Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт экономики, управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ / Математический анализ учебник

.pdf

Скачиваний:

2522

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример 2.3.4. ВычислитьZинтеграл dx

sin x ¢ cos3 x:

Подынтегральная функция удовлетворяет условию, что m + n = ¡4 четное отрицательное число. Поэтому

¯cos2tx==tg x1

sin x

cos

sin x cos4 x

1 + t2

dx =

cos x

cos

+ 1)dt

t +

dt =

Z µ

t ¶

1 + t2

tg2 x

+ ln jtj + C =

+ ln j tg xj + C:

Пример 2.3.5. Вычислить интеграл

sin2 x ¢ cos2 xdx:

Подынтегральная функция удовлетворяет условию, что m; n неотрицательные числа и m + n = 4 четное число. Поэтому

sin2 x ¢ cos2 xdx = Z

1 ¡

cos 2x

1 + cos 2x

dx = Z

cos2 2x

dx =

= 4

dx ¡ 4

cos2 2xdx = 4x ¡ 4

dx =

1 + cos 4x

Z dx ¡

cos 4xd(4x) =

sin 4x + C =

x ¡

sin 4x + C:

III. Рассмотрим интеграл третьего типа

sinp x ¢ cosq xdx;

где p; q рациональные числа. В этом интеграле тогда делают замену p

t = sin x; cos x = 1 ¡ t2; dt = cos xdx:

Эта замена приводит к довольно сложным интегралам от иррациональных выражений.

IV. Рассмотрим интегралы четвертого типа.

Z	1.	¯sin ax ¢ sin bx =
Z	sin ax ¢ sin bxdx =	¯sin ax ¢ sin bx =
		¯
		¯
Z	2.	¯
		¯
	sin ax ¢ cos bxdx =	¯
	sin ax ¢ cos bxdx =	¯sin ax ¢ cos bx =
		¯

12[cos(a ¡ b)x ¡ cos(a + b)x]¯¯¯ = : : : :

12[sin(a ¡ b)x + sin(a + b)x]¯¯¯ = : : : :

= : : : :

cos ax ¢ cos bxdx = ¯cos ax ¢ cos bx = 2[cos(a ¡ b)x + cos(a + b)x]¯

Пример 2.3.6. Вычислить¯

интеграл

sin 5x ¢ sin 3xdx:

Применим первую подстановку:

sin 5x ¢ sin 3xdx =

Z (cos 2x ¡ cos 8x)dx =

cos 2xd(2x) ¡

cos 8xd(8x) =

sin 2x ¡

sin 8x + C:

2.4.Интегрирование иррациональных функций

I. В первом типе интегралов рассмотрим три случая.

1. Рассмотрим интеграл		¡x; x n	; : : : ; xs ¢dx;
Z	R	¡x; x n	; : : : ; xs ¢dx;
		m	r

где R символ рациональной функции. Пусть k общий знаменатель
дробей	m	; : : : ;	r	, тогда в интеграле делается замена:
дробей	n	; : : : ;	s	, тогда в интеграле делается замена:
	n		s	¡			¢	¯		¯
		Z		¡	m	r	¢	¯	x = tk	¯
					m	r		¯	x = tk	¯
				R x; x n ; : : : ; xs dx =				¯		¯	= : : : :
				R x; x n ; : : : ; xs dx =				¯dx = ktk¡1dt¯			= : : : :
2. Рассмотрим интеграл								¯		¯
				Z			m		r	¢dx:
				Z	R ¡x; (ax + b) n ; : : : ; (ax + b) s					¢dx:
							92

Делаем следующую замену:

ax + b = tk

x =

tk ¡ b

¯dx =

R x; (ax + b) n ; : : : ; (ax + b) s dx =

= : : : ;

k 1

kt ¡ dt

где k общий знаменатель дробей

; :¯: : ;

3. Рассмотрим интеграл

; : : : ; µcx + d¶

!dx

Z R Ãx; µcx + d¶

ax + b

и в нем делаем следующую замену:

ax + b

R x;

n ; : : : ;

dx =

cx + d

dtk

0¡

ctk

= : : : ;

¡ b

Z Ã

µcx + d¶

dx =

µa

где k общий знаменатель дробей mn ; : : : ; rs.

Рассмотрим примеры.

Пример 2.4.1. Вычислить интеграл

xdx

+ 1:

равен 4,

Это интеграл первого типа, общий знаменатель k дробей

поэтому

+ 1 = ¯dxx= 4t3dt t

p4 x

= p4 x ¯ = Z

+ 1

pxdx

= t4

px = t2

t24t3dt

= 4

dt = 4

t2dt

+ 1

¡ t3

¡ 3 Z

+ 1

+ 1¶

¡ 3 Z

t5dt

3t2dt

= 3

+ 1

3t3 ¡ 3 ln jt3

+ 1j + C = 3 px3 ¡ 3 ln jpx3

+ 1j + C:

4t3

d(t3

+ 1)

Пример 2.4.2.

dx =

x ¡ 4 = t2

x = t2 + 4

t ¢ 2t dt

x ¡ 4

t = px ¡ 4¯

¯dx = 2tdt

t2 + 4

= 2

+¯

4 ¡ 4)dt

= 2 dt

4 + t2

t2 + 4

+ C = 2p

4 arctg

= 2t

4 arctg

x ¡ 4

+ C:

II. Второй тип интегралов это интегралы от дифференциального

бинома вида

xm (a + bxn)p dx;

где m; n; p рациональные числа. Этот интеграл вычисляется только в трех случаях.

1. Если p целое число, то в интеграле делается следующая замена:

Z xm (a + bxn)p dx = ¯¯¯¯ x = tk ¯¯¯¯ = : : : ; dx = ktk¡1dt

где k общий знаменатель дробей m и n.

2. Если

m + 1

целое число, то в интеграле делается замена:

tk ¡ a

a + bxn

= tk x =

dx =

= : : : ;

(a + bx )

dx =

Ãµ

где k знаменатель p.

m + 1

3. Если

+ p целое число, то в интеграле делается замена:

+ bxn

= tk x =

xm (a + bxn)

dx =

= : : : ;

µ1

dx =

Ãµt

где k знаменатель p.

Пример 2.4.3.

m = ¡1

n = 5

p = ¡21

m + 1

= 0

1 = t2

x = (t2 + 1)

Z xpx5

2 n 2

¯dx = 5 t(t + 1)¡

dt t = x

Z (t

+ 1)¡

t¡

t(t

+ 1)¡

dt =

arctg t + C =

arctg px5 ¡ 1 + C:

t2 + 1

III. Рассмотрим два вида интегралов третьего типа. 1. Рассмотрим интеграл

(Mx + N) dx

ax2 + bx + c

Выделим в знаменателе полный квадрат

+ µc ¡ 4a¶:

ax2 + bx + c = a µx + 2ba¶

Тогда в исходном интеграле делается следующая замена:

(Mx + N) dx

t = x + 2ba

c0 = c ¡ 4a¯

= ¯

0 = N

¯N

x = t

pax + bx + c

¡ 2a

= Z

pat2

+ c0

2a Z

pat2

+ c0

+ N0 Z

pat2

+ c0 =

(Mt + N0) dt

M¯

2at dt

d(at2 + c )

+ N0 Z

= : : : :

at2 + c0

2. Рассмотрим интеграл второго вида:

(Mx + N)p

ax2 + bx + c

Этот интеграл с помощью замены

сводится к интегралу предыдущего типа

¯Mx + N = t

x = M

µ t

¡ N¶¯ =

¡M t2

Mx + N

(Mx + N)pax2 + bx + c

t =

¯dx = 1 dt

= ¡

= : : : :

Пример 2.4.4.

a0t2 + b0t + c0

(x + 2) + 9

¯ dx = dt ¯

x + 4x + 13

x dx

x dx2

x + 2 = t

p 2

¯x = t ¡ 2¯

2) dt

2t dt

pt2

+ 9

2 Z

pt2 + 9

= 2 Z

pt2

+ 9

¡ 2 ln jt + pt2

+ 9j = pt2 + 9 ¡ 2 ln jt + pt2 + 9j + C =

d(t2

+ 9)

= p

¡ 2 ln jx + 2 + p

j + C:

x2 + 4x + 13

Пример 2.4.5.

¯ x =

t =

¯ =

t dt

xp3x2 + 2x 1

3 2

¯dx =

+ t

¡t

¡ Z

t2p3 +¢ 2t ¡ t2

¡ Z p4 ¡ (t ¡ 1)2

t t dt

d(t ¡ 1)

t ¡ 1

1 ¡ x

arcsin

+ C =

arcsin

+ C:

IV. Рассмотрим интегралы четвертого типа

R(x; ax2 + bx + c) dx;

где R символ рациональной функции.

В этом интеграле аналогично предыдущему пункту выделяется пол-

ный квадрат:
Z			Z Ã						!
Z	p		Z Ã			µ	b2	¶	!
	R(x; ax2	+ bx + c) dx = R t ¡		b	; sat2 + c ¡		b2		dt = I:
	R(x; ax2	+ bx + c) dx = R t ¡		2a	; sat2 + c ¡		4a		dt = I:

Чтобы эти интегралы вычислить, применяются следующие тригонометри-

ческие замены.

1. Пусть a > 0 и c ¡

> 0, тогда обозначим a = m2, c ¡

= n2.

Получим

t =

tg z

= R t

¡ 2a

; m

+ n

dt =

= : : : :

m cos z

¯tg z + 1 =

cos2 z

2. Пусть a > 0 и c ¡

< 0, тогда обозначим a = m2, c ¡

= ¡n2.

Получим

t =

m cos z

n sin z dz

= R t

; m2t2

n2 dt =

dt =

= : : : :

¡ 2a

m cos

sin

1 =

cos2 z

¯cos2 z ¡

3. Пусть a < 0 и c ¡

> 0, тогда обозначим a = ¡m , c ¡

= n

Получим

dt = ¯

¯ = : : : :

t = nm

sin z

;

m2t2

dt =

cos z dz

¯1

sin

z = cos2 z¯

Пример 2.4.6.

x = 2 sin z

2 cos z dz

¯dx = 2 cos z dz¯

4 sin2 z)3

cos z dz

cos z dz¯

= Z

= tg z + C =

cos2 z

sin2 z)3

cos6 z

= tg arcsin

+ C =

+ C:

1 ¡

4 ¡ x2

Пример 2.4.7.

x + 1 = t

px2 + 2x ¡ 3 dx

(x + 1)2 ¡ 4 dx

= ¯x = t

1¯

x + 1

dx = dt

t =

¯ =

cos z

¡ 4 dt

2 sin z dz

cos z ¢ 2 sin z dz

¯dt =

rcos2 z

cos2 z

cos

z = arccos t

sin2 z dz

tg z = u¯

= du

u2du

= 4

cos

= 4

cos

¯sin2 z =

1 + u


= 4 Z	du ¡ 4 Z		1 + u2 = 4u ¡ 4 arctg u + C = 4 tg z ¡ 4z + C =
			du
	2		2				2
	2		2		+ C = 2px2		2
= 4 tg arccos		¡4 arccos				+ 2x ¡ 3 ¡4 arccos			+ C:
= 4 tg arccos	x + 1	¡4 arccos		x + 1		+ 2x ¡ 3 ¡4 arccos		x + 1	+ C:

Глава 3

Определенный интеграл и его приложения. Несобственный интеграл

3.1. Понятие определенного интеграла, основные свойства определенного интеграла

3.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

I. Вычисление площади плоской фигуры.

Зададим на отрезке [a; b] неотрицательную непрерывную функцию f(x). Требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой y = f(x), осью OX, прямыми x = a, x = b, и вычислить эту площадь (рис. 3.1). Произведем разбиение отрезка [a; b] на n частей

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b:

O x0 »1 x1 »2

»n xn x

Рис. 3.1.

Выберем на каждом полученном отрезке [xj¡1; xj] (j = 1; : : : ; n) произвольную точку »j 2 [xj¡1; xj]. Вычислим значение f(»j) и составим сумму

Sn = f(»j)¢xj;

j=1

где ¢xj = xj ¡ xj¡1, которая называется интегральной суммой. Сумма Sn равна сумме площадей прямоугольников с основанием ¢xj и высотой

f(»j).

Будем все ¢xj стремить к нулю так, чтобы max ¢xj ! 0. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу, то этот предел S называется площадью фигуры

	n
	Xj
S = lim	f(»j)¢xj:
max ¢xj!0	=1

II. Работа.

Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой оси переменная сила F (x), где F (x) есть непрерывная функция от xабсциссы движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от a до b равна

	n
	Xj
W = lim	F (»j)¢xj;
max ¢xj!0	=1

где разбиение отрезка и выбор точек происходит как в предыдущем пункте. III. Масса стержня переменной плотности.

Будем считать, что отрезок [a; b] оси OX имеет массу с переменной плотностью ½(x) > 0, где ½(x) непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого стержня равна

	n
	Xj
M = lim	½(»j)¢xj;
max ¢xj!0	=1

где разбиение отрезка и выбор точек происходит аналогично.

3.1.2. Понятие определенного интеграла

Во всех предыдущих задачах мы пришли к понятию интегральной суммы. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b].

(1) Разобьем отрезок [a; b] на n частей:

a = x0 < x1 < : : : < xn = b:

(2) Вычислим длину каждого отрезка ¢xj = xj ¡ xj¡1.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математический анализ

#
01.06.201514.45 Кб36Билет 0.docx
#
01.06.2015195.75 Кб50Контр. 1.pdf
#
01.06.201532.98 Кб38контрольна работа №2.docx
#
01.06.201520.14 Кб35кр2 продолжение.docx
#
01.06.20151.59 Mб2522Математический анализ учебник.pdf