Математический анализ / Математический анализ учебник

Пример 3.2.8.

Z1

y		y
f(x)				g(x)
				f(x)
a	b x		a	b x
O O
Рис. 3.3.		Рис. 3.4.

0		¯	arctg x
			1 + x
x arctg x dx =		¯		dx
		¯ u =
		¯
	¢	¯du =		2
		¯

¯

dv = x dx¯¯ v = x2 ¯¯¯ =

2

2

¯0 ¡ 2

Z

1 + x2

8 ¡ 2

Z

1 + x2

x2

1

1

1

x2dx

¼

1

1

(x2 + 1 ¡ 1) dx

=

arctg x

0

=

0

=

¯

¯

¯

¡ 2 Z

2 Z

= 8

dx +

1 + x2 =

1

1

¼

1

1

dx

0

0

¼

1

¯

1

1

¯

1

¼

1

¼ ¼ 1

=

¡

x¯0

+

arctg x¯0

=

¡

+

=

¡

:

8

2

2

8

2

8

4

2

¯

¯

3.3.Приложения определенного интеграла

3.3.1.Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

1. Пусть на отрезке [a; b; ] задана непрерывная функция f(x) > 0 (рис. 3.3). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и прямыми x = a, x = b, равна

Zb

S = f(x) dx:

a

111

Если функция f(x) 6 0 на отрезке [a; b], то Rb f(x) dx 6 0. Тогда пло-

a

щадь криволинейной трапеции будет равна

Zb

S = ¡ f(x) dx:

a

2. В случае, когда f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и y = 0, будет состоять из суммы интегралов, взятых со знаком "+ если функция f(x) > 0 на соответствующем отрезке, и со знаком "¡ если функция f(x) 6 0 на соответствующем отрезке. Например, площадь может быть равна

a1	a2	b
S = Za	f(x) dx ¡aZ1	f(x) dx +aZ2	f(x) dx;

если функция f(x) положительна на отрезках [a; a1] и [a2; b], и отрицательна на отрезке [a1; a2].

Пример 3.3.1. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми y = sin x, y = 0 при 0 6 x 6 2¼. Получим

S = Z¼ sin x dx ¡ Z2¼sin x dx = ¡ cos x¯¯¯¼ + cos x¯¯¯2¼ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4:

0 ¼

0¼

3.Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми y = f(x), y = g(x), прямыми x = a, x = b, причем g(x) > f(x) на отрезке [a; b] (рис. 3.4). Тогда

Zb Zb Zb

S = g(x) dx ¡ f(x) dx = (g(x) ¡ f(x)) dx:

a a a

4. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной на отрезке [a; b] кривой y = f(x) > 0, на отрезке [b; c] кривой y = g(x) > 0, причем f(b) = g(b), и прямыми x = a, x = c, y = 0 (рис. 3.5). Получим

Zb Zc

S = f(x) dx + g(x) dx:

ab

112

		y
			3p
y				x
	g(x)	2	3x
f(x)
		1
a b	c	O	1 x
		x
O
Рис. 3.5.		Рис. 3.6.

Пример 3.3.2. Найти площадь фигуры (рис. 3.6), ограниченной кривыми y2 = 9x и y = 3x. Найдем точки пересечения кривых y = 3px и

y = 3x:

3p

= 3x;

x2 ¡ x = 0:

x

Получим

x1 = 0;

x2 = 1:

Тогда

(p9x ¡ 3x) dx =

Ã63

¡

2

!¯0 = 2 ¡ 2 = 2:

S = Z

1

x

3

3x2

¯

1

3 1

0

2

¯

¯

3.3.2. Площадь криволинейной трапеции,¯

ограниченной

кривой, заданной в параметрической форме

Пусть криволинейная трапеция ограничена замкнутой кривой, задан-

ной параметрическим уравнением

½ x = '(t);

y = Ã(t); ® 6 t 6 ¯:

Пусть эта параметрическая функция определяет явную функцию y = f(x) и '(®) = a, '(¯) = b, тогда

S = Z	f(x) dx = Z		y dx = ¯dxx= '0		(t) dt
b		b	¯	= '(t)
			¯
a	a		¯

y = Ã(t)¯	= Z¯ Ã(t)'0(t) dt:
¯	®
¯
¯

Пример 3.3.3. Найти площадь фигуры (рис. 3.7), ограниченной одной

аркой циклоиды ½ x = a(t ¡ sin t);

y = a(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 2¼;

113

y

2

1

o 2¼a x

Рис. 3.7.

и прямой y = 0. Найдем x0

= a(1 ¡ cos t), тогда

2¼

2¼

S = Z0

a(1 ¡ cos t)a(1 ¡ cos t) dt = a2

Z0

(1 ¡ 2 cos t + cos2 t) dt =

2¼

3

cos 2t

3a2

¯

2¼

¯

2¼

¯

2¼

0

= a2

Z µ

¡ 2 cos t +

¶ dt =

t

¯

¡2a2 sin t

¯

+

¯

0 = 3a2¼:

2

2

2

¯

0

¯

0

4

¯

3.3.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

Полярная система координат задается началом координат точкой O и полярной полуосью, выходящей из точки O. Координаты точки M на плоскости задаются длиной ½ радиуса-вектора и углом наклона ' радиусавектора к полярной оси. Рассмотрим кривую, заданную непрерывной функцией ½ = f('), ® 6 ' 6 ¯ в полярной системе координат.

	½ = f(')		Найдем площадь криволинейного сектора
			OAB, ограниченного кривой ½ = f(') и радиус-
			векторами ' = ® и ' = ¯ (рис. 3.8).
			1. Разобьем данный сектор радиус-
			векторами ® = '0 < '1 < '2 < : : : < 'n = ¯.
			2.		Обозначим ¢'j					= 'j ¡ 'j¡1, j =
	o	¯ ® µi	1; 2; : : : ; n; углы между радиус-векторами.
			3. Возьмем угол µj 2 ['j¡1; 'j].
		Рис. 3.8.
			4.		Вычислим ½j =					f(µj) длину радиус-
	вектора, соответствующего углу µj.
	5. Вычислим площадь кругового сектора с радиусом ½j и центральным
	углом ¢'j					1
			¢S		=		½2	¢'	:
				j	2		j	j
					114

		y	Mi
	¼=4	M2
		M1	B
		A
	¡¼=4	o a x1 x2	xi b x
	Рис. 3.9.	Рис. 3.10.

6. Составим интегральную сумму

	1		n		1		n
Sn =			X	½j2¢'j =			Xj
	2 j=1				2		(f(µj))2¢'j;
							=1

которая дает площадь ступенчатого сектора.

Поскольку ½ = f(') непрерывная функция, то существует предел интегральной суммы

	1	n		1 n		1		¯
								®
		X			X				2
		2		2
lim	2 j=1(f(µj)) ¢'j = 2 j=1 ½j ¢'j = 2							Z (½(')) d':
max ¢'j!0
Таким образом, площадь криволинейного сектора равна
			1	¯
		S =		Z® (½('))2 d':
			2

p Пример 3.3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ½ = a cos 2' (рис. 3.9). Эта фигура двухлепестковая роза, площадь будем

	4		4	¼
				R
искать по наименьшей симметричной части. Тогда S =			2	0	a2 cos 2' d' =
¯	¼
a2 sin 2'¯0		= a2:
¯		3.3.4. Длина дуги кривой

Найдем длину дуги кривой AB в прямоугольных координатах. Пусть кривая AB задана функцией y = f(x), непрерывно дифференцируемой на отрезке [a; b] и A = f(a), B = f(b) (рис. 3.10).

115

1. Возьмем разбиение отрезка [a; b] на n частей точками

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b;

им соответствуют точки на кривой

A= f(a); M1 = f(x1); : : : ; Mj = f(xj); : : : ; B = f(b):

2.Проведем хорды AM1, M1M2,. . . ,Mn¡1B. Длины этих хорд обозна-

чим ¢l1, ¢l2,. . . ,¢ln.

3. Найдем длину ломаной AM1M2 : : : Mj : : : B:

Xn

Ln = ¢lj:

j=1

Определение 3.3.1. Длиной L дуги кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

	n
L = lim	Xj	(3.2)
	¢lj:
max ¢lj!0	=1

Теорема 3.3.1. Если функция y = f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a; b], то предел (3.2) существует и длина дуги кривой равна

L = Zb

p

dx:

1 + (f0(x))2

a

Доказательство. Введем обозначения ¢yj = f(xj) ¡ f(xj¡1), тогда по

Пифагора ¢l

j

=

p

(¢x )2

+ (¢y

)2

=

теореме

¢yj

2

j

j

= s

1 + µ

¶

¢xj. По теореме Лагранжа имеем

¢xj

¢yj

=

f(xj) ¡ f(xj¡1)

= f0(»j);

¢xj

xj ¡ xj¡1

где »j 2 [xj¡1; xj]. Поэтому ¢lj

= p

¢xj. Тогда

1 + (f0(»j))2

Xn q

Ln = 1 + (f0(»j))2¢xj:

j=1

116

y

px3

o 5 x

Рис. 3.11.

Поскольку f0(x) непрерывная функция, то предел интегральных сумм Ln существует и

Xq				a	b	p
n				Z
L = lim
		2						2
max ¢x!0 j=1	1 + (f0	(»j))	¢xj =			1 + (f0		(x)) dx:

Пример 3.3.5. Найти длину дуги полукубической параболы y2 = x3

3

от начала координат до точки x = 5 (рис. 3.11). Поскольку y = x2 , то y0 = 32 x12 . Тогда

L = Z0		r1 +				4x dx = 9 Z0											µ1 + 4x¶							d µ4x + 1¶ =
5					9							4			5			9					1			9
																							2
= 27 µ1 + 4x¶										3	¯0=				27 µ 4 ¶							¡		27 = 27 :
		8						9		2	¯	5				8			49			2			8				335
Длина
	дуги кривой,¯													заданной параметрически
Пусть задана кривая
					½ y = Ã(t); ® 6 t 6 ¯;
									x = '(t);

где функции '(t) и Ã(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [®; ¯] и

'0(t) 6= 0 на этом отрезке. Найдем длину дуги этой кривой:

b

x = '(t) dx = ' (t) dt

L =

dx =

¯y = Ã(t) y0 (t) =0 Ã0(t)

¯

=

1 + (yx0 )2

Z

p

¯

x

'

(t)

¯

a

¯

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Z

s1 +

à (t)

¶

2

¯

Z

¯

=

0

'0

(t) dt =

('0(t))2

+ (Ã0(t))2 dt:

' (t)

µ

0

p

®

®

117

Пример 3.3.6. Найти длину дуги одной арки циклоиды (рис. 3.7)

x = a(t ¡ sin t)

½ y = a(1 ¡ cos t);

0 6 t 6 2¼:

Найдем x0 = a(1 ¡ cos t) и y0 = a sin t, тогда длина дуги равна

L = Z0

qa2(1 ¡ 2 cos t + cos2 t + sin2 t) dt = a Z0

p2(1 ¡ cos t) dt =

2¼

2¼

2¼

2¼

¯

0

0

= a Z r2 ¢ 2 sin2

t

t

t

¯

2¼

dt = 2a Z sin

dt = ¡4a cos

= 4a + 4a = 8a:

¯

0

2

2

2

Длина дуги кривой в полярных координатах

Пусть задана кривая в полярной системе координат ½ = ½(') и ® 6 ' 6

¯. Тогда в параметрическом виде кривая будет задаваться уравнениями

½x = ½(') cos ' y = ½(') sin ':

Вычислим x0 = ½0(') cos ' ¡ ½(') sin ' и y0 = ½0(') sin ' + ½(') cos '. Тогда

(x0)2 + (y0)2 = (½0)2 cos2 Á ¡ 2½0½ cos ' sin ' + ½2 sin2 ' + (½0)2 sin2 '+ +2½0½ sin ' cos ' + ½2 cos2 ' =

= (½0)2(cos2 ' + sin2 ') + ½2(cos2 ' + sin2 ') = (½0)2 + ½2:

Получаем формулу длины дуги в полярной системе координат

Z¯ p

L = (½0('))2 + (½('))2 d':

®

Пример 3.3.7. Найти длину кардиоиды ½ = 1 + cos '. Построим эту кривую (рис. 3.12). Найдем ½0 = ¡ sin '. Тогда

Z¼ q

L = 2		sin2 ' + 1 + 2 cos ' + cos2 ' d' =
= 2 Z		0	s4		µ1 +		2	¶d' =
	2 + 2 cos ' d' = 2 Z
¼	p	¼					cos '
0		0
		118

½ = 1 + cos ' z

y

o x » x x

i¡1 i

i

Рис. 3.12.

Рис. 3.13.

¼

¼

¯

= 4 Z rcos2

'

' '

¼

'

d' = 8 Z cos

d

= 8 sin

¯

0 = 8:

2

2

2

2

¯

00

3.3.5.Вычисление объема тел по площадям параллельных

сечений

Пусть есть тело T и известна площадь S любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси OX (рис. 3.13) Эта площадь S будет зависеть от координаты x, поэтому S = S(x). Пусть S(x) непрерывная функция на отрезке [a; b]. Вычислим интегральную сумму.

1.Проведем плоскости x = x0 = a, x = x1, . . . , x = xn = b. Эти плоскости разобьют тело T на слои.

2.Выберем точки »j 2 [xj¡1; xj], j = 1; 2; : : : ; n.

3.Вычислим ¢xj = xj ¡ xj¡1.

4.Построим цилиндры: с основанием, являющимся сечением тела T плоскостью x = »j и высотой ¢xj.

5.Найдем объем j цилиндра Vj = S(»j)¢xj.

6.Найдем объем всех цилиндров Vn = Pn S(»j)¢xj.

j=1

Поскольку S(x) непрерывная функция, то существует предел интегральных сумм Vn, и он равен объему тела T :

				n		b
					a
lim			=	X
	V			lim
V = max ¢xj!0		n		max ¢xj!0 j=1 S(»j)¢xj = Z		S(x) dx:

Объем тела вращения

119

y

a o x b x

Рис. 3.14.

Рассмотрим тело T , образованное вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми y = 0, x = a, x = b (рис. 3.14). Тогда произвольное сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси OX, есть круг, и его площадь будет равна

S(x) = ¼(f(x))2:

Поэтому объем тела T равен

Zb

VOX = ¼ (f(x))2 dx:

a

Пример 3.3.8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX кривой y = px при 2 6 x 6 4. Имеем

VOX = ¼ Z4 x dx = ¼ x2 ¯¯¯4= 8¼ ¡ 2¼ = 6¼:

2 2

2

Составлением специальной интегральной суммы можно получить объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая ограничена кривой y = f(x), прямыми y = 0, x = a, x = b, вокруг оси OY , а именно,

Zb

VOY = 2¼ x ¢ jf(x)j dx:

a

120