C = p

arctg

p

+ C:

10

5

10

5

Подставив вместо u выражениеu = 2x + 3y, получим общее решение исходного уравнения

1			p
				2(2x + 3y)
x = p		arctg			p			+ C:
	10					5

6.4. Однородные уравнения

Определение 6.4.1. Функция f(x; y) называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество

f(tx; ty) = tnf(x; y):

p

Пример 6.4.1. 1. Функция f(x; y) = 3 x3 + y3 однородная функция первого порядка, так как

pp

f(tx; ty) = 3

t3x3 + t3y3 = t 3 x3 + y3 = tf(x; y):

2. Функция f(x; y) =

x

+ sin

y

однородная функция нулевого поряд-

y

ка, так как

x

f(tx; ty) =

tx

+ sin

ty

=

x

+ sin

y

= t0f(x; y):

y

ty

tx

x

3. Функция f(x; y) = xy ¡ x неоднородная функция, так как

f(tx; ty) = tx ¢ ty ¡ tx = t(txy ¡ x) 6= f(x; y):

Определение 6.4.2. Дифференциальное уравнение вида

y0 = f(x; y)

или

dy

= f(x; y)

dx

называется однородным, если функция f(x; y) есть однородная функция нулевого порядка.

Легко показать, что дифференциальное уравнение вида f(x; y)dx + g(x; y)dy = 0

будет однородным, если функции f(x; y) и g(x; y) есть однородные функции одного и того же порядка.

6.4.1. Решение однородного уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида y0 = f(x; y);

где функция f(x; y) однородная функция нулевого порядка, т.е. f(x; y) = f(tx; ty). Возьмем t = x1 , тогда f(x; y) = f³1; xy ´. Исходное дифференци-

альное уравнение будет иметь вид

y0 = f³1; xy ´:

198

В этом уравнении сделаем замену y = ux, где u = u(x) новая неизвестная функция, тогда y0 = u0x + u. Получим дифференциальное уравнение

u0x + u = f(1; u)			или	u0x = f(1; u) ¡ u
с разделяющимися переменными. Решим его:
	du			du		dx
x		= f(1; u) ¡ u;			=			:
	dx			f(1; u) ¡ u			x

Интегрируя это уравнение и сделав обратную замену u =

y

, получим об-

щее решение исходного уравнения.

x

Пример 6.4.2. Найти общее решение уравнения

dy

=

y

:

dx

x ¡ y

ty

y

Поскольку f(tx; ty) =

=

= f(x; y), то исходное уравнение

tx ¡ ty

x ¡ y

однородное. Сделаем замену

y = ux;

dy = xdu + udx;

dy

= x

du

+ u:

dx

dx

Тогда

du

xu

du

u

x

+ u =

или

x

=

¡ u;

dx

x ¡ xu

dx

1 ¡ u

x

du

=

u ¡ u + u2

;

x

du

=

u2

;

dx

dx

1 ¡ u

1 ¡ u

Z

u2

u

x

u2

x

¡ Z

Z

1 ¡ u

du =

dx

;

du

du

=

dx

;

1

1

1

¡ ln juj = ln jxj + ln jCj;

= ln juxCj;

= ¡ ln juxCj:

¡

¡

u

u

u

Поскольку u =

y

, то общее решение уравнения имеет вид

x

x

= ¡ ln jCyj;

или

x = ¡y ln jCyj:

y

Пример 6.4.3. Найти частное решение дифференциального уравнения

(x2 + y2)dx ¡ 2xydy = 0;

при x = 1, y = 2.

Поскольку функции x2 + y2 и 2xy однородные функции второго порядка, то исходное уравнение однородное. Поэтому сделаем замену

y = xu; dy = xdu + udx;

199

тогда

(x2 +x2u2)¡2xxu(xdu+udx) = 0;

x2(1+u2)dx¡2x2uxdu¡2x2u2dx = 0;

x2(1 + u2 ¡ 2u2)dx ¡ 2uxdu = 0;

(1 ¡ u2)dx = 2uxdu:

Разделив переменные, получим

Z

= Z

1 ¡ u2 du;

x

= 1 ¡ u2 du;

x

dx

2u

dx

2u

ln jxj = ¡ ln j1 ¡ u2j + ln jCj;

x =

C

;

1 ¡ u2

x =

C

;

x2 ¡ y2 = Cx:

1 ¡ xy22

Подставим в общее решение начальные условия C = 1¡4, C = ¡3: Частное решение исходного уравнения будет иметь вид

y2 ¡ x2 = 3x:

6.4.2. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к

			однородным
Дифференциальные уравнения вида
	dy	= f µ	ax + by + c	¶
	dx		a1x + b1y + c1

сводятся к однородным с помощью замены переменных

½x = x1 + h y = y1 + k;

где h и k находятся из системы
ah + bk + c = 0
½ a1h + b1k + c1 = 0:							¯
z = ax + by.			¯		a	b
			¯			b1	¯
Если определитель последней системы ± = ¯a1							¯ = 0, то делается замена
Пример 6.4.4. Найти общее решение уравнения¯ ¯
	dy		=	x + y ¡ 3	:
	dx
				x ¡ y ¡ 1
			200