Математический анализ / Математический анализ учебник

Пример 1.4.4. Покажем, что производная функции y = sin x равна y0 = cos x. Поскольку

¢y = y(x + ¢x) ¡ y(x) = sin(x + ¢x) ¡ sin x =

= 2 sin	x + ¢x ¡ x		cos		x + ¢x + x			=
2		µx +		2		¶	2
= 2 sin 2 cos							:
	¢x			¢x

Тогда

	y0 = lim	¢y		=	lim
		¢x
	¢x!0				¢x!0

sin ¢x

= lim 2 ¢ lim cos

¢x!0 ¢x ¢x!0

¢x

¢x

2 sin

¢ cos µx +

¶

2

2

=

2

¢x

2

µx +

¢x

¶ = 1 ¢ cos x = cos x:

2

2

Таблица производных основных элементарных функций

1: c0 = 0;

где

c = const

2: x0 = 1;

где

x ¡ независимый аргумент

1

3: y = xn;

y0 = nxn¡1;

n =

4: y = p

y0

=

1

6 ¡

x;

2px

5: y = sin x;

y0

= cos x

6: y = cos x;

y0

=

¡

sin x

1

7: y = tg x;

y0

=

cos2 x

8: y = ctg x;

y0

= ¡

1

sin2 x

9: y = arcsin x;

y0

=

1

;

x < 1

p

10: y = arccos x;

y0

=

1 ¡1x2

;

j jx < 1

¡

1

1 ¡ x2

j j

11: y = arctg x;

y0

=

p

1 + x

2

12: y = arcctg x;

y0

= ¡

1

1 + x2

a > 0; a = 1

13: y = ax;

y0 = ax

¢

ln a;

6

31

14: y = ex;			y0	= ex
15: y = ln x;			y0	=		1	;			x > 0
					x			1
16: y = log		x;	y0	=						; a > 0; a = 1; x > 0	.
	a
					x			ln a
							¢			6

1.4.5. Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций

Теорема 1.4.3. Производная константы равна нулю.

Доказательство. Пусть функция y = c = const, тогда ¢y = y(x + ¢x) ¡ y(x) = c ¡ c = 0: Поэтому

y0 = c0 = lim ¢y = 0:

¢x!0 ¢x

Теорема 1.4.4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если функция y = c ¢ f(x); то y0 = c ¢ f0(x):

Доказательство. Для этой функции ¢y = c ¢ f(x + ¢x) ¡ c ¢ f(x) = c(f(x + ¢x) ¡ f(x)) = c ¢ ¢f: Поэтому

y0 = lim

c ¢ ¢f

= c

¢

lim

¢f

= c

¢

f0

(x):

0

¢x

¢x

¢x

!

¢x 0

!

Теорема 1.4.5. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство. Рассмотрим случай суммы двух функций. Пусть функция y = u(x) + v(x). Тогда ¢y = y(x + ¢x) ¡ y(x) = u(x + ¢x) + v(x + ¢x) ¡ u(x) ¡ v(x) = u(x + ¢x) ¡ u(x) + v(x + ¢x) ¡ v(x) = ¢u + ¢v:

Найдем

y0 = lim

¢y

=

lim

¢u + ¢v

= u0(x) + v0(x):

¢x

¢x

¢x!0

¢x!0

Пример 1.4.5. Пусть функция

y = x4 ¡ p3 x = x4 ¡ x3 ;

тогда

1

0

¡ ³x3 ´0 = 4x3

¡ 3x¡3 = 4x3 ¡ 3p3 x2 :

y0 = ³x4 ¡ x3 ´0 = x4

¢

1

¡

1

1

2

1

32

Теорема 1.4.6. Производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции на вторую функцию и производной второй функцию на первую, т.е. если

y = u(x) ¢ v(x); то y0 = u0(x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v0(x):

Доказательство. Для функции y = u(x) ¢ v(x) найдем

¢y = y(x + ¢x) ¡ y(x) = u(x + ¢x) ¢ v(x + ¢x) ¡ u(x) ¢ v(x) =

=u(x + ¢x) ¢ v(x + ¢x) ¡ u(x) ¢ v(x + ¢x) + u(x) ¢ v(x + ¢x)¡

¡u(x) ¢ v(x) = v(x + ¢x)[u(x + ¢x) ¡ u(x)] + u(x)[v(x + ¢x)¡

¡v(x)] = ¢u ¢ v(x + ¢x) + u(x) ¢ ¢v:

Тогда

y0

= lim

¢y

=

lim

¢u ¢ v(x + ¢x) + u(x) ¢ ¢v

=

¢x!0 ¢x

¢x!0

¢x

= v(x)

¢

lim

¢u

+ u(x) lim

¢v

= u0(x)

¢

v(x) + u(x)

¢

v0

(x):

0

0

¢x

¢x

!

¢x

¢x

!

Теорема 1.4.7. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат второй функции, а числитель есть разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, т.е. если

	y =	u(x)	;	то	y0 =	u0(x) ¢ v(x) ¡ u(x) ¢ v0(x)	; v(x) = 0:
		v(x)				v2(x)
							6

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей. Пример 1.4.6. Найдем производную функции

y = tg x = cossin xx:

По теореме 1.2.1 получим

y0 = (sin x)0 cos x ¡ sin x(cos x)0 cos2x

= cos x cos x ¡ sin x(¡ sin x) = cos2 x

	=	cos2 x + sin2 x		=	1		:
		cos2 x			cos2 x
		33

1.4.6. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция:

y = F (x) = f(u(x)); где y = f(u); u = u(x):

Теорема 1.4.8. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого промежуточного аргумента по переменному x, т.е. если функция u = u(x) имеет производную u0x(x) в точке x, а функция f(u) имеет производную fu0 (u) при соответствующем значении u = u(x), то сложная функция y = F (x) имеет в точке x производную, которая равна

Fx0 (x) = fx0 (u(x)) = fu0 (u) ¢ u0x(x):

Доказательство. Рассмотрим сложную функцию y = F (x) = f(u(x)) = f(u): Тогда ¢u = u(x + ¢x) ¡ u(x); ¢f = f(u + ¢u) ¡ f(u): Так как функции u(x) и f(u) имеют производную в точках x и u, соответственно, то u(x) и f(u) непрерывные функции и поэтому, если ¢x ! 0; то и ¢u !

0; ¢f ! 0:

Поскольку

fu0 (u) = lim ¢f ;

¢u!0 ¢u

то по теореме 1.2.1 имеем

¢¢fu = fu0 (u) + ®(¢u);

где ®(¢u) ! 0 при ¢u ! 0, а значит и при ¢x ! 0: Так как ¢y = ¢F = ¢f; то

¢F = ¢f = fu0 (u) ¢ ¢u + ®(¢u) ¢ ¢u:

Отсюда легко получить, что

Fx0 (x) =

¢F

f0

(u)¢u + ®(¢u)¢u

lim

=

lim

u

=

¢x

¢x

¢u

¢x!0

¢x!0

= f0 (u)

lim

+ u0 (x)

lim

®(¢u) = f

0 (u)

¢

u0

(x) + 0 = f

0

(u)

¢

u0

(x):

0

0

u

¢ ¢x

!

¢x

x

¢ ¢x

!

u

x

u

x

Пример 1.4.7. Рассмотрим

функцию

y

=

sin x2: Обозначим

y =

sin u; а u = x2: Тогда

yu0

= cos u = cos x2; ux0 = 2x;

отсюда следует, что

y0 = 2x

¢

cos x2

:

34

Пример 1.4.8. Рассмотрим функцию

³p ´ y = arcsin2 x2 + 1 ¡ ln(2x + 3) :

Не будем как в предыдущем примере вводить промежуточные функции, вычислим производную этой функции сразу, используя правило дифференцирования сложной функции и теоремы об арифметических операциях над производной. Тогда получим, что

y0 = ³arcsin2 ³p

¡ ln(2x + 3)´´0

x2 + 1

=

³

¡ ln(2x + 3)´³arcsin ³

¡ ln(2x + 3)´´0

= 2 arcsin

x2

+ 1

x2 + 1

=

p

p

2

= 2 arcsin

³p

x2

+ 1

¡ ln(2x + 3)

¡pxp

+ 1 ¡

ln(2x + 3)¢0

2

=

2

´

q

1

¡ ¡

x + 1

¡

ln(2x + 3)

¢

2x

2

p

¡

2x + 3

x2 + 1

= 2 arcsin ³px2

¡ ln(2x + 3)´

+ 1

2

=

q

1

px2 + 1

ln(2x + 3) 2

¡

¡

³

¡ ln(2x + 3)´£

¡

¢

= 2 arcsin

p

x2

+21

2x + 3x ¡ 2px2 + 1

:

£ (2x + 3)p

q1 ¡ p

¡ ln(2x + 3) 2

x2 + 1

x2 + 1

1.4.7. Производная¡

неявной¢ функции

Неявные функции задаются уравнением F (x; y) = 0. Примером неявной функции может служить уравнение x2 + y2 = 1.

Рассмотрим правило дифференцирования неявной функции: дифференцируем обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции. Получим уравнение, из которого можно выразить y0.

Пример 1.4.9. Рассмотрим неявную функцию x2 + y2 = 1. Продифференцируем обе части этого уравнения, считая y функцией от x, получим

2x + 2y ¢ y0	= 0 или y0		2x		x
		= ¡			= ¡		:
			2y			y

Пример 1.4.10. Найдем производную показательной функции. Пусть y = ax, тогда ln y = x ¢ ln a. Возьмем производную от обеих частей

(ln y)0 = (x	¢	ln a)0;	получим
		35

1	¢ y0	= x0	¢ ln a + x ¢ (ln a)0;			y0
							= 1 ¢ ln a + 0 или
y						y
			y0 = y	¢	ln a = ax ln a:

1.4.8. Логарифмическая производная

Рассмотрим показательно-степенную функцию y = [u(x)]v(x).

Теорема 1.4.9. Если y = uv, где u = u(x); v = v(x), то y0 = (uv)0 = v ¢ uv¡1 ¢ u0 + uv ¢ v0 ln u:

Доказательство. Прологарифмируем обе части функции y = uv, получим ln y = v ¢ ln u. Возьмем производную от обеих частей

(ln y)0 = (v ¢ ln u)0;

y0

= v0 ln u +

vu0

тогда

;

y

u

y0 = y µv0 ln u +

vu

0

¶

uvvu

= uvv0 ln u +

0

=

u

u

= uvv0 ln u + vuv¡1u0:

Пример 1.4.11. Рассмотрим функцию y = (sin x)x, прологарифмируем ее и возьмем производную от обеих частей, получим (ln y)0 = (x ln sin x)0: Тогда

y0		x cos x
	= ln sin x +			= ln sin x + x ctg x; тогда
y		sin x

y0 = y(ln sin x + x ctg x) = (sin x)x(ln sin x + x ctg x):

1.4.9. Производная обратной функции

Рассмотрим строго возрастающую (строго убывающую) функцию y =

f(x) на отрезке [a; b]. Пусть f(a) = c; f(b) = d. Если x1 < x2, то для строго возрастающей функции будет выполняться f(x1) < f(x2), а для строго

убывающей f(x1) > f(x2). Другими словами различным значениям аргумента x соответствуют различные значения функции y. Это означает, что можно задать функцию x = '(y), которая называется обратной к функции y = f(x).

Теорема 1.4.10. Если строго возрастающая или убывающая функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то определена и непрерывна на отрезке [c; d], где c = f(a); d = f(b), обратная функция x = '(y).

Без доказательства.

Докажем теорему о производной обратной функции.

36

1 ¢x :

¢y

fx0 (x) =

Теорема 1.4.11. Если для функции y = f(x) существует обратная функция x = '(y), которая в точке y имеет производную '0(y) 6= 0, то функция y = f(x) имеет производную равную

1

'0y(y)

в соответствующей точке x.

Доказательство. Рассмотрим приращение ¢x и соответствующее ему приращение функции ¢y. Тогда

¢¢xy =

Отсюда получим

y0 = lim

¢y

=

lim

1

=

1

=

1

:

¢x

¢y

xy0

'y0 (y)

¢x!0

¢x!0

¢y!0

¢y!0

¢x

Пример 1.4.12. Найдем производную функции y = arcsin x. Так как обратной функцией для y = arcsin x является x = sin y и x0 = cos y, то

(arcsin x)0

= y0

=

1

=

1

=

1

=

p

1

:

cos y

2

x

2

x0

1 ¡ sin

y

1

¡

Пример 1.4.13. Аналогично получим производную

функции y =

arctg x. Имеем

p

1

x = tg y; x0

=

:

cos2 y

Тогда

1

1

1

1

1

y0 =

=

=

=

=

:

x0

1

cos2 y + sin2 y

1 + tg2 y

1 + x2

cos2 y

cos2 y

1.4.10. Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию, заданную параметрически

x = '(t)

t 2 T:

½ y = Ã(t)

(1.1)

Пусть функции '(t) и Ã(t) имеют производные и, кроме того, функция x = '(t) имеет обратную t = ©(x), которая также имеет производную. Тогда, определенную параметрическим уравнением (1.1), функцию y =

37

f(x) можно рассматривать как сложную функцию: y = Ã(t); t = ©(x); t промежуточный аргумент. Тогда по правилу дифференцирования сложной

функции имеем:

y0 = yt0 ¢ t0x = Ãt0(t) ¢ ©0x(x):

Поскольку по теореме о производной обратной функции выполняется

©0		(x) =				1			:
	x				't0(t)
То мы получим			Ã0(t)					y0
yx0
	=					=			t	:
				'0(t)			xt0

Пример 1.4.14. Рассмотрим параметрическую функцию

½x = 2 cos t y = t sin t:

Поскольку x0t = ¡2 sin t; yt0 = sin t + t cos t, то

y0	=	sin t + t cos t			=	¡	1	¡		t	ctg t:
				2 sin t			2		2
x		¡

1.5. Дифференциал

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Тогда для x 2 (a; b) существует

f0(x) = lim ¢y :

¢x!0 ¢x

Теорема 1.5.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы ¢f = A¢x + ®(¢x)¢x, где A = const при фиксированном x и ®(¢x) ! 0 при ¢x ! 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует f0(x), тогда по теореме 1.2.1

¢¢xy = f0(x) + ®(¢x);

где ®(¢x) ! 0 при ¢x ! 0. Тогда

¢y = f0(x) + ®(¢x)¢x = A¢x + ®(¢x)¢x;

где A = f0(x) = const при фиксированном x.

Достаточность. Пусть ¢f = A¢x + ®(¢x)¢x, покажем, что функция f(x) имеет производную в фиксированной точке x. Найдем

	lim	¢y		= lim	A¢x + ®(¢x)¢x	=	lim (A + ®(¢x)) = A;
		¢x			¢x
	¢x!0			¢x!0			¢x!0
					38

так как ®(¢x) ! 0 при ¢x ! 0. Таким образом функция f(x) дифференцируема в точке x.

Что вносит основной вклад в приращение функции ¢y? Рассмотрим первое слагаемое в ¢y. В общем случае почти всегда f0(x) 6= 0: Поэтому

lim f0(x)¢x = f0(x) =6 0;

¢x!0 ¢x

то есть f0(x)¢x есть бесконечно малая 1 порядка по сравнению с ¢x. Рассмотрим второе слагаемое. Так как

lim ®(¢x)¢x = lim ®(¢x) = 0;

¢x!0 ¢x ¢x!0

то поэтому ®(¢x)¢x есть величина более высокого порядка малости по сравнению с ¢x. Следовательно при фиксированном x и ¢x ! 0, основной вклад в ¢y вносит первый член f0(x)¢x.

Определение 1.5.1. Выражение f0(x)¢x, называемое главной линейной частью приращения функции ¢y, и называют дифференциалом функции f(x) и обозначают

dy = f0(x)¢x:

Пример 1.5.1. Пусть y = x, тогда y0 = 1 и следовательно dy = dx = 1 ¢ ¢x. Поэтому dx = ¢x, если x независимое переменное. Отсюда получаем выражение для дифференциала функции

dy = f0(x)dx:

Тогда

f0(x) = dxdy ;

то есть производная f0(x) есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Рассмотрим примеры вычисления дифференциала функции.

	1					dx
Пример 1.5.2. Пусть y = tg x, тогда y0	=			и dy =			.
		cos2 x				cos2 x
Пример 1.5.3. Пусть y = arctg2 x, тогда dy =			2 arctg x		dx.
			1 + x2

1.5.1. Свойства дифференциала

Поскольку дифференциал функции это производная функции умноженная на дифференциал независимого переменного, то все свойства производной переносятся и на дифференциал. Поэтому справедлива следующая теорема.

39

Теорема 1.5.2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые функции, то-

гда
1: d(u § v) = du § dv;
2: d(uv) = vdu + udv;
³v		´		v2
3: d	u		=	vdu ¡ udv	:
Доказательство. Докажем второе утверждение теоремы. Поскольку
(uv)0 = u0v + vu0; то
		d(uv) = (uv)0dx = (u0v + vu0)dx = vu0dx + uv0dx = vdu + udv;

так как u0dx = du; v0dx = dv.

Пример 1.5.4. Пусть y = sin x + cos x, тогда y0 = cos x ¡ sin x и dy = (cos x ¡ sin x)dx:

Пример 1.5.5. Рассмотрим функцию y = x2 sin x, тогда

dy = sin x d(x2) + x2 d(sin x) = 2x sin x dx + x2 cos x dx:

1.5.2. Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = f(u); u = u(x), то есть y = f(u(x)) = f(x). Тогда по определению дифференциала имеем

dy = fx0 (x) dx:

Но поскольку производная сложной функции равна fx0 = fu0 ¢ u0x, то dy = fu0 ¢ u0x dx. Используя равенство u0x dx = du; получим

dy = fu0 (u) du:

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы 1 дифференциала.

1.5.3. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y = f(x) и ее график. Проведем в точке M0(x0; y0) касательную к этой кривой. Возьмем на графике точку M(x0 + ¢x; y0 + ¢y), тогда ¢y = jMNj (см.рис. 1.3). Поскольку

dxdy = f0(x0) = tg ® = jN¢Txj;

то

dy = jNT j:

Таким образом, мы получили

40