Математический анализ / Математический анализ учебник

Поскольку x; y независимые переменные, то dx; dy постоянные, независящие от x и y. Поэтому дифференциал dz это функция переменных x и y в достаточно малой окрестности точки M(x; y). Определим дифференциал второго порядка.

Определение 4.4.2. Вторым дифференциалом функции называется дифференциал от первого дифференциала этой функции

d2z = d(dz):

Найдем выражение для второго дифференциала функции двух пере-

менных.

d2z = d µ@x dx +

@y dy¶

= d

µ@x ¶dx + d

µ@y ¶dy =

@f

@f

@f

@f

@

@f

@

@f

@

@f

@

@f

=

µ

¶dx¢dx+

µ

¶dy ¢dx+

µ

¶dx¢dy +

µ

¶dy ¢dy =

@x

@x

@y

@x

@x

@y

@y

@y

=

@2f

dx2

+

@2f

dxdy +

@2f

dydx +

@2f

dy2

:

@x2

@x@y

@y@x

@y2

Но поскольку по теореме (4.4.1) смешанные производные равны между

собой

@2f

=

@2f

, то выражение для второго дифференциала функции

@x@y

@x@y

имеет вид

d2z =

@2f

dx2

+ 2

@2f

dxdy +

@

2f

dy2:

@x2

@x@y

@y2

Введем понятие дифференциального символа

d = µ

@

dx +

@

dy¶:

@x

@y

Тогда

= µ

@

@

dy¶

2

@2

@2

@2

d2

dx +

=

dx2 + 2

dxdy +

dy2:

@x

@y

@x2

@x@y

@y2

Применяя эти дифференциальные символы к функции z = f(x; y), получим обычные выражения для первого и второго дифференциала функции. Например,

dz = µ	@		@	dy¶z =	@z		@z
		dx +				dx +		dy:
	@x		@y		@x		@y

Аналогично получается и выражение для второго дифференциала.

141

Определение 4.4.3. Дифференциалом n-ого порядка функции называется дифференциал от дифференциала (n ¡ 1)-ого порядка

dnz = d(dn¡1z):

Можно ввести понятие дифференциального символа n-ого порядка dn = µ@x@ dx + @y@ dy¶n ;

где выражение для него получается с помощью формулы бинома Ньютона. Например,

d3 =

@3

dx3

+ 3

@3

dx2dy + 3

@3

dxdy2

+

@3

dy3

:

3

@x

2

@y

@x@y

2

@y

3

@x

Для функции большего числа переменных тоже можно ввести понятие дифференциального символа

dk = µ@x@1 dx1 + @x@2 dx2 + : : : + @x@n dxn¶k :

Тогда дифференциал порядка k функции нескольких переменных можно записать в виде

dkw = µ@x@1 dx1 + @x@2 dx2 + : : : + @x@n dxn¶k w:

Пример 4.4.2. Найти выражение для третьего дифференциала функции z = x3y4. Найдем сначала все частные производные третьего порядка.

@z

= 3x2y4

;

@z

= 4x3y3

;

@2z

= 6xy4;

@2z

= 12x3y2;

@2z

= 12x2y3

@x

@y

@x2

@y2

@x@y

@

3z

= 6y4

;

@3z

= 24xy3

;

@3z

= 36x2y2

;

@

3z

= 24x3y:

@x3

@x2@y

@x@y2

@y3

Тогда

d3z = 6y4 dx3 + 3 ¢ 24xy3 dx2dy + 3 ¢ 36x2y2 dxdy2 + 24x3y dy3 =

= 6y4 dx3 + 72xy3 dx2dy + 108x2y2 dxdy2 + 24x3y dy3:

142

+ y2 + z2 , тогда поверх-

9 16

4.5. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Пусть в области D ½ R3 задана функция u = u(x; y; z), тогда говорят, что в области D задано скалярное поле.

Определение 4.5.1. Поверхности u(x; y; z) = C = const называются

поверхностями уровня функции u.

Пример 4.5.1. Пусть дана функция u = x2

4

ностями уровня x2 + y2 + z2 = C этой функции являются эллипсоиды с

4 9 16

центром в начале координат.

Пусть задана функция двух переменных z = z(x; y) в некоторой области D на плоскости.

Определение 4.5.2. Линии z(x; y) = C = const называются линиями уровня функции z.

Пример 4.5.2. Пусть дана функция z = y ¡2x2. Тогда линиями уровня этой функции являются y = 2x2 + C параболы, сдвигаемые по оси OY .

4.5.1. Производная по направлению

Рассмотрим в области D ½ R3 функцию u = u(x; y; z) и точку M(x; y; z). Проведем из точки M вектор s¹, с направляющими косинусами

cos ®; cos ¯; cos °. Если вектор s¹ = (a1; a2; a3), то						+ a22 + a32:
cos ® = js¹j;		cos ¯ = js¹j;		cos ° = js¹j; где js¹j = qa12
	a1		a2		a3

Рассмотрим на расстоянии ¢¹s от точки M на векторе s¹ точку M1(x + p

¢x; y + ¢y; z + ¢z). Тогда ¢¹s = (¢x)2 + (¢y)2 + (¢z)2.

Пусть функция u(x; y; z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D. Тогда полное приращение этой функции будет

	¢u =	@u	¢x +	@u		¢y +	@u		¢z + ®1¢x + ®2¢y + ®3¢z;	(4.18)
		@x		@y			@z

где ®1 ! 0; ®2 ! 0; ®3 ! 0 при ¢x ! 0; ¢y ! 0; ¢z ! 0. Разделим выражение (4.18) на ¢¹s, получим

¢u @u ¢x @u ¢y

@u ¢z

¢x

¢y

¢z

=

+

+

+ ®1

+ ®2

+ ®3

:

¢¹s

@x

¢¹s

@y

¢¹s

@z

¢¹s

¢¹s

¢¹s

¢¹s

143

Поскольку

¢x

¢y

¢z

= cos ®;

= cos ¯;

= cos °;

то

¢¹s

¢¹s

¢¹s

¢u

@u

@u

@u

=

cos ® +

cos ¯ +

cos ° + ®1 cos ® + ®2 cos ¯ + ®3 cos °:

¢¹s

@x

@y

@z

Определение 4.5.3. Предел отношения ¢¢¹us при ¢¹s ! 0 называется

производной от функции u(x; y; z) в точке M(x; y; z) по направлению вектора s¹ и обозначается

@u

(M) =

lim

¢u

=

@u

(M) cos ® +

@u

(M) cos ¯ +

@u

(M) cos °:

@s¹

¢¹s

@x

@y

@z

¢¹s!0

Пример 4.5.3. Пусть s = (1; 0; 0). Тогда cos ® = 1; cos ¯ = cos ° = 0. Поэтому

@u

=

@u

:

@s¹

@x

Пример 4.5.4. Найти производную функции u = x2 + y + z3 в направ-

лении вектора s¹ = (2; ¡3; 4) в точке M(1; 1; 1).

2

3

4

Имеем cos ® =

p

; cos ¯ = ¡

p

; cos ° =

p

. Найдем частные

29

29

29

производные функции u:

@u

= 2x;

@u

(M) = 2;

@x

@x

@u

= 1;

@u

(M) = 1;

@y

@y

@u

= 3z2;

@u

(M) = 3:

@z

@z

Тогда

4

3

12

13

@u

(M) = p

¡ p

+ p

= p

:

@s¹

29

29

29

29

4.5.2. Градиент функции

Пусть в области D ½ R3 задана функция u = u(x; y; z).

Определение 4.5.4. Вектор, проекции на оси координат которого являются значениями частных производных @u@x, @u@y , @u@z функции

144

u(x; y; z) в точке M(x; y; z), называется градиентом этой функции в точке M и обозначается

@u

@u

@u

@u

@u

@u

grad u(M) =

(M)¹i +

(M)¹j +

(M)k¹ = µ

(M);

(M);

(M)¶:

@x

@y

@z

@x

@y

@z

Если градиент функции находится не в фиксированной точке M, то

этот вектор называется полем градиента функции u.

Теорема 4.5.1. Пусть дано скалярное поле u = u(x; y; z). Определим

поле градиента

@u

@u

@u

¹

¹

¹

grad u =

@x

i +

@y

j +

@z

k:

@u

Тогда производная

по направлению вектора s¹ равна проекции вектора

@s¹

grad u на вектор s¹, т.е.

@u

= прs¹ grad u =

(grad u; s¹)

:

@s¹

js¹j

Доказательство этого утверждения тривиально.

Следствие 4.5.1. Производная в данной точке по направлению вектора s¹ имеет наибольшее значение, если направление вектора s¹ совпадает с направлением градиента в этой точке. Это наибольшее значение равно j grad uj. Наименьшее значение производная по направлению имеет в направлении противоположном градиенту, т.е в направлении ¡ grad u.

Следствие 4.5.2. Производная по направлению вектора s¹, перпендикулярного вектору градиента grad u в точке M, равна нулю.

Доказательство. Поскольку скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, то (grad u; s¹) = 0. Поэтому и производная по направлению равна нулю.

Теорема 4.5.2. Вектор grad u(M) в точке M направлен перпендикулярно к поверхности уровня u(x; y; z) = const функции u = u(x; y; z), проходящей через точку M. Для функции двух переменных z = z(x; y) вектор grad z направлен перпендикулярно к линии уровня этой функции.

Доказательство. Докажем это утверждение для функции двух переменных. Уравнение z(x; y) = C = const неявно задает функцию y = y(x). Угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M(x; y) есть

k1 = y0 = ¡zx00 : zy

145

Угловой коэффициент вектора grad z = (zx0 ; zy0 ) равен

k2 = zy00 : zx

Тогда k1k2 = ¡1 и касательная к кривой перпендикулярна вектору grad z в точке M. Значит, вектор градиента направлен перпендикулярно линии уровня в точке M.

Пример 4.5.5. Пусть дана функция u = x2 + y + z3, найти grad u(M) в

точке M(1; 2; 3). Имеем

@u

= 2x;

@u

= 1;

@u

= 3z2:

@x

@y

@z

Тогда

@u

(M) = 2;

@u

(M) = 1;

@u

(M) = 27:

@x

@z

@y

Поэтому grad u(M) = (2; 1; 27).

4.5.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть задана поверхность F (x; y; z) = 0 в пространстве R3.

Определение 4.5.5. Прямая линия называется касательной к поверхности в точке M(x; y; z), если она является касательной к какойнибудь кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M.

Так как кривых, проходящих через точку M бесконечно много, то и касательных в точке M к поверхности бесконечно много.

	Определение 4.5.6. Если в точке M(x; y; z)			на	поверхности
	F (x; y; z) = 0 все три частные производные	@F	(M);	@F	(M);	@F	(M)
		@x		@y		@z

равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка M называется особой точкой этой поверхности. Если все три частные производные существуют и хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка M называется обыкновенной точкой поверхности.

Теорема 4.5.3. Все касательные к данной поверхности F (x; y; z) = 0 в ее обыкновенной точке M(x; y; z) лежат в одной плоскости.

Определение 4.5.7. Плоскость, в которой лежат все касательные прямые к кривым на поверхности F (x; y; z) = 0, проходящим через точку M(x; y; z), называется касательной плоскостью к этой поверхности в точке M.

146

Z

n
M0
P	F (x; y; z) = 0
	Y
X
Рис. 4.3.
Рассмотрим функцию (см. рис. 4.3)
u(x; y; z) = F (x; y; z) + C;	где C = const :

Тогда F (x; y; z) = 0 поверхность уровня функции u = y(x; y; z). Напишем уравнение касательной плоскости P в обыкновенной точке M0(x0; y0; z0). Пусть M(x; y; z) произвольная точка касательной плоскости. Тогда вектор M0M = (x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0) лежит в касательной плоскости. Но по

теореме 4.5.2 вектор	µ @x (M0);			@y (M0);		@z (M0)¶
grad F (M0) = grad u(M0) =
		@F		@F		@F

перпендикулярен поверхности F (x; y; z) = 0. Поэтому скалярное произведение

(grad F (M0); M0; M) = 0:

Из этого условия мы получаем уравнение касательной плоскости P в точке

M0			@F		@F
	@F	(M0)(x ¡ x0) +		(M0)(y ¡ y0) +		(M0)(z ¡ z0) = 0:
	@x		@y		@z

Если уравнение поверхности задано явным уравнением z = f(x; y), то получаем уравнение касательной плоскости в виде

z ¡ z0 =	@f	(M0)(x ¡ x0) +	@f	(M0)(y ¡ y0):
	@x		@y

Определение 4.5.8. Прямая, проведенная через точку M0 к поверхности F (x; y; z) = 0 перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к этой поверхности.

147

Вектор grad F (M0) будет направляющим вектором этой прямой, поэтому уравнение нормали n, проведенной через точку M0 к поверхности

F (x; y; z) = 0 (см. рис. 4.3) будет иметь вид

x ¡ x0

=

y ¡ y0

=

z ¡ z0

:

@F

(M0)

@F

(M0)

@F

(M0)

@y

@x

@z

Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то уравнение нормали

имеет вид

x ¡ x0

=

y ¡ y0

=

z ¡ z0

:

@f

@f

1

¡

(M0)

¡

(M0)

@x

@y

Пример 4.5.6. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 + y3 + z2 = 2 в точке M0(1; ¡2; 3).

Найдем частные производные в точке M0:

	Fx0 = 2x; Fy0 = 3y2; Fz0 = 2z;	тогда		Fx0 (M0) = 2; Fy0(M0) = 12; Fz0(M0) = 6:
	Уравнение касательной плоскости будет иметь вид
	P : 2(x ¡ 1) + 12(y + 2) + 6(z ¡ 3) = 0						или 2x + 12y + 6z + 4 = 0;
	а нормали	x ¡ 1			y + 2			z ¡ 3
	n :			=			=		:
		2
				12			6

4.6. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция u = f(x1; x2; : : : ; xn) задана на множестве D ½ Rn.

Определение 4.6.1. Функция u = f(x1; x2; : : : ; xn) имеет локальный максимум в точке M0(x01; x02; : : : ; x0n), если для любой точки M(x1; x2; : : : ; xn), принадлежащей некоторой окрестности точки M0, выполняется

f(M0) > f(M):

Функция u = f(x1; x2; : : : ; xn) имеет в точке M0(x01; x02; : : : ; x0n) локальный минимум, если для любой точки M(x1; x2; : : : ; xn), принадле-

жащей некоторой окрестности точки M0, выполняется f(M0) 6 f(M):

Локальные минимумы и максимумы функции называются локальными экстремумами этой функции.

148

Теорема 4.6.1. (Необходимое условие существования локального экстремума) Пусть функция u = f(x1; x2; : : : ; xn) имеет в точке M0(x01; x02; : : : ; x0n) локальный экстремум. Тогда если в этой точке существуют частные производные первого порядка, то все они равны нулю:

@f

(M0) =

@f

(M0) = : : : =

@f

(M0) = 0:

@x1

@x2

@xn

Доказательство. Докажем, что

@f

(M0) = 0. Пусть переменные

зафиксированы

и равны

@x1

x

2

; : : : ; x

n

соответственно x0; : : : ; x0 . Получим

2

n

функцию u = f(x

1

; x0; : : : ; x0 ) одной переменной. Поскольку функция f(x)

2

n

имеет в точке M0 локальный экстремум и существуют частные производ-

ные, то как для функции одного переменного выполняется

@f

(M0) = 0.

@x1

Аналогично доказывается, что и все остальные производные равны ну-

лю

@f

@f

(M0) = : : : =

(M0) = 0:

@x2

@xn

Естественно, эта теорема не является достаточной.

Пример 4.6.1. Пусть задана функция u = xy. В точке M0 = (0; 0)

частные производные

@u

= y;

@u

= x равны нулю

@x

@y

@u

(0) = 0;

@u

(0) = 0:

@x

@y

Но функция u = xy не имеет экстремума в этой точке. Это седловая точка.

Определение 4.6.2. Точки M(x1; : : : ; xn), в которых частные производные функции u = f(x1; : : : ; xn) равны нулю или не существуют, называются критическими точками или стационарными точками функции.

Теорема 4.6.2. (Достаточное условие существования локального экстремума) Пусть точка M0 критическая точка функции u = f(x) = f(x1; x2; : : : ; xn) и функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки M0. Тогда если в точке M0 второй дифференциал d2u(M0) < 0 для любых значений dx1; dx2; : : : ; dxn, одновременно не обращающихся в нуль, то в точке M0 функция u = f(x) имеет локальный максимум, а если d2u(M0) > 0 для любых значений dx1; dx2; : : : ; dxn, также одновременно не обращающихся в нуль, то в точке M0 функция u = f(x) имеет локальный минимум. Если d2u(M0) принимает как положительные так и отрицательные значения для различных значений

149

дифференциалов dx1; dx2; : : : ; dxn, то в точке M0 функция не имеет локального экстремума.

Замечание 4.6.1. Для установления знакоопределенности второго дифференциала существует критерий Сильвестра. Обозначим aij =

@2u (M0), i; j = 1; 2; : : : ; n, для того, чтобы d2u(M0) > 0 необходимо и

@xi@xj

достаточно, чтобы

a11 > 0;	a11	a12	> 0; : : : ;	¯: : :
¯	a	a	¯	¯	a11
						n1
¯			¯	¯
¯			¯	¯
¯	21	22	¯	¯
				¯a

¯

:: : 1n¯¯

:: : : : : ¯¯ > 0:

:: : ann¯a

Для того, чтобы d2u(M0) < 0 необходимо и достаточно, чтобы
a11 < 0;	a11	a12 > 0;		: : : ; ( 1)n	¯: : :		: : : : : : ¯ > 0:
¯			¯		a11		: : : a1n	¯
	a	a			¯	n1	nn
¯			¯		¯			¯
¯			¯		¯			¯
¯	21		22¯	¡	¯		: : : a	¯
					¯a			¯

Пусть дана функция двух переменных z = f(x; y) в некоторой области D ½ R2. Сформулируем теорему о достаточном условии существования локального экстремума в случае двух переменных.

Теорема 4.6.3. Пусть в некоторой области D, содержащей точку M0(x0; y0) функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка и пусть точка M0 критическая точка, т.е.

		@f		(M0) =		@f		(M0) = 0:
			@x			@y
Обозначим
A =	@2f	(M0); B =			@2f			(M0); C =	@2f	(M0):
	@x2				@x@y				@y2

Тогда

1. Функция f(x; y) имеет локальный максимум в точке M0, если

¢ = AC ¡ B2 > 0 и A < 0 (или C < 0);

2. Функция f(x; y) имеет локальный минимум в точке M0, если

¢ = AC ¡ B2 > 0 и A > 0 (или C > 0);

3.Функция f(x; y) не имеет экстремума в точке M0, если

¢= AC ¡ B2 < 0;

150