3.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1

По распределению 60 рабочих по тарифному разряду имеются следующие данные (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Тарифный разряд (x)	2	3	4	5	6
Число рабочих (f)	8	16	17	12	7

Определите:

1. средний тарифный разряд рабочих;

2. среднее линейное отклонение;

3. дисперсию;

4. среднее квадратическое отклонение;

5. коэффициент вариации.

Задача 3.2

По результатам экзаменационной сессии 1 и 2 курсов одного из вузов имеются следующие данные: на 1 курсе сдали сессию без двоек 85% студентов, на 2 курсе – 90%.

Определите на каждом курсе дисперсию доли студентов, успешно сдавших сессию.

Задача 3.3

Акционерные общества области по среднесписочной численности работающих на 1 января 2004 г. распределились следующим образом (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Группы АО по численности работающих	до 400	400-600	600-800	800-1000	1000-1200	1200-1400	1400-1600	1600-1800
Количество АО	11	23	36	42	28	17	9	4

Рассчитайте:

1. среднее линейное отклонение;

2. дисперсию;

3. среднее квадратическое отклонение;

4. коэффициент вариации.

Задача 3.4

Имеются данные о распределении семей сотрудников предприятия по количеству детей (табл. 3.7).

Таблица 3.7

Число детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
	первое	второе	третье
0	4	7	5
1	6	10	13
2	3	3	3
3	2	1	-

Вычислите:

1. внутригрупповые дисперсии;

2. среднюю из внутригрупповых дисперсий;

3. межгрупповую дисперсию;

4. общую дисперсию.

Проверьте правильность проведенных расчетов с помощью правила сложения дисперсий.

Задача 3.5

Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспорта по цехам предприятия, представлено следующими данными (табл. 3.8).

Таблица 3.8

Цех	Стоимость всей произведенной продукции (тыс. руб.)	В том числе стоимость экспортной продукции (тыс. руб.)
1 2 3	340 290 180	110 140 180
Итого	810	410

Вычислите:

1. среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую доли экспортной продукции;

2. коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное соотношение.

Задача 3.6

По данным обследования коммерческих банков города, 70% общего числа клиентов составили юридические лица со средним размером кредита 120 тыс. руб. и коэффициентом вариации 25%, а 20% – физические лица со средним размером ссуды 20 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 6 тыс. руб.

Используя правила сложения дисперсий, определите тесноту связи между размером кредита и типом клиента, исчислив эмпирическое корреляционное отношение.

Раздел4. Выборочное наблюдение

4.1. Методические указания и решение типовых задач

Целью выборочного наблюдения является определение характеристик генеральной совокупности – генеральной средней (_о) и генеральной доли (р). Характеристики выборочной совокупности – выборочная средняя () и выборочная доля () отличаются от генеральных характеристик на величину ошибки выборки (). Поэтому для определения характеристик генеральной совокупности необходимо вычислять ошибку выборки, или ошибку репрезентативности, которая определяется по формулам, разработанным в теории вероятностей для каждого вида выборки и способа отбора.

Собственно случайная и механическая выборки. При случайном повторном отборе предельная ошибка выборки для средней () и для доли () рассчитывается по формулам

; (4.1)

(4.2)

где – дисперсия выборочной совокупности;

n – численность выборки;

t – коэффициент доверия, который определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятности (P_дов.) (табл. П1).

При бесповторном случайном и механическом отборе предельная ошибка выборки вычисляется по формулам

; (4.3)

, (4.4)

где N – численность генеральной совокупности.

Пример 4.1

Для определения зольности угля в месторождении в порядке случайной выборки было обследовано 100 проб угля. В результате обследования установлено, что средняя зольность угля в выборке составляет 16%, среднее квадратическое отклонение – 5%. В десяти пробах зольность угля составила более 20%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будут находиться средняя зольность угля в месторождении и доля угля с зольностью более 20%.

Решение

Средняя зольность угля будет находиться в пределах

Для определения границ генеральной средней вычислим предельную ошибку выборки для средней по формуле (4.1):

. (4.5)

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя зольность угля в месторождении будет находиться в пределах 16% 1%, или 15%17%.

Доля угля с зольностью более 20% будет находиться в пределах

.

Выборочная доля определяется по формуле

, (4.6)

где m – доля единиц, обладающих признаком

Ошибку выборки для доли () вычислим по формуле (4.2):

или ±6%.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля угля с зольностью более 20% в месторождении будет находиться в пределах , или.

Пример 4.2

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-ная механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. В пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будут находиться срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

Решение

Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах

.

Так как выборка механическая, то ошибка выборки определяется по формуле (2.3):

дня.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах =30 дней2 дня, или