Математический анализ / Математический анализ учебник

входит в интервал сходимости этого ряда, тогда

Z	f(x) dx =	Z	n=0 an(x ¡ a)ndx = n=0 an Z			(x ¡ a)ndx =
b		b	1	1		b
a		a	X	X	a

= a

(b

¡

a) + a

(b ¡ a)2

+ a

(b ¡ a)3

+ : : : :

0

1

2

2

3

Интеграл можно вычислить с любой степенью точности.

a

Пример 7.7.2. Вычислить

e¡x2 dx.

0

Разложим

подынтегральную функцию в ряд

R

1 ( 1)n

e¡x2 = 1 x2 + x4

: : : + ( 1)n x2n + : : : =

¡

¡

¡

X

¡

1!

2!

n!

n=0

Тогда

a

2

a 1

x2n

1

1)n a

0

0

X

X

(¡n!

0

Z e¡x dx =

Z

n=0(¡1)n n! dx = n=0

Z x2ndx

=

³n=0(¡1)n n!(2n + 1)´¯0

= n=0(¡1)n n!(2n + 1);

1

x2n+1

¯

a

1

a2n+1

X

X

¯

x2n : n!

=

здесь 0! = 1. Поэтому данный интеграл при известном a можно вычислить с любой степенью точности. А поскольку ряд знакочередующийся, то остаток ряда не превосходит первого отброшенного члена.

Пример 7.7.3. Вычислить Ra sin xdx.

0x

Разложим подынтегральную функцию в ряд

sin x

x2

x4

x2n

1

x2n

= 1 ¡

+

¡ : : : + (¡1)n

+ : : : =

(¡1)n

:

x

3!

5!

(2n + 1)!

(2n + 1)!

n=0

Тогда

X

a

sin x

dx =

a

1

(

1)n

x2n

=

1

(¡1)n

a x2ndx =

Z

¡

Z

x

n=0

(2n + 1)!

n=0 (2n + 1)!

Z

0

0

X

X

0

=

1

x2n+1

a

1

a2n+1

³n=0(¡1)n

(2n + 1)!(2n + 1)

´¯0= n=0(¡1)n

(2n + 1)!(2n + 1):

X

¯

X

¯

271

7.7.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования. Одним из таких методов является метод представления решения в виде ряда Тейлора. Сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

y00 = F (x; y; y0)				(7.31)
с начальными условиями
y(x0) = y0;		y0(x0) = y00 :
Представим решение в виде ряда Тейлора в точке x0:
y(x) = y(x0) + y0(x0)	(x ¡ x0)	+ y00(x0)	(x ¡ x0)2	+ : : : :
			2!
1!

Чтобы получить данное разложение, надо найти все коэффициенты этого ряда. Первые три коэффициента нам уже известны, поскольку

y(x0) = y0; y0(x0) = y00 ; y00(x0) = F (x0; y0; y00 ):

Чтобы найти остальные коэффициенты, продифференцируем уравне-

ние (7.31) по x, получим

y000

= Fx0 (x; y; y0) + Fy0(x; y; y0)y0

+ Fy0

0(x; y; y0)y00:

Подставляя x = x0, найдем y000(x0) = (y000) x=x0

. Остальные коэффициенты

ищутся аналогично. Там, где полученный¯ ряд сходится, он есть частное

решение исходного уравнения.

¯

Пример 7.7.4. Найти частное решение уравнения y00 = ¡yx2, при усло-

вии что, y(0) = 1, y0(0) = 0. Тогда y00(0) = 0.

Будем искать поочередно все производные в точке x0 = 0. Получим:

y000 = ¡y0x2 ¡ 2xy;

y000(0) = 0;

yiv = ¡y00x2 ¡ 4y0x ¡ 2y;

yiv(0) = ¡2;

yv = ¡y000x2 ¡ 6y00x ¡ 6y0;

yv(0) = 0;

yvi = ¡yivx2 ¡ 8y000x ¡ 12y00;

yvi(0) = 0;

yvii =

¡

yvx2

2¡

10yivx

20y000;

yvii(0) = 0;

y

viii

vi

x

v ¡

iv

;

y

viii

(0) = 60:

= ¡y

¡ 12y

x ¡ 30y

272

Тогда y(k+2) = ¡x2y(k) ¡2kxy(k¡1) ¡k(k¡1)y(k¡2). Отсюда легко получить,

что

y(4n+1)(0) = y(4n+2)(0) = y(4n+3)(0) = 0;

y(4n+4)(0) = ¡(4n+2)(4n+1)y(4n)(0) = (¡1)n+11¢2¢5¢6¢: : :¢(4n+1)(4n+2):

Тогда

y = 1 + X1 (¡1)n+11 ¢ 2 ¢ : : : ¢ (4n + 1)(4n + 2)x4n+4: (4n + 4)!

n=0

273

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

N множество натуральных чисел

R множество вещественных (действительных) чисел (a; b) открытый промежуток или интервал

[a; b] замкнутый промежуток или отрезок 8 для любого (для любых)

9 существует : для такого, что (для таких, что) ) следует

, тогда и только тогда 2 принадлежит ½ содержится [ объединение \ пересечение

1 бесконечность

274

Литература

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1, 2. М.: Наука, 1967.

2.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Т.1. М.: Высш. шк., 1982.

3.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1997.

4.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

5.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1, 2. М.: Наука, 1975.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1, 2. М.: Наука, 1970.

275

У ч е б н о е и з д а н и е

Математический анализ. Симона Глебовна Мысливец

Редакторы А.А.Назимова, О.Ф.Александрова Корректор Т.Е.Бастрыгина

Подписано в печать 16.02.2004.		Формат 60x84/16.
Бумага тип.		Печать офсетная.
		Уч.-изд. л. 17,1
Тираж 1000 экз.	Заказ	Цена договорная.

Издательский центр Красноярского государственного университета.

660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.