4.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия, равный 30 г, при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите интервалы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.

Задача 4.2

В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам получено следующее распределение семей по количеству детей (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Количество семей	1000	2000	1200	400	200	200

С вероятностью 0,954 найдите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Задача 4.3

Средняя продолжительность горения, установленная путем испытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказалась равной 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч.

С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выборочной и генеральной средней) не превысит 12 ч?

Задача 4.4

На городской телефонной станции в порядке собственно случайной выборки проведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 мин при среднем квадратическом отклонении 5 мин.

1. С вероятностью 0,997 определите доверительные пределы для генеральной средней.

2. Можно ли считать данную выборку репрезентативной?

3. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении средней продолжительности одного телефонного разговора допущена ошибка, не превышающая 1 мин?

Задача 4.5

На основе выборочного обследования 600 рабочих (n= 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0,4 (w= 0,4).

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка (), не превышающая 5% (0,05)?

Задача 4.6

Из партии готовой продукции в порядке механической выборки проверено 50 лампочек на продолжительность горения. Последняя оказалась равна 840 ч при среднем квадратическом отклонении 60 ч.

Определите:

1. среднюю ошибку (µ) выборочной средней продолжительности горения лампочки;

2. доверительные пределы продолжительности горения лампочки в генеральной совокупности с вероятностью 0,95.

Задача 4.7

Из партии готовой продукции в порядке механической бесповторной выборки проверено 400 изделий и установлено, что 80% из них соответствует первому сорту.

С вероятностью 0,9545 определите долю (процент) продукции первого сорта во всей партии.

Задачу решите в двух вариантах:

1. численность изделий в партии готовой продукции неизвестна;

2. в партии готовой продукции 2000 изделий.

Задача 4.8

В порядке случайной выборки обследован дневной надой молока 50 коров. Результаты обследования приведены в табл. 4.3.

Определите:

1) по выборочным данным средний надой молока от одной коровы;

2) среднюю ошибку выборки;

3) вероятность того, что при определении выборочного среднего надоя молока допущена ошибка, не превышающая 1 кг.

Таблица 4.3

Дневная удойность, кг	Количество коров
10-14	5
14-18	15
18-22	20
Свыше 22	10
Итого	50

Задача 4.9

При случайном способе отбора из партии было взято 100 проб продукта А. В результате исследования установлено, что влажность продукта А в выборке составляет 9% при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя влажность продукта А в партии.

Задача 4.10

Для изучения общественного мнения населения области о проведении определенных мероприятий методом случайного отбора было опрошено 600 человек. Из числа опрошенных 360 человек одобрили мероприятия.

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля лиц, одобривших мероприятия.

Задача 4.11

Для определения среднего возраста рабочих предприятия была произведена выборка рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Возраст рабочих, лет	20-30	30-40	40-50	50-60
Число рабочих, чел.	20	60	15	2

С вероятностью 0,997 определите:

1. пределы, в которых находится средний возраст рабочих предприятия;

2. пределы, в которых находится доля рабочих предприятия в возрасте старше 50 лет.

Задача 4.12

Из партии готовой продукции методом случайного отбора отобрано 250 изделий, из которых пять оказались бракованными. Определите с вероятностью 0,954 возможные пределы процента брака во всей партии. Объем выборки составляет 10% всего объема готовой продукции.

Задача 4.13

В выборах мэра примут участие около 1 млн избирателей. Кандидат М будет выбран, если за него проголосуют более 50% избирателей. Накануне выборов проведен опрос случайно отобранных 1000 избирателей: 540 из них сказали, что будут голосовать за М. Укажите, можно ли при уровне доверительной вероятности 0,954 утверждать, что М победит на выборах.

Задача 4.14

На одном из рынков города дважды за день проведено выборочное обследование цен на картофель. При первом обследовании было опрошено 10 продавцов, при втором – 15. Средняя цена картофеля в первой выборке оказалась равной 5 руб. при среднем квадратическом отклонении 0,6 руб., а во второй выборке – соответственно 5,5 и 0,8 руб. (т.е. n₁= 10 чел.,x₁ = 5 руб., σ₁= 0,6 руб. иn₂ = 15 чел.,x₂ = 5,5 руб., σ₂= 0,8 руб.).

Определите, случайны или нет расхождения между x₁иx₂.

Задача 4.15

Исследуемая партия состоит из 5 тыс. деталей. Предполагается, что партия деталей содержит 8% бракованных. Определите необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 установить долю брака с погрешностью не более 2%.

Задача 4.16

В городе А проживает 10 000 семей. С помощью механической выборки предполагается определите долю семей с тремя детьми и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

Задача 4.17

В районе проживает 1000 семей. Предполагается провести их выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора для нахождения среднего размера семьи. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем квадратическом отклонении в три человека.

Задача 4.18

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случайной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью Р, равной 0,954, можно было гарантировать ошибку не более 50 руб.? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение заработной платы σ = 200 руб.

Задача 4.19

Намечается выборочное обследование покупателей в одном из крупных универмагов города в целях определения доли покупателей из других городов. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было гарантировать точность результата до 5%? На основе предыдущих исследований дисперсию доли можно принять равной 0,4 при среднем потоке покупателей 5000 чел.

Задача 4.20

В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?

Задача 4.21

С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. человек, в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основе предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Задача 4.22

В акционерном обществе 200 бригад. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обслуживания рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.