Раздел5. Статистические показатели динамики

5.1. Методические указания и решение типовых задач

Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющие ряд динамики, называют уровнями ряда и обозначают черезy.

При анализе рядов динамики необходимо проследить за направлением и размером изменений уровней во времени. С этой целью рассчитывают следующие показатели.

1. Абсолютные приросты уровней (разность между двумя уровнями):

цепныеу_ц = уi – у_i-1; (5.1)

и базисные у_б = уi –у₀. (5.2)

2. Темпы роста (изменения) ТР– относительные показатели, рассчитываемые как отношение двух уровней ряда. Темпы роста могут бытьцепными, если каждый уровень ряда сопоставляется с предыдущим:

, (5.3)

и базисными, когда каждый уровень ряда сопоставляется с уровнем одного какого-то периода (часто это начальный – базисный – уровень ряда):

. (5.4)

Темпы роста как относительные величины могут выражаться в виде коэффициентов, т.е. простого кратного отношения (база сравнения принимается за единицу), и в процентах (база сравнения принимается за 100 единиц).

3. Темпы прироста (снижения) уровнейТПр– относительные показатели, показывающие, на сколько процентов данный уровень (y) больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения.

Темп прироста можно рассчитать двумя способами:

1) путем вычитания 100% из темпа роста:

ТП_р =ТР -100%; (5.5)

2) как процентное отношение абсолютного прироста к тому уровню, по сравнению с которым рассчитан абсолютный прирост:

. (5.6)

Методы расчета среднего уровняряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду с равностоящими во времени уровнями расчет производится по формуле средней арифметической простой

, (5.7)

где п– число уровней ряда.

Для интервального ряда с разными временными интерваламисредний уровень вычисляется по формуле средней взвешенной

, (5.8)

где t_i– время, в течение которого уровеньyсчитается неизменным.

Для моментного ряда, содержащегоnуровнейс равнымипромежутками между датами (моментами), средний уровень определяется по формуле

. (5.9)

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая простая.

Для неравностоящих уровней моментного ряда средняя рассчитывается по формуле средней хронологической взвешеннной:

. (5.10)

Средний абсолютный приростопределяется как

(5.11)

или , (5.12)

где п– число периодов.

Средний темп ростарассчитывается из выражений

, (5.13)

где п– число темпов роста, аП– знак произведения,

или . (5.14)

Средний темп прироста вычисляется по формуле

. (5.15)

Абсолютное значение одного процента прироста (А1%) определяется из выражения

(5.16)

или |А1%|может быть исчислен как одна сотая часть предыдущего уровня.

Среднее абсолютное значение одного процента прироста за несколько (п) лет рассчитывается по формуле

. (5.17)

Пример 5.1

Пусть имеются следующие данные о производстве зерна в одном из хозяйств за 5 лет (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Год	2002	2003	2004	2005	2006
Производство зерна, тыс. ц. уi	50	54	62	70	80

Рассчитайте:

1. средний уровень за 5 лет;

2. ежегодные абсолютные приросты;

3. ежегодные темпы роста;

4. среднегодовой темп роста за 4 года – с 2003 по 2006 г.;

5. темп прироста (цепной) за 2006 г.;

6. абсолютное значение одного процента прироста для 2006 г.

Решение

1. Так как это интервальный ряд, то средний уровень ряда (среднегодовое производство зерна) определим как среднюю арифметическую простую:

тыс. ц.

2. Ежегодные абсолютные приросты находим как цепную разность между двумя уровнями:

для 2003 г. Δу1 = 54 – 50 = 4 тыс. ц;

для 2004 г. Δу2= 62 – 54 = 8 тыс. ц;

для 2005 г. Δу3= 70 – 62 = 8 тыс. ц;

для 2006 г. Δу4= 80 – 70 = 10 тыс. ц.

3. Ежегодные темпы роста (цепные) находим как отношение уровня каждого года к предыдущему:

для 2003 г. ТР1 = 54 / 50 = 1,08 = 108%;

для 2004 г. ТР2 = 62 / 54 = 1,148 = 114,8%;

для 2005 г. ТР3= 70 / 62 = 1,129 = 112,9%;

для 2006 г. ТР4 = 80 / 70 = 1,143 = 114,3%.

4. Среднегодовой темп роста можно рассчитать по формуле (5.13) как среднюю геометрическую из годовых темпов роста

либо по формуле (5.14)

.

По первой формуле

.

По второй формуле

,

т.е. среднегодовой темп роста за 4 года (с 2003 по 2006 г.) равен 112,5%.

5. Темп прироста определяем по формуле (5.5):

ТП_р= 114,3%-100%=14,3%.

6. Абсолютное значение одного процента прироста для 2006 г. определяется как одна сотая предыдущего уровня:

А1%=70 тыс. ц / 100=0,7 тыс. ц.=700 ц

или по формуле (5.16):

А1%=10 тыс. ц / 14,3%=700 ц.

Пример 5.2

Определите время, в течение которого ряд с бόльшим средним показателем динамики, но меньшим начальным уровнем, догонит другой ряд с меньшим средним показателем динамики, но с бόльшим начальным уровнем.

Преобразуем формулу (5.14), обозначив через:

.

Тогда .

Необходимо определить, когда .

Решение

.

Прологарифмируем:

Отсюда

.

Если ,и,,

то .

Следовательно, через 11 лет уровень второго ряда сравняется с уровнем первого ряда.

Пример 5.3

Имеются данные о производстве продукции за 2003-2005 гг., млн руб. (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Годы	2003 г.	2004 г.	2005 г.
Произведено продукции	2220	2265	2360

Определите среднегодовое производство продукции.

Решение

Среднегодовое производство продукции за 2003-2005 гг. будет определяться по формуле (5.7):

млн руб.

Пример 5.4

Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия, млн руб.:

на 1/I – 400; на 1/II – 455; на 1/IV – 460.

Определите среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.

Решение

По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической простой (5.9):

млн руб.

Пример 5.5

Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия за 2004 г. (табл. 5.3).

Таблица 5.3

1января	1мая	1 августа	1 января 2005 г.
61,1	57,5	51,3	74,7

Определите средний уровень товарных запасов.

Решение

Число месяцев между приведенными датами 4, 3, 5.

Средний уровень товарных запасов за год для моментного ряда динамики с неравными интервалами вычислим по формуле средней хронологической взвешенной (5.10):

.

Важным направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития (тренда).

Наиболее распространенными методами выделения тренда являются метод скользящей средней и аналитический метод.

Метод скользящей средней заключается в том, что вычисляется средняя величина из определенного количества уровней (например, четырех) с отбрасыванием при вычислении каждой новой скользящей средней одного уровня слева и присоединением одного уровня справа:

; и т.д.

Скользящая средняя дает более или менее плавное изменение уровней ряда.

Пример 5.6

Имеются данные о потреблении овощей по области в 1997-2005 гг. на одного человека в месяц, кг (у) (табл. 5.4).

Таблица 5.4

1997 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.	2003 г.	2004 г.	2005 г.
10,0	10,7	12,0	10,3	12,9	16,3	15,6	17,8	18

Выявим основную тенденцию потребления овощей методом скользящей средней. Рассчитаем трехлетние скользящие средние:

кг;

и т.д.

Получим ряд (табл. 5.5).

Таблица 5.5

1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.	2003 г.	2004 г.
10,9	11,0	11,8	13,2	15,9	16,6	17,1

Таким образом, выявилась явная тенденция к росту потребления овощей.

Получить обобщенную статистическую оценку тенденции развития явления (тренда) можно методом аналитического выравнивания. В этом случае ряд динамики выражается математической зависимостью уровней ряда y от времени t:

y=f(t).

Рекомендуется при (равномерное развитие) использовать модели типа

. (5.18)

При равноускоренном (равнозамедленном) развитии с постоянными темпами прироста используется парабола второго порядка

. (5.19)

Для развития с переменным ускорением (замедлением) используется парабола третьего порядка

. (5.20)

При стабильных темпах роста развитие идет по экспоненте и отображается показательной функцией

. (5.21)

Для определения параметров математических моделей применяется способ отсчета времени от условного начала, при этом .

При этом для прямолинейной функции:

; (5.22)

; (5.23)

для показательной функции:

;

; (5.24)

; (5.25)

для параболы второго порядка:

;

; (5.26)

; (5.27)

. (5.28)

В случае, если основные признаки (характер динамики развития) типовых моделей не выражаются явно, необходимо просчитать несколько моделей и выбрать из них адекватную. Адекватность определяется по значению стандартизированной ошибки аппроксимации

, (5.29)

где – значение уровняi-того года (данные в задании),

, – значение уровня i-того года, полученное по математической модели.

Суммирование производится по заданным исходным данным по nгодам. Адекватной считается та модель, для которойминимальна.

Подробнее расчеты по построению математических моделей тренда рассмотрены в [17].