Математический анализ / Математический анализ учебник

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, мы можем представить эту дробь в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби.

Pn(x)

= M(x) +

Fs(x)

;

где

s < m:

Qm(x)

Qm(x)

2.2.1. Интегрирование простейших рациональных дробей

Определение 2.2.3. Рациональные дроби вида:

1.

A

;

x ¡ a

2.

A

, где n > 2,

(x ¡ a)n

Ax + B

3.

, где дискриминант знаменателя D < 0,

x2 + px + q

4.

Ax + B

, где n > 2 и D < 0,

(x2 + px + q)n

называются простейшими рациональными дробями.

Рассмотрим интегрирование всех четырех типов этих дробей.

1. Рассмотрим первый тип дробей

A

dx = A

d(x ¡ a)

= A ln x a + C:

Z x ¡ a

Z

x ¡ a

j ¡ j

2. Рассмотрим второй тип дробей

Z

(x ¡ a)n dx = A Z

(x ¡ a)¡nd(x ¡ a) =

A

= A

(x ¡ a)¡n+1

+ C =

A

+ C:

(1 ¡ n)(x ¡ a)n¡1

¡n + 1

3. Третий тип дробей разобьем на два случая. При интегрирование в

знаменателе будем выделять полный квадрат.

a) Z

A

dx = A Z

dx

=

x2 + px + q

(x2 + px +

p2

¡

p2

+ q)

4

4

dx

¡

¯

0

= x + p

¯

4

= A

= ¯ udx = du22 ¯

=

p

2

p2

Z

¡

¢

³

´

¯

¡

¯

p

x + 2

+ q

4

¯

p

¯

2

¯q = q

¯

= A Z

du

A

u

¯

A

x¯

+

=

p

arctg

p

+ C =

p

arctg

p

+ C:

u2 + q0

q0

q0

q0

q0

81

Во втором случае также выделим полный квадрат, сделаем аналогич-

ную замену переменной и разделим интеграл на два.

Z

u2

+ q0 =

b)

Z

x2 + px + q dx = Z

u2 + q00 du = A Z u2 + q0 + B0

Ax + B

Au + B

udu

du

A

2udu

B

u

A

d(u2 + q

)

B

u

=

Z

+ p

0

arctg p

=

Z

0

+ p

0

arctg p

=

2

u2 + q0

2

u2 + q0

q

0

q0

q

0

q0

A

B0

u

A

B0

x + p

=

ln ju2

+q0j+ p

arctg p

+C =

ln jx2 +px+qj+ p

arctg

p

2

+C:

2

2

q0

q0

q0

q0

4. Рассмотрим последний тип простейших дробей. Аналогично третьему случаю выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем такую же

замену переменной:

(x2 + px + q)n dx = Z

+ q0)0n du =

Z

(u2

Ax + B

Au + B

=

A

2udu

+

B0

(u2 + q0) ¡ u2

du =

2 Z (u2 + q0)n

q0

Z

(u2 + q0)n

A

d(u2 + q )

B

du

B

u2du

=

Z

0

+

0

Z

¡

0

Z

=

2

(u2 + q0)n

q0

(u2 + q0)n¡1

q0

(u2 + q0)n

= 2(1 ¡ n)(u2

+ q0)n¡1

+

q00 Z

(u2 + q0)n¡1 ¡

A

B

du

B0

¯dv = t =udu

v =

1

¯

=

¡ q0

2(1 n)(u2 + q )n

1

¯

(u2 + q )n

¯

¯

u

dt = du

¯

0

¡

0

¡

¯

¯

A

¯

B0

du

B0¯u

=

¯

+

Z

¯

+

2(1 ¡ n)(u

2

n 1

q0

(u

2

+ q0)

n

¡

1

¡ 2q0(1 ¡ n)(u

2

n

¡

1

+ q0) ¡

+ q0)

+2q0(1 ¡0 n) Z

(u2 + q0)n¡1 =

B

du

= 2(1 ¡ n)(u2

+ q0)n¡1 + µ q00

+ 2q0

(1 ¡0

n)¶Z

(u2 + q0)n¡1 ¡

A

B

B

du

¡

B0u

= : : : :

2q0(1 ¡ n)(u2 + q0)n¡1

Оставшийся интеграл со степенью в знаменателе на 1 меньше вычисляется аналогично исходному интегралу, постепенно мы дойдем до интеграла, у которого знаменатель будет в первой степени.

Рассмотрим примеры вычисления интегралов от простейших рациональных дробей третьего и четвертого типа.

82

Пример 2.2.1.

x2 + 4x + 4 ¡ 4 + 13 = Z

(x + 2)2 + 9 =

Z

x2(

+ 4x + 13 = Z

x + 3)dx

(x + 3)dx

(x + 3)dx

¯x = u 2¯

Z

u + 9

Z

u + 9

Z

u + 9

¯

u = x + 2

¯

2 + 3)du

udu

du

=

¯

du = dx

¯ =

(u ¡

=

+

=

2

2

2

¯

¡

¯

1¯

d(u2 +¯9) 1

u 1

2

1

u

¯

¯

=

Z

+

arctg

=

ln ju + 9j +

arctg

+ C =

2

u2 + 9

3

3

2

3

3

=

1

ln jx2 + 4x + 13j +

1

arctg

x + 2

+ C:

2

3

3

Пример 2.2.2.

(x + 1)dx

xdx

dx

Z

= Z

+ Z

=

(x2 + 1)2

(x2 + 1)2

(x2 + 1)2

=

1

d(x2 + 1)

+

(x2

+ 1 ¡ x2)dx

=

2 Z

(x2 + 1)2

Z

(x2 + 1)2

= ¡2(x21+ 1)

+ Z

x2

+ 1 ¡ Z

(x2¢+ 1)2 =

dx

x

xdx

¡2(x + 1)

¡ ¯

(x2 + 1)2

2(x2

+ 1)¯

=

21

+ arctg x

x

v =

du = dx

¯ =

¯dv =u =xdx

¡

1

¯

¯

¯

¯

= ¡2(x2

+ 1) + arctg¯ x +

2(x2 + 1)

¡ 2

Z

x2

+ 1 =

¯

1

¯

x

1

dx

¯

1

x

1

= ¡

+ arctg x + +

¡

arctg x + C =

2(x2 + 1)

2(x2 + 1)

2

1

1

x

= ¡

+

arctg x + +

+ C:

2(x2 + 1)

2

2(x2 + 1)

2.2.2. Интегрирование рациональных дробей

Теорема 2.2.1. Любой многочлен Qm(x) разлагается на произведение

линейных множителей вида

(x

¡

a)

и

(x

b)l

и

квадратных трехчленов с

¡2

2

k

отрицательным дискриминантом вида (x

+ px + q) и (x

+ sx + t) , т.е.

Qm(x) = (x ¡ a) ¢ : : : ¢ (x ¡ b)l(x2 + px + q) ¢ : : : ¢ (x2 + sx + t)k;

где l; k > 2.

83

Теорема 2.2.2. Правильная рациональная дробь Pn(x) , где n < m и Qm(x)

Qm(x) = (x ¡ a) ¢ : : : ¢ (x ¡ b)l(x2 + px + q) ¢ : : : ¢ (x2 + sx + t)k, может быть представлена в виде суммы простейших дробей, причем

²множителю (x ¡ a) соответствует дробь x A¡ a,

²множителю (x ¡ b)l соответствует сумма l дробей

B1

+

B2

+ : : : +

Bl

;

x ¡ b

(x ¡ b)2

(x ¡ b)l

Cx + D

² множителю (x2 + px + q) соответствует дробь

,

x2 + px + q

² множителю (x2 + sx + t)k соответствует сумма k дробей

E1x + F1

+

E2x + F2

+ : : :

Ekx + Fk

;

x2 + sx + t

(x2 + sx + t)2

(x2 + sx + t)k

тогда

Pn(x)

=

A

+

B1

+ : : : +

Bl

+

Cx + D

+ : : : +

Qm(x)

x ¡ a

x ¡ b

(x ¡ b)l

x2 + px + q

+

E1x + F1

+ : : : +

Ekx + Fk

:

(2.1)

x2 + sx + t

(x2 + sx + t)k

Коэффициенты A; B1; : : : ; Bl; C; D; E1; F1; : : : ; Ek; Fk находятся по методу неопределенных коэффициентов.

2.2.3. Метод неопределенных коэффициентов

(1) Разлагаем правильную дробь Pn(x) на сумму простейших дро-

Qm(x)

бей с неопределенными коэффициентами, получим равенство вида (2.1).

(2)Приводим правую часть равенства (2.1) к общему знаменателю.

(3)Числитель полученной дроби приравниваем к числителю Pn(x), получим тождество.

(4)Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества, получим систему уравнений для определения неопределенных коэффициентов.

(5)Решая эту систему, найдем все неопределенные коэффициенты.

Рассмотрим пример разложения дроби по методу неопределенных коэффициентов на простейшие дроби.

84

Пример 2.2.3.

2x2 + 4x + 1

=

A

+

Bx + C

=

A(x2 + 4) + (Bx + C)(x ¡ 1)

=

x ¡ 1

x2 + 4

(x ¡ 1)(x2 + 4)

(x ¡ 1)(x2 + 4)

=

Ax2 + 4A + Bx2 ¡ Bx + Cx ¡ C

=

(A + B)x2 + (C ¡ B)x + (4A ¡ C)

:

(x ¡ 1)(x2 + 4)

(x ¡ 1)(x2 + 4)

Приравняем числители исходной и полученной дробей

2x2 + 4x + 1 = (A + B)x2 + (C ¡ B)x + (4A ¡ C):

Приравняем коэффициенты при¯одинаковых степенях x, получим систему

x2¯¯2 = A + B x1¯¯4 = C ¡ B x0¯1 = 4A ¡ C:

Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты A = 75, B = 35, C = 235 , тогда

	2x2 + 4x + 1	=		7		+	53 x + 235	:
	(x ¡ 1)(x2 + 4)		5(x ¡ 1)				x2 + 4

Находить неопределенные коэффициенты можно приравнивая не только коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частей последнего тождества в пункте 3, но и значения левой и правой частей этого тождества при одинаковых значениях x. Этим удобно пользоваться, если у знаменателя исходной дроби есть действительные корни. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2.2.4.

	x + 3	=	A	+	B	+	C	=
	(x + 2)(x ¡ 1)2		x + 2		x ¡ 1		(x ¡ 1)2

= A(x ¡ 1)2 + B(x + 2)(x ¡ 1) + C(x + 2): (x + 2)(x ¡ 1)2

Тогда

x + 3 = A(x ¡ 1)2 + B(x + 2)(x ¡ 1) + C(x + 2):

Возьмем x = 1, x = ¡2 это корни знаменателя и еще, например, x = 0.

Получим		1 = 9A
x = ¡2¯
x = 1	¯	4 = 3C
	¯	85	¡
	¯
x = 0	¯
	¯3 = A 2B + 2C:

Решая эту систему, найдем A = 19, B = ¡19, C = 43, тогда

x + 3	=	1	¡	1		+	4	:
(x + 2)(x ¡ 1)2		9(x + 2)			9(x ¡ 1)		3(x ¡ 1)2

2.2.4. Схема интегрирования рациональной дроби

Пусть нам дан интеграл от рациональной функции

Z Pn(x) dx: Qm(x)

(1) Если n > m, т.е. дробь неправильная, то выделить целую часть:

Pn(x) = M(x) + Fs(x) :

Qm(x) Qm(x)

(2)Разложить знаменатель Qm(x) на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом.

(3)Дробь Fs(x) разложить на простейшие дроби с неопределенны-

Qm(x)

ми коэффициентами.

(4)Найти эти неопределенные коэффициенты по методу неопределенных коэффициентов.

(5)Проинтегрировать функцию M(x) и полученные простейшие дроби.

Пример 2.2.5. Вычислить интеграл

Z x4 + 2x2 + 1 x2 ¡ x ¡ 2 dx:

Поскольку исходная дробь неправильная, то выделим целую часть:

4				2		+ 1		2
	x4		3	+ 2x2			x			¡ x ¡ 2
							2
	x	¡ x3		¡ 2x2		+ 1	x + x + 5
		x		+ 4x
		x	3	2		¡ 2x				:
				¡ x2
					5x	+ 2x + 1
					5x2	¡ 5x ¡ 10
						7x + 11
Получим
	x4 + 2x2 + 1				= x2 + x + 5 +					7x + 11	:
	x2 ¡ x ¡ 2					86			x2 ¡ x ¡ 2

7x + 11

Разложим дробь

на простейшие:

x2 ¡ x ¡ 2

7x + 11

=

7x + 11

=

A

+

B

=

x2 ¡ x ¡ 2

(x ¡ 2)(x + 1)

x ¡ 2

x + 1

=

A(x + 1) + B(x ¡ 2)

:

(x ¡ 2)(x + 1)

Тогда

7x + 11 = (A + B)x + (A ¡ 2B):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

¯

x1¯¯¯ 7 = A + B : x0 11 = A ¡ 2B

25

Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты A =

и B =

3

¡

4

. Вычислим исходный интеграл:

3

4

x2 + 1

25

dx

4

dx

Z

x ¡ 2

dx = Z

(x2 + x + 5)dx +

Z

¡

Z

=

x2 ¡ x ¡ 2

3

x ¡ 2

3

x + 1

x3

x2

25

4

=

+

+ 5x +

ln jx ¡ 2j ¡

ln jx + 1j + C:

3

2

3

3

Пример 2.2.6. Вычислить интеграл

Z

(x + 1)(x2 + 6x + 13)dx:

3x + 1

Поскольку рациональная дробь правильная и квадратный трехчлен в знаменателе имеет отрицательный дискриминант, то исходная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:

3x + 1

=

A

+

Bx + c

=

(x + 1)(x2 + 6x + 13)

x + 1

x2 + 6x + 13

=

A(x2 + 6x + 13) + (Bx + c)(x + 1)

:

(x + 1)(x2

+ 6x + 13)

Приравняем числители этих дробей:

3x + 1 = (A + B)x2 + (6A + B + C)x + (13A + C):

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему

x2	¯	0 = A + B
x1	¯	3 = 6A + B + C
	¯
	¯	87
x0	¯	1 = 13A + C:
	¯

1

1

17

Решая эту систему, найдем коэффициенты A = ¡

, B =

и C =

, тогда

4

4

4

Z

(x + 1)(x2

+ 6x + 13)dx = ¡4 Z

x + 1 + 4 Z

x2 + 6x + 13 =

3x + 1

1

dx

1

(x + 17)dx

=

1

ln

x + 1

+

1

Z

(x +

=

ln

x + 1

+

¯

dx = du

¯

=

¡

4

j

j

4

(x + 3)

+ 4

¡4

j

j

4

¯x = u 3¯

17)dx

1

1

¯

x + 3 = u

¯

¯

¡

¯

1

1

(u

3 + 17)du

1

1

2udu¯

14

¯

du

=

ln x+1 +

¡

=

ln

x+1 +

¯

+

¯

=

¡4

4 Z

¡4

j

8 Z

u2 + 4

4 Z

u2 + 4

j

j

u2 + 4

Z

j

1

1

d(u2 + 4)

7

u

= ¡

ln jx + 1j +

+

arctg

=

4

8

u2 + 4

4

2

=

¡

1

ln

j

x + 1

j

+

1

ln

j

x2

+ 6x + 13

j

+

7

arctg

x ¡ 3

+ C:

4

4

8

2

2.3. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим некоторые типы интегралов от тригонометрических выра-

жений. Пусть в дальнейшем R(y; z) рациональная функция двух пере-

менных.

I. Рассмотрим интеграл первого типа

Z R(sin x; cos x)dx:

Если функция R(sin x; cos x) не удовлетворяет никаким специальным усло-

виям, то делают универсальную тригонометрическую подстановку:

tg

x

= t;

sin x =

2 tg x2

=

2t

; cos x =

1 ¡ tg2 x2

=

1 ¡ t2

;

1 + tg2 x

1 + t2

1 + tg2 x

1 + t2

2

2

2

x = 2 arctg t;

dx =

2dt

:

Тогда

1 + t2

¯cos x =

2t

¯

Z

R(sin x; cos x)dx =

1 ¡ t

dx =

=

2dt

¯

tg x2

= t

2

sin x =

1 + t2

¯

¯

¯

1 + t

2

1 + t

2

¯

¯

¯

2

¯

=

R

¯

;

¡

;

¯

µ1 + t2

1 + t2

¶ 1 + t2

Z

¯

¯ 2t

1

t

2dt

и мы получили интеграл от рациональной функции. Далее он решается стандартным методом.

88

Пример 2.3.1.

dx

¯

tg x2 = t

dx =

2dt

¯

2dt

=

1 + t2

=

=

sin x + 1

2t

Z

¯

¯

Z

2

2t

¯sin x =

1 + t

2

¯

(1 + t

)

³

1+t2

+ 1

¯

¯

´

¯

¯

dt¯

dt

2¯

2

= 2

¯

= 2

Z

=

¯

+ C =

+ C:

¡t + 1

¡tg x2 + 1

Z

t2 + 2t + 1

(t + 1)2

Рассмотрим частные случаи интеграла первого типа.

1. Пусть исходная рациональная функция нечетна по функции sin x,

т.е.

R(¡ sin x; cos x) = ¡R(sin x; cos x);

тогда в интеграле делается следующая замена:

t = cos x;

dt = ¡ sin xdx:

2. Пусть исходная рациональная функция нечетна по функции cos x,

т.е.

R(sin x; ¡ cos x) = ¡R(sin x; cos x);

тогда в интеграле делается следующая замена:

t = sin x;

dt = cos xdx:

3. Пусть исходная рациональная функция четна по функциям sin x и

cos x, т.е.

R(¡ sin x; ¡ cos x) = R(sin x; cos x);

тогда в интеграле делается следующая замена:

t = tg x; sin2 x =

t2

;

cos2 x =

1

;

dx =

dt

:

1 + t2

1 + t2

1 + t2

Пример 2.3.2. Вычислить интеграл

Z

sin xdx

:

2 + cos x

Подынтегральная функция нечетна по sin x, так как

¡ sin x

=

¡

sin x

:

2 + cos x

2 + cos x

Поэтому

Z

2 + cos x =

¯¡ sin xdx = dt¯

= ¡ Z

2 + t =

sin xdx

¯

cos x = t

¯

dt

=

ln

2 + t¯

+ C =

ln 2¯+ cos x + C:

¡

j

¯j

¡

j

¯

j

89

x одновременно,

Пример 2.3.3. Вычислить интеграл

Z

dx

2 ¡ sin2 x:

Подынтегральная функция четна по функциям sin x и cos так как

1

=

1

:

Поэтому

2 ¡ (¡ sin x)2

2 ¡ sin2 x

t = tg x

dx

¯sin2 x =

t2

¯

dt

2

sin

2

x

=

¯

1 + t2

¯

=

2

t

2

=

¯

¯

Z

¡

¯

dt

¯

Z

(1 + t

) 2

¡

1+t2

´

¯

dx = 1 + t2

¯

³

¯

¯

¯

¯

¯

2

)dt

¯

dt

= Z

¯

(1 + t

¯

= Z

=

(1 + t2)(2 + 2t2 ¡ t2)

2 + t2

1t 1 tg x

=p2 arctg p2 + C = p2 arctg p2 + C:

II.Рассмотрим интеграл второго типа

где m; n целые числа.

Z

sinm x ¢ cosn xdx;

1.

Если m нечетное число, то в интеграле делается замена:

t = cos x;

dt = ¡ sin xdx; sin2 x = 1 ¡ t2:

2.

Если n нечетное число, то в интеграле делается замена:

t = sin x;

dt = cos xdx; cos2 x = 1 ¡ t2:

3.

Если m + n четное отрицательное число, то в интеграле делается

замена:

t = tg x; sin2 x =

t2

;

cos2 x =

1

;

dx =

dt

:

1 + t2

1 + t2

1 + t2

4.

Если m; n неотрицательные числа и m + n четное число, то

применяются формулы понижения степени:

sin2 x =

1 ¡ cos 2x

; cos2 x =

1 + cos 2x

; sin x

¢

cos x =

1

sin 2x:

2

2

2

90