28 Дней дня.

Доля кредитов со сроком пользования более 60 дней находится в пределах

.

Выборочная доля составит

Ошибку выборки для доли определим по формуле (4.4):

или 4,2%.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредитов в банке со сроком пользования более 60 дней будет находиться в пределах или

Типическая выборка.При типическом (районированном) отборе генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы, районы. Отбор единиц наблюдения в выборочную совокупность производится различными методами. Рассмотрим типическую выборку с пропорциональным отбором внутри типических групп.

Объем выборки из типической группы при отборе, пропорциональном численности типических групп, определяется по формуле

(4.7)

где n_i – объем выборки из типической группы;

N_i – объем типической группы.

Предельная ошибка выборочной средней и доли при бесповторном случайном и механическом способе отбора внутри типических групп рассчитывается по формулам

; (4.8)

, (4.9)

где – дисперсия выборочной совокупности.

Пример 4.3

Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была произведена 5%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор. Данные сведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Социальная группа	Число мужчин	Средний возраст	Среднее квадратическое отклонение	Доля мужчин, вступающих во второй брак, %
Рабочие	60	24	5	10
Служащие	40	27	8	20

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак, и долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.

Решение

Средний возраст вступления мужчин в брак находится в пределах

.

Средний возраст вступления мужчин в брак в выборочной совокупности определим по формуле средней взвешенной

(4.10)

= года.

Средняя выборочная дисперсия определяется по формуле средней

; (4.11)

=

Предельную ошибку выборки вычислим по формуле (4.8):

года.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний возраст мужчин, вступающих в брак, будет находиться в пределах годагода, или

24 Года года.

Доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, будет находиться в пределах

.

Выборочную долю определим по формуле средней

или 14%.

Среднюю выборочную дисперсию альтернативного признака вычисляем по формуле

(4.12)

Ошибку выборки для доли определим по формуле (4.9):

или 6%.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, будет находиться в пределах , или.

Серийная выборка. При серийном способе отбора генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.

При бесповторном отборе серий предельные ошибки выборочной средней и доли определяются по формуле

, (4.13)

где – межсерийная дисперсия;

R – число серий в генеральной совокупности;

r – число отобранных серий.

Пример 4.4

В цехе предприятия 10 бригад рабочих. С целью изучения их производительности труда была осуществлена 20%-ная серийная выборка, в которую попали 2 бригады. В результате обследования установлено, что средняя выработка рабочих в бригадах составила 4,6 и 3 т. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых будет находиться средняя выработка рабочих цеха.

Решение

Средняя выработка рабочих цеха будет находиться в пределах

.

Выборочную среднюю серийной выборки определим по формуле (2.1):

т.

Дисперсию серийной выборки определим из выражения

, (4.14)

где – выборочная средняя серии;

–выборочная средняя серийной выборки.

Значение дисперсии составляет величину

.

Рассчитаем предельную ошибку выборки для средней по формуле (4.13):

т.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя выработка рабочих цеха находится в пределах тт, илит.

Пример 4.5

На складе готовой продукции цеха находятся 200 ящиков деталей по 40 штук в каждом ящике. Для проверки качества готовой продукции была произведена 10%-ная серийная выборка. В результате выборки установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Дисперсия серийной выборки равна 0,0049.

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля бракованной продукции в партии ящиков.

Решение

Доля бракованных деталей будет находиться в пределах

.

Определим предельную ошибку выборки для доли по формуле (4.13):

или 4,4%.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии находится в пределах 10,6% 19,6%.

Пример 4.6

В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16; 15,5; 15 и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 найдите пределы урожайности во всей области.

Решение

Рассчитаем общую среднюю:

ц/га.

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия

^.

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2, Р_дов = 0,954) по формуле (4.13):

^.

Следовательно, урожайность в области (с вероятностью 0,954) будет находиться в пределах

15-1,7≤ ≤15+1,7,

или

13,3 ц/га≤ ≤16,7 ц/га.

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность в нахождении численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных характеристик – средней и доли. При этом предельная ошибка выборки, вероятность ее появления и вариация признака предварительно известны.

При случайном повторном отборе численность выборки определяется из выражения

. (4.15)

При случайном бесповторном и механическом отборе численность выборки вычисляется по формуле

. (4.16)

Для типической выборки

. (4.17)

Для серийной выборки

. (4.18)

Пример 4.7

В районе проживает 2000 семей. Предполагается провести их выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора для нахождения среднего размера семьи. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем квадратическом отклонении, составляющем три человека (=3).

Решение

При бесповторном случайном отборе численность выборки по формуле (4.16) составит семей.

Численность выборки: не менее 36 семей.

Пример 4.8

В городе А проживает 10 000 семей. С помощью механической выборки предполагается определить долю семей с тремя детьми и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

Решение

Определим необходимую численность выборки по формуле (4.16):

.

Численность выборки: не менее 1667.

В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. На основании сравнения двух выборочных средних (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождения.

Для этого абсолютная разность показателей выборочных средних сопоставляется со средней ошибкой разности:

. (4.19)

Найденное t_расч. сравнивается с t_табл. по t – распределению Стьюдента (таблица П2) для числа степеней свободы v=n₁+n₂-2 и заданного уровня значимости . (здесь n₁ и n₂ – объемы сравниваемых выборок).

При n > 20 t_табл обычно принимается равным 3.

Для n > 20 средняя ошибка разности определяется по формуле

. (4.20)

Для n < 20

. (4.21)

Здесь и– дисперсии сравниваемых выборок.

Если t_расч.< t_табл., расхождение можно считать случайным.

Пример 4.9

Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Среднемесячная заработная плата мужчин оказалась равна 2830 руб. при среднем квадратическом отклонении 20 руб., а у женщин – 2780 руб. при среднем квадратическом отклонении 30 руб. Определите, можно ли считать расхождение между заработной платой мужчин и женщин случайным.

Решение

А. Находим абсолютную разность средних:

руб.

Б. Средняя ошибка разности

.

В. Находим t:

.

Поскольку в данной задаче в каждой выборке n > 20, t_расч сравниваем с 3. Так как t_расч>3, то расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин нельзя считать случайным.