Математический анализ / Математический анализ учебник

(3)Возьмем произвольную точку »j 2 [xj¡1; xj].

(4)Вычислим значение функции в этих точках f(»j).

(5)Составим интегральную сумму

	n
Sn =	Xj
	f(»j)¢xj:
	=1
Определение 3.1.1. Если при любых разбиениях отрезка [a; b]		на
n частей, таких, что max ¢xj	! 0, и при любом выборе точек »j	2

[xj¡1; xj] интегральная сумма Sn стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают

n				b
			a
X	f(» )¢x			f(x) dx:
S = lim			=
max ¢xj!0 j=1	j	j	Z		(3.1)

Число a называют нижним пределом интеграла, а b верхним пределом интеграла.

Определение 3.1.2. Если для функции f(x) предел (3.1) существует, то функцию f(x) называют интегрируемой на отрезке [a; b].

Теорема 3.1.1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.

Сформулируем основную теорему для класса интегрируемых функций.

Теорема 3.1.2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Из этих двух теорем видно, что класс функций, ограниченных на отрезке, шире класса интегрируемых функций, а этот класс, в свою очередь, шире класса непрерывных функций.

3.1.3. Основные свойства определенного интеграла

Теорема 3.1.3. Пусть функции f(x) и g(x) интгерируемы на отрезке [a; b], тогда:

1. Rb f(x) dx = ¡ Ra f(x) dx,

a b

2.Ra f(x) dx = 0,

a

101

3. Rb Cf(x) dx = C Rb f(x) dx, где C = const,

a a

4.Rb(f(x) § g(x)) dx = Rb f(x) dx § Rb g(x) dx:

a

a

a

Доказательство. Докажем четвертое утверждение этой теоремы, остальные доказываются аналогично. По определению определенного интеграла имеем

b					n
a
		g(x)) dx =			X
(f(x)	§			lim
Z				max ¢xj!0 j=1(f(»j) § g(»j))¢xj =
		n			n
lim		X	f(» )¢x		Xj
					lim
= max ¢xj!0 j=1			j		j § max ¢xj!0 =1 g(»j)¢xj =
		=	Zb f(x) dx § Zb g(x) dx:

aa

Утверждение 1 последней теоремы говорит о том, что при перемене пределов интегрирования в определенном интеграле надо сменить знак перед интегралом, свойство 3 о том, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, а последнее утверждение о том, что определенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов от каждой функции.

Теорема 3.1.4. Если на отрезке [a; b], где a 6 b, функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию f(x) 6 g(x),то

Zb Zb

f(x) dx 6 g(x) dx:

aa

Доказательство. Рассмотрим разность интегралов

Zb Zb Zb

g(x) dx ¡ f(x) dx = (g(x) ¡ f(x)) dx =

a a a

	n
lim	Xj	(g(»	)	¡	f(»	))¢x	:
= max ¢xj!0	=1	j			j	j
		102

Поскольку по условию g(»j) ¡ f(»j) > 0 и ¢xj > 0, то каждое слагаемое суммы неотрицательно. Тогда неотрицательна и вся сумма, отсюда следует, что и предел есть величина неотрицательная, т.е.

Zb Zb

g(x) dx ¡ f(x) dx > 0:

aa

Тогда

Zb Zb

g(x) dx > f(x) dx:

aa

Что и доказывает теорему.

Теорема 3.1.5. Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b] и a 6 b, то

Zb

m(b ¡ a) 6 f(x) dx 6 M(b ¡ a):

a

Доказательство. По условию теоремы m 6 f(x) 6 M, тогда по теореме 1.4 имеем

Zb Zb Zb

	m dx 6	f(x) dx 6 M dx:
a	a	a
Поскольку
Zab m dx = m(b ¡ a);		Zab M dx = M(b ¡ a);
то мы получаем нужное неравенство.

Теорема 3.1.6 (Теорема о среднем). . Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке найдется такая точка » 2 [a; b], что

Zb

f(x) dx = f(»)(b ¡ a):

a

Доказательство. Пусть a < b. Поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на нем своего наименьшего m и наибольшего

103

M значений. По теореме 1.5 имеем				f(x) dx 6 M:
		m 6 b ¡ a Za
		1		b
		R
		b
Обозначим	1	f(x) dx = ¹, отсюда m 6 ¹ 6 M. Но непрерывная на
	b¡a	a

отрезке функция принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, поэтому существует точка » 2 [a; b], такая, что f(») = ¹. Тогда

Zb

f(x) dx = f(»)(b ¡ a):

a

Теорема 3.1.7. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство

Zb	Zc	Zb
f(x) dx =	f(x) dx +	f(x) dx;
a	a	c

если эти три интеграла существуют.

Доказательство. Рассматрим только случай a < c < b. Составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке [a; b]. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a; b], то будем считать, что точка c принадлежит каждому разбиению. Всю интегральную сумму разобьем на две суммы: сумму, соответствующую отрезку [a; c], и сумму, соответствующую отрезку [c; b]. Получим

b	c	b
X	X	Xc
f(»j)¢xj =	f(»j)¢xj +	f(»j)¢xj:
a	a

Переходя к пределу при max ¢xj ! 0, получим нужное равенство.

3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Пусть на отрезке [a; b] задана интегрируемая функция f(x). Заметим,

что

Zb	Zb	Zb
f(x) dx =	f(t) dt =	f(u) du:
a	a	a
	104

Пусть x 2 [a; b], будем в интеграле Rb f(t) dt менять верхний предел, полу-

a
чим функцию
©(x) = Zax f(t) dt:
Отметим, что
©(a) = Zaa f(t) dt = 0;	©(b) = Zab f(t) dt:

Если f(t) > 0, то значение ©(x) численно равно площади криволинейной трапеции AXxa (рис. 3.2).

y

f(x) X

A

F (x)

o

a

x b x

Рис. 3.2.

Теорема 3.2.1. (Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу). Если f(x) непрерывная функция на отрезке [a; b] и

Zx

©(x) = f(t)dt;

a

то

©0(x) = f(x):

(Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.)

Доказательство. По определению производной мы должны получить

©0(x) = lim ¢© = f(x):

¢x!0 ¢x

105

Дадим аргументу x приращение ¢x и рассмотрим

	x+¢x			x				x+¢x
©(x + ¢x) =	Za	f(t) dt = Za			f(t) dt +			Zx	f(t) dt:
Тогда						Zx	f(t) dt ¡ Za
¢© = ©(x + ¢x) ¡ ©(x) = Za			f(t) dt +							f(t) dt;
		x				x+¢x			x
поэтому
		x+¢x
		¢© =	Z	f(t) dt:

x

Применим теорему о среднем к ¢©, получим

xZ+¢x

¢© = f(t) dt = f(»)(x + ¢x ¡ x) = f(»)¢x;

x

	где » 2 [x; x + ¢x]. Найдем				¢©	=	f(»)¢x	= f(»): Отметим, что при
					¢x		¢x
	¢x ! 0, » ! x. Поэтому	¢©
	©0(x) = lim				=	lim	f(») = lim f(») = f(x);
			¢x
	¢x!0				¢x!0			»!x

поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Мы получили, что

©0(x) = f(x).

Следствие 3.2.1. Из теоремы 3.2.1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Доказательство. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; x], то по

x

теореме 3.1.2 она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует f(t) dt,

				a
			x	R
а значит, существует функция ©(x) =				f(t) dt. Тогда по теореме 3.2.1
©	(x) = f(x)		a
0		, следовательно, функция	R	есть первообразная функции

f(x).

106

3.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 3.2.2. Если F (x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), то справедлива формула

Zb

f(x) dx = F (b) ¡ F (a):

a

Доказательство. Пусть F (x) некоторая первообразная функции f(x)

на отрезке [a; b]. По теореме 3.2.1 функция Rx f(t) dt есть также первооб-

a

разная функции f(x). Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное число C. Поэтому

Zx

f(t) dt = F (x) + C:

a

Это равенство справедливо для всех x 2 [a; b]. Положим x = a, тогда

Za

0 = f(t) dt = F (a) + C;

a

отсюда C = ¡F (a). Следовательно,

Zx

f(t) dt = F (x) ¡ F (a):

a

Положим x = b, получим

Zb Zb

f(x) dx = f(t) dt = F (b) ¡ F (a):

aa

И теорема доказана. ¯

Введем обозначения F (b) ¡ F (a) = F (x)¯¯b , тогда

a

Zb f(x) dx = F (x)¯¯¯b = F (b) ¡ F (a):

a

a

107

Пример 3.2.1. Вычислим определенный интеграл

											2								x3	¯	2	8							8
											0
																				¯
											Z	x2dx =							3	¯0 =			3	¡ 0 =						3	:
		Пример 3.2.2.								Z	exdx = ex									¯
																			0 = e2 ¡ e0 = e2 ¡ 1:
									2									¯	2
									0
																		¯
		Пример 3.2.3.																¯
		2				1							¯			1						1							1				³					´
		0
			Z		dx							x	¯	2																				¼					¼
					4 + x2	=		2		arctg		2	¯	0	=		2	arctg 1 ¡							2		arctg 0 =					2			4		¡ 0		=	8	:
	Z	Пример 3.2.4.
									d2x + 3 = 2 ln j2x + 3j 2 = 2 ln 13 ¡ 2 ln 7 = 2 ln 7 :
			2x + 3 =			2 Z
	5					5																		¯
				dx		1				(2x + 3)						1								¯		5		1						1					1 13
																								¯

22

3.2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3.2.3. Пусть дан интграл

Zb

f(x) dx;

a

где функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Если x = '(t) и выполняется

1.'(®) = a, '(¯) = b, a 6 Á(t) 6 b,

2.'(t) и '0(t) непрерывны на отрезке [®; ¯],

3.f('(t)) определена и непрерывна на отрезке [®; ¯], то

Zb Z¯

f(x) dx = f('(t))'0(t) dt:

a®

Доказательство. Если F (x) первообразная функции f(x), то

Z

f(x) dx = F (x) + C:

108

По формуле замены переменной в неопределенном интеграле имеем

Z

f('(t))'0(t) dt = F ('(t)) + C:

Тогда

Zb

f(x) dx = F (b) ¡ F (a);

a

а

Z¯

f('(t))'0(t) dt = F ('(t))j¯® = F ('(¯)) ¡ F ('(®)) = F (b) ¡ F (a):

®

Так как равны правые части двух последних равенств, то равны и левые.

Теорема доказана.

Пример 3.2.5.

= ¯tx= p

t dt ¯

9

p

dx =

2

3

t2dt

xdx

x

= 2

=

¯

a = 4 ® = p4 = 2¯

Z

¯

= t2

¯

Z

1 + px

1 + t

4

¯

b = 9 ¯ = p9 = 3¯

2

¯

¯

¯

¯

3

¯

1

¯

2

¯

¡

¯

¢¯

3

= 2 Z µt ¡ 1 +

¶ dt = t2

¡ 2t + 2 ln jt + 1j

¯

=

t + 1

¯

2

4

= 9 ¡ 6 + 2 ln 4 ¡ 4 + 4 ¡ 2 ln 3 = 3 + 2 ln

:

3

Пример 3.2.6.

¯

a = 0

® = arcsin 0 = 0

¯

= 2 sin t

t = arcsin x

2

¯dxx= 2 cos t dt

2

¯

Z

4

x2dx =

=

p

¡

¯

¼

¯

0

¯

b = 2

¯ = arcsin 1 =

2

¯

¯

¯

¼

¯

¼

¼

¯

2

¯

2

2

¯

¯

¯

cos 2t

= Z

4 ¡ 4 sin2 t ¢ 2 cos t dt = 4 Z

cos2 t dt = 4 Z

1 +

dt =

2

0

p

0

0

0

¼

¯

¯

2

¼

¼

= 2 Z (1 + cos 2t) dt = 2t

¯

¯

2

+ sin 2t

2

¯

0

0 = ¼ + 0 = ¼:

¯

109

3.2.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема 3.2.4. Пусть u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемые
функции на отрезке [a; b], тогда				¡ Z	u0(x) ¢ v(x) dx;
Z	u(x) ¢ v0(x) dx = u(x) ¢ v(x)		a
a	b	¯	b	a	b
		¯
		¯

или

Zb u dv = u ¢ v¯¯¯b ¡ Zb v du:

a

aa

Доказательство. Для дифференцируемых функций справедливо равенство

(u ¢ v)0 = u0v + v0u:

Проинтегрируем обе части этого равенства на отрезке [a; b], получим

Zb Zb Zb

(u ¢ v)0dx = u0v dx + v0u dx:

a a a

Так как

Zb(u ¢ v)0dx = u ¢ v¯¯¯b

a

a

и u0dx = du, v0dx = dv, то мы получим

Zb u dv = u ¢ v¯¯¯b ¡ Zb v du:

a

aa

Пример 3.2.7.

¼

Z2

0

¯

x ¢ cos x dx = ¯¯¯ u = x du = dx

dvv = sin x	¯	=
	¯
= cos xdx
	¯
	¯

			¼
		¼	2
	¯		¡ Z
= x ¢ sin x		2
		0
			0
	¯
	¯

sin x dx = 2	+ cos x¯0		= 2	¡ 1:
¼	¯	¼	¼
		2
110	¯