Математический анализ / Математический анализ учебник

Y

1

¡1 0 1

X

Рис. 1.9.

71

Глава 2

Неопределенный интеграл

2.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства

2.1.1. Первообразная, ее свойства

Определение 2.1.1. Функция F (x) называется первообразной от функции f(x) на интервале (a; b) (отрезке [a; b]), если для любого x 2 (a; b) (x 2 [a; b]) выполняется равенство F 0(x) = f(x).

Пусть F (x) – первообразная функции f(x), тогда (F (x)+C)0 = F 0(x)+ 0 = f(x).

Теорема 2.1.1. Любые две первообразные F1(x) и F2(x) функции f(x) отличаются друг от друга на константу, т.е.

F1(x) = F2(x) + C:

Доказательство. Для любого x 2 [a; b] имеем

F10(x) = f(x)

и

F20(x) = f(x):

Обозначим функцию '(x) = F1(x) ¡ F2(x). Тогда '0(x) = F10(x) ¡ F20(x) = f(x) ¡ f(x) ´ 0. Поскольку на отрезке [a; b] функция '(x) удовлетворяет

теореме Лагранжа, поэтому для любого x 2 (a; b) выполняется

'(x) ¡ '(a) = '0(c)(x ¡ a);

где a < c < x. Так как '0(c) = 0, то '(x) ´ '(a) = C = const, поэтому

F1 ¡ F2 = C или F1 = F2 + C.

2.1.2. Неопределенный интеграл

Определение 2.1.2. Если функция F (x) является первообразной для функции f(x), то выражение F (x)+C, где C произвольная константа,

называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
R f(x)dx, т.е.	f(x)dx = F (x) + C:
	Z
	72

Здесь символ R знак интеграла; f(x) подынтегральная функция; f(x)dx подынтегральное выражение.

Неопределенный интеграл существует не для всех функций, но есть класс функций, который можно интегрировать всегда это непрерывные функции.

Теорема 2.1.2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для нее существует на этом отрезке первообразная, а значит неопределенный интеграл.

Рассмотрим элементарные свойства неопределенного интеграла.

Теорема 2.1.3. (Элементарные свойства неопределенного интеграла)
2.	¡R	¢	0 = f(x).	.
1.	f(x)dx			.
3.	¡R		¢
	d f(x)dx = f(x)dx
	R
	dF (x) = F (x) + C

Доказательство. Самостоятельно.

Поскольку для сложной функции f(x) = f(u(x)) = f(u) выполняется свойство инвариантности формы первого дифференциала f0(u)du = f0(x)dx, то таблицу неопределенных интегралов мы запишем в более общем виде, когда аргументом функции f будет являться функция u(x), которая, в частности, может быть равна u = x.

Таблица неопределенных интегралов

73

1. R du = u + C;

Ru®+1

2.u®du = ® + 1 + C;

3.R du = ln juj + C;

4.R sinu udu = ¡ cos u + C;

5.R cos udu = sin u + C;

Rdu

6.cos2 u = tg u + C

Rdu

7.R sin2 u = ¡ ctg u + C;

8.tg udu = ¡ ln j cos uj + C;

9.R ctg udu = ln j sin uj + C;

10.

R

eudu = eu + C;

audu =

au

+ C;

11.

R

du

ln a

12.

R

= arctg u + C;

1

+ u2

13.

du

=

1

arctg

u

+ C;

2 + u2

R

a

¯

a

¯

14.

=

ln

+ C;

a2

du¡

u2

2a

a

u

R

a

du

1

¯

a + u

¯

R

=

ln

¡

+ C;

¡

¯

¯

15.

2

2

¯

¯

¯

¯

u

a

2a

¯

¯

¯u + a

¯

16.R p1du¡ u2 = arcsin u + C;

17.R pa2du¡ u2 = arcsin ua + C;

18.R pudu2 § a = ln ju+pu2 § aj+

C:

2.1.3. Свойства неопределенного интеграла

Теорема 2.1.4. Справедливы следующие соотношения: 1. R (f (x) § f (x))dx = R f (x)dx § R f (x)dx.

R 1 2 R 1 2

2. af(xR)dx = a f(x)dx; где a = const. 3. Если f(x)dx = F (x) + C, то

Z

f(ax + b)dx = a1 F (ax + b) + C;

где a; b = const.

Доказательство. Докажем первое и третье утверждения. Второе доказывается аналогично. По первому элементарному свойству имеем

µZ (f1 § f2)dx¶0		= f1 § f2;
µZ f1dx § Z f2dx¶0	= µZ f1dx¶0		§ µZ f2dx¶0	= f1 § f2:

Поскольку равны правые части этих выражений, то равны и левые. Значит, первое утверждение верно.

74

Докажем третье утверждение
Z	f(ax + b)dx = Z	1
		f(ax + b)			d(ax + b) =
				a
= a	Z f(ax + b)d(ax + b) = aF (ax + b) + C:
1		1

И теорема доказана.

Рассмотрим вычисление некоторых интегралов.

Пример 2.1.1.																						x4 dx =
Z	µpx + px3¶dx = Z x¡2 dx + Z
		1					4							1								3
	= x2						+ x4						+ C = 2px + 4 p4 x7 + C:
		1								7
		1								7								7
Пример 2.1.2.		2								4
Z										1			Z	1
	cos 5xdx =													cos 5xd(5x) =							sin 5x + C:
											5									5
Пример 2.1.3.
	Z			dx				= Z						d(x + 1)
															= ln jx + 1j + C:
			x + 1											x + 1

2.1.4. Метод непосредственного интегрирования

Рассмотрим метод непосредственного интегрирования или метод внесения функции под знак дифференциала. Будем использовать определение

дифференциала функции u0(x)dx = du. Тогда

Z f(u(x))u0(x)dx =

Z f(u)du:

Покажем использование этого приема на примерах.

Пример 2.1.4.

Z ctg xdx = Z

cos xdx

= Z

d(sin x)

= ln j sin xj + C:

sin x

sin x

Пример 2.1.5.

Z ex sin exdx = Z

sin exd(ex) = ¡ cos ex + C:

Пример 2.1.6.

2

1

2

1

2

1

2

Z ex

xdx =

Z

ex

2xdx =

Z

ex

d(x2) =

ex

+ C:

2

2

2

75

2.1.5.Замена переменной в неопределенном интеграле

1.Рассмотрим первый тип замены в неопределенном интеграле. Пусть дан интеграл R f(x)dx и мы хотим сделать в этом интеграле замену x = '(t), где функция '(t) непрерывно дифференцируема и имеет

обратную функцию

t = t(x). Тогда

f(x)dx =

¯

dx = '0(t)dt

¯ = Z

f('(t))'0(t)dt:

Z

¯

x = '(t)

¯

¯

¯

Докажем, что это равенство¯

верно. Действительно,¯

аналогично

µZ f(x)dx¶x0

= f(x);

µZ f('(t))'0(t)dt¶x0

= µZ f('(t))'0(t)dt¶t0

tx0 =

= f('(t))'0(t)

1

= f('(t)) = f(x):

'0(t)

Поскольку правые части равны, то равны и левые.

Пример 2.1.7.

1 + px

=

¯

dx = 2tdt

¯

= Z

1 + t =

Z

dx

¯

x = t2

; t = p

x

¯

2tdt

¯

¯

Z

¯ 1)dt

Z

¯

Z

(t + 1

¡

d(t + 1)

t + 1

t + 1

= 2

¡

= 2

dt

2

=

= 2t ¡ 2 ln jt + 1j + C = 2px ¡ 2 ln jpx + 1j + C:

Пример 2.1.8.

Z px + 1dx = ¯¯¯¯ x + 12= t2; t = px + 1 ¯¯¯¯ = Z t 2t dt = x = t ¡ 1; dx = 2tdt

=2 Z t2dt = 23t3 + C = 23p(x + 1)3 + C:

2.Второй тип замены в неопределенном интеграле это, по сути, ме-

тод непосредственного интегрирования, рассмотренный выше. А именно:

Z f(u(x))u0(x)dx = ¯¯¯¯ u = u(x0 ) ¯¯¯¯ = Z f(u)du: du = u (x)dx

76

Пример 2.1.9.

Z

¯

¯

cos x

u = sin x

¯

¯

=

du

du = cos xdx

Z ctg xdx =

sin x dx = ¯

¯

= Z

= ln juj + C =¯ ln j sin xj + C:

¯

u

Пример 2.1.10.

= ¯du =

¯ = Z

Z

ln2 x

dx

u2du =

x

x

¯

¯

dx

¯

u = ln x

¯

u

3

¯

ln

3¯

¯

¯x

=

+ C =

+ C:

Пример 2.1.11.

3

3

¯x4 = u2; xdx =

¯ =

Z

=

du

Z

=

1 + x4

2

1 + u2

¯

2

¯

xdx

¯

u = x2; du = 2xdx

¯

1

du

¯

¯

¯

¯

= 12 arctg u + C = 12 arctg x2 + C:

2.1.6. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемые функции. Тогда дифференциал произведения этих функций равен

	d(uv) = udv + vdu:
Проинтегрировав это равенство, получим
Z	d(uv) = Z udv + Z	vdu	или

ZZ

udv = u ¢ v ¡ vdu:

Последнее равенство есть формула интегрирования по частям. Она применяется, если интеграл в правой части является либо табличным, либо вычисляется проще интеграла в левой части.

Рассмотрим основные типы неопределенных интегралов, которые вычисляются по частям. Отметим, что есть еще и другие интегралы, которые берутся по частям.

Обозначим

Pn(x) = a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an

многочлен степени n.

77

(I)

¯

a

¯

¯

u = Pn(x) du = Pn0 (x)dx

¯

1

Z

Pn(x)eaxdx = ¯dv = eaxdx

v =

eax

¯ =

1

ax¯

1

ax

¯

=

Pn(x)e

¯

¡

Z

Pn0 (x)e

dx = : : : :

¯

a

a

Далее интегрируем по частям еще n ¡ 1 раз.

(II)

¯

a

¯

¯

u = Pn(x)

du = Pn0 (x)dx

¯

Pn(x) cos axdx =

1

=

Z

¯dv = cos axdx

v =

sin ax

¯

1

¯

1

¯

¯

Z

Pn0 (x) sin axdx = : : : :

¯

=

a

Pn(x) sin ax ¡

a

Далее интегрируем по частям еще n ¡ 1 раз.

¯

¯

¡a

Pn(x) sin axdx =

¯

u = Pn(x)

du = P 0 (x)dx

¯

Z

¯dv = sin axdx

v =

1ncos ax¯ =

1

¯

1

¯

¯

Z

Pn0 (x) cos axdx = : : : :

¯

= ¡

a

Pn(x) cos ax +

a

Далее интегрируем по частям еще n ¡ 1 раз.

(III)

¯

dx

¯

¯

¯

u = ln x

du = x

=

Z

Pn(x) ln xdx = ¯

¯

¯

¯

¯

v(x)dx

R

¯

= v(x) ln x ¡ Z

= : : : :

Z

x

¯dv = Pn(x)dx v(x) = Pn(x)dx¯

=

Pn(x) arcsin xdx = ¯

u = arcsin x

du =

p1dx¡ x2

¯

¯

¯

¯

R

¯

¯

v(x)dx

¯

= v(x) arcsin¯

x ¡ Z

p

= : : : :

¯

Z

1 ¡ x2

¯dv = Pn(x)dx v(x) = Pn(x)dx¯

¯

dx

¯

Pn(x) arctg xdx =

¯

u = arctg x

du =

1 + x2

¯

=

¯

78

R

¯

¯

¯

¯

¯

= v(x) arctg x ¡ Z

v(x)dx

= : : : :

1 + x2

(IV)

¯

u = eax

b

¯

¯

du = aeaxdx

¯

eax cos bxdx =

1

=

Z

¯dv = cos bxdx

v =

sin bx

¯

1 ax

¯

a

ax

¯

=

e

sin bx¯

¡

Z

e

sin bxdx = : : : :

¯

b

b

Далее интеграл в правой части еще раз берется по частям, и мы приходим к исходному интегралу. Перенося его в левую часть, решаем уравнение относительно этого интеграла.

¯

u = eax

¡b

¯

eax sin bxdx =

¯

1

¯

=

Z

¯dv = sin bxdx

v =

cos bx¯

1

¯

a

¯

= ¡

eax cos

¯bx +

Z

eax cos bxdx = : : : : ¯

b

b

Далее поступаем как в предыдущем примере.

Рассмотрим некоторые примеры вычисления интегралов по частям.

Пример 2.1.12.

¯

¡3

¯

¯

u = x2 + 1

du = 2xdx

¯

(x2 + 1) sin 3xdx =

1

=

Z

¯dv = sin 3xdx

v =

cos 3x¯

1

¯

2

¯

= ¡

(x2 + 1)

¯cos 3x +

Z

x cos 3xdx =

¯

3

3

= ¡

(x2 + 1) cos 3x +

¯dv = cos 3xdx

v =

1

sin 3x¯ =

3

3

¯

u = x

3

¯

1

2

¯

¯

1

2

¯

2

2

¯

= ¡

(x

+ 1) cos 3x +¯

x sin 3x ¡

Z

sin 3xdx = ¯

3

9

9

1

2

2

= ¡

(x2 + 1) cos 3x +

x sin 3x +

cos 3x + C:

3

9

27

Пример 2.1.13.

¯dv = (2x + 3)dx v = x + 3x¯

Z

¯

dx

¯

(2x + 3) ln 5xdx =

¯

u = ln 5x

du =2 x

¯

=

2

¯

¯

2

(x +¯3x)dx

2

¯

= (x

+ 3x) ln 5x ¡ Z

= (x

+ 3x) ln 5x ¡ Z (x + 3)dx =

x

79

x2

= (x2

+ 3x) ln 5x ¡

¡ 3x + C:

Пример 2.1.14.

2

u = e2x

du = 2e2xdx

Z

e2x cos 3xdx =

¯dv = cos 3xdx

v =

1

sin 3x

¯

=

3

¯

¯

¯

¯

1

2x

¯

2

2x

¯

¯

Z

¯

=

e

sin 3x ¡

e

sin 3xdx =

3

3

1

2

u = e2x

du = 2e2xdx

=

e2x sin 3x ¡

¯dv = sin 3xdx

1

cos 3x¯

=

v =

3

3

¯

¡3

¯

¯

¯

1

2x

¯2

2x

4

2x

¯

=

e

sin 3x +

¯

e

cos 3x

¡

e

cos 3xdx:¯

3

9

9

Z

Теперь перенесем интеграл из правой части равенства в левую, получим

13

Z

e2x cos 3xdx =

1

e2x sin 3x +

2

e2x cos 3x + C:

9

3

9

Или, окончательно,

µ

e2x cos 3x¶ + C:

Z e2x cos 3xdx =

9

1

e2x sin 3x +

2

13

3

9

Рассмотрим пример, который не относится к приведенным выше типам

интегралов.

Пример 2.1.15.

xdx

u = x

du = dx

¯

¯

Z

=

¯dv = dx

v = tg x¯

=

cos2 x

¯

¯

¯

¯

cos2 x

Z

¯

¯

=x tg x ¡ tg xdx = x tg x + ln j cos xj + C:

2.2.Интегрирование рациональных функций

Определение 2.2.1. Функция вида R(x) = Pn(x) , где Pn(x) и Qm(x)

Qm(x)

многочлены степени n и m соответственно, называется рациональной функцией или рациональной дробью.

Определение 2.2.2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. n < m, и называется неправильной, если n > m.

80