mat.analiz_1

в) побудувати точки, лінії, фігури, які мають наперед задані властивості.

Друга характеристика стосується методу дослідження. Елементарна алгебра і елементарна геометрія будуються самостійно, незалежно одна від іншої.

Звичайно, понять і методів «елементарної» математики недостатньо для того, щоб описати, наприклад, механічний рух або інші процеси в навколишньому середовищі, що змінюються з часом. Отже, щоб вивчати такі процеси і явища з кількісного боку, потрібно створити нову математику, яка змогла б вивчати взаємну зміну різних величин. Якраз математичний аналіз і вивчає змінні величини у їх взаємозв’язку.

Математичний аналіз – це сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій за допомогою граничного методу. Історично склалося, що математичний аналіз включає в себе розділи класичного математичного аналізу:

1)вступ до аналізу;

2)диференціальне числення функції однієї і багатьох змінних;

3)інтегральне числення функції однієї і багатьох змінних;

4)числові і функціональні ряди.

Проте включення окремих питань сучасного математичного аналізу:

5)елементи функціонального аналізу;

6)міра та інтеграл Лебега,

дозволить студентам мати уявлення про розвиток та сучасний стан математичної науки.

Головний об’єкт аналізу – функція, а його головний метод дослідження – граничний перехід.

10

Ключові поняття математичного аналізу, початки якого вивчають

у школі, є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Центральними задачами, що стосуються головного об’єкту, є такі:

–винахід способів задання функцій;

–знаходження значень функції за заданим значенням аргументу;

–знаходження значень аргументу за заданим значенням функції;

–дослідження властивостей функцій та їх класифікація;

–знаходження функцій за їх характеристичними властивостями;

–використання функцій при розв’язуванні задач з інших

розділів математики, задач інших галузей наукового знання. Створення математичного аналізу є одним з найбільших

досягнень людського розуму. Воно дозволило перейти від розгляду окремих розрізнених фізичних і геометричних задач (таких, як падіння тіла під дією сили тяжіння, обчислення площі плоскої фігури) до розвитку загальних методів розв’язування великого класу задач. Розвиток математичного аналізу, в свою чергу, мав великий вплив на прогрес науки і техніки.

Класичний математичний аналіз є досить зручною ідеалізованою моделлю, яка базується на тому, що ми володіємо точними знаннями всіх вихідних величин і можемо знайти точні значення величин, які ми обчислюємо. Разом з тим, відштовхуючись від цієї моделі ми, зазвичай, можемо оцінити похибку, яка виникає внаслідок того, що вихідні величини задані нам з деякою похибкою і всі обчислення можна проводити з певною точністю. Отже, апарат математичного аналізу можна використати для побудови чисельних методів і оцінки похибок.

11

У загальних рисах побудову диференціального числення було завершено у працях англійського фізика, астронома та математика І.Ньютона (1643—1727) та німецького філософа та математика Г.Лейбніца (1646—1716) до кінця 17 століття. Строге обґрунтування диференціального числення на основі теорії границь дав на початку 19 ст. французький математик О.Коші (1789—1857). Видатну роль в створенні класичного математичного аналізу відіграли Л.Ейлер

(1707—1783), Ж.Лагранж (1736—1813), К.Гаусс (1777—1855),

К.Вейєрштрасс (1815—1897) та ін.

Розвиток математичного аналізу в цілому визначає рівень його використання і здійснює істотний вплив на розвиток інших наук і техніки. Останнім часом завдяки появі персональних комп’ютерів у використанні математичних методів відбувся значний стрибок. Вони стали застосовуватися не тільки в тих областях, де математика використовувалась вже давно (механіка, фізика), але й в тих областях знань, де математика ще зовсім недавно або застосовувалася мало, або її застосування навіть не було можливим (медицина, економіка, лінгвістика, соціологія і ін.)

Як навчальна дисципліна математичний аналіз є основним у фаховій підготовці математика і вчителя математики і вивчається протягом трьох років у вищому навчальному педагогічному закладі. Загальна кількість годин, яка виділяється на вивчення математичного аналізу, дорівнює 702 години, що складає 19,5 кредитів, відповідних

ECTS.

Як навчальна дисципліна математичний аналіз має своїм завданням:

–розкрити зміст і значення науки про функції, методів їх дослідження та застосування;

–озброїти майбутнього вчителя знаннями та навичками одного з найефективніших методів наукового пізнання, а саме

12

–методу подання кількісних відношень реальної дійсності у вигляді певних функціональних залежностей;

–уточнити ряд понять шкільної математики;

–сприяти формуванню справжньої математичної культури.

Без сумніву, все перелічене є необхідною складовою частиною фахової підготовки вчителя математики.

Логічні символи.

В математиці часто замість слів вживають логічні символи, які передають найбільш важливі й часто вживані відношення між об’єктами. Розглянемо деякі з них:

– (знак слідування) «випливає», «якщо, то…»;

– (знак рівносильності) «тоді і тільки тоді»;

– (квантор загальності) «для всіх», «всі», «кожний»,

«довільний»;– (квантор існування) «існує», «знайдеться», «принаймні

один»;! – «існує точно один»;

df

:=, або = – «називається», «дорівнює за означенням».

Приклад 2.

1)Вислів ( x)P(x) читається так: «для довільного x має місце висловлення P(x)».

2)якщо заперечити попереднє висловлення, то за допомогою

квантора		існування			це	можна	зробити	так:
		=( x)(		)
	( x)P(x)		P(x)		– «існує	принаймні	один елемент x

такий, що для нього не виконується P(x)». Висловлення: Кожне ціле число є додатне.

Заперечення: а) «Кожне ціле число є від’ємне » – неправильне,

13

б) «Існує в множині цілих чисел принаймні одне ціле число, яке не є додатним» – правильне.

3) ( x)P(x)=( x)(P(x)) – «не існує в множині жодного елемента,

для якого б мало місце твердження P(x)», або «для довільного елемента з множини твердження P(x) не має місця».

4) Прочитайте твердження, записані за допомогою логічних знаків:

а) a > b > 0 a2 > b2 ; б) a > b a3 > b3 ;

в) x R : x2 + x + 2 > 0 ; г) x R : x2 = 4;

д) !x R :2x = 8;

е) an :=a a ... a .

n разів

Елементи теорії множин.

В математиці основними поняттями є поняття множини, елемента і належності елемента множині. Георг Кантор (1845 – 1918), засновник теорії множин, під множиною розумів об’єднання певних і різних об’єктів нашої інтуїції чи інтелекту, яке розглядається як одне ціле. Як синоніми слова «множина» використовуються слова «сукупність», «клас».

Кожна множина складається з елементів. Множина вважається означеною, якщо про кожен об’єкт, що розглядається, можна сказати, що він або належить, або не належить множині. Якщо елемент x належить множині А, то символічно це записують так:

x A, або A x .

Якщо ж елемент x не належить множині А, то позначають цей факт так: x A, або x A .

Способи задання множин:

1 . За допомогою переліку її елементів.

14

Приклад 3.

1)A ={a,b,c }– скінченна множина;

2)N ={1, 2,3,..., n,...}– множина натуральних чисел;

3)Z ={0, ±1, ±2, ±3,..., ±n,...}– множина цілих чисел.

2 . За вказівкою властивості її елементів.

Якщо множина А складається з елементів, які мають певну властивість Р, то цю множину будемо позначати символом:

A ={x X P(x)}, або A ={x X :P(x)}.

Множину, яка не містить елементів, називають порожньою і позначають символом Ø.

Приклад 4

	m
1)	Q =			m Z, n N – множина раціональних чисел;
	n
2)	A = {x R					x2 −5x + 6 = 0 }={2;3 } – множина розв’язків
	вказаного квадратного рівняння;
3)	[a;b]={x : a ≤ x ≤b} – множина точок відрізка числової прямої;

Дії над множинами.

Означення 1.1. Множина А називається підмножиною множини В, або А міститься в В, якщо кожен елемент множини A є елементом множини В (рис. 1.1):

		.
	x A x B						А В
Позначення: A B, B A.
						В
				А
Порожня множина, за означенням,
є підмножиною довільної множини: Ø

А. Рис. 1.1

Зозначення 1.1 маємо, що множина А є підмножиною А: А А.

Означення 1.2. Дві множини А і В називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів:

15

df

А= В A B i B A

Приклад 5. A = {x x2 −5x + 6 = 0 }={2,3},

B = {x x −прості числа, менші4 }, А= В.

Означення 1.3. Об’єднанням множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих елементів, які належать принаймні одній з множин А чи В (рис. 1.2):

df

С = А В ={x x Aабоx B }

Приклад 6.

1)A ={1; 2;3}, B ={2;3; 4} тоді

2)A ={ x R 2 ≤ x ≤ 5}, B ={ x

A B ={x R 2 ≤ x ≤ 8}.

АВ

С = А В

Рис. 1.2

A B ={1;2;3;4}.

R 4 ≤ x ≤ 8} тоді

	А		А В
	2 5	х
		В

Означення 1.4. Перетином множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній з множин А і В (рис. 1.3):

df

С = А∩ В ={x x A іx B }

Приклад 7.

1) A ={1; 2;3}, B ={2;3; 4}

тоді A ∩B ={2;3}.

16

2)

A ={ x R

2 ≤ x ≤ 5}, B ={ x R

4 ≤ x ≤ 8}, тоді

A ∩B ={x

R

4 ≤ x ≤ 5}.

А

А∩ В

2

5

х

В

В

А

Означення 1.5. Різницею множин А

множина

С,

яка складається з

усіх тих

множини А, які

не

належать множині В (рис. 1.4):

С = А\ В

Рис. 1.4

df

С = А\ В ={x

x A іx B }

Приклад 8.

1)

A ={1; 2;3}, B ={2;3; 4}, тоді A \ B ={1}.

2)

A ={ x R

2 ≤ x ≤ 5}, B ={ x R

4 ≤ x ≤ 8},

тоді

A \ B = {x R

2 ≤ x ≤ 4}.

А Х .

Означення 1.6.Нехай Х – основна

множина і

Доповненням до

множини

А

називається різниця

Х \ А

(рис.1.5)

А

=СХ А

df

А

А= СХ А= Х \ А={x

x

Х іx А}

Теорема

1.1.

(принцип

Х

Рис. 1.5

двоїстості). Для довільної

множини А і В правильні рівності:

=

∩

;

=

А В

А

В

А∩ В

А

В

Доведення першої рівності. Нехай

df

x А В x A B x A i x B x A i x B x А∩ В.

Отже, x А B x А∩ В.

17

Другу рівність спробуйте довести самостійно. Операції об’єднання і перетину мають ряд властивостей,

аналогічних властивостям дій над числами:

	Для чисел	Для множин
	1) a +b = b + a,	A B = B A,
	ab = ba ,	A ∩ B = B ∩ A,
	(переставний закон)
	2) (a +b)+c = a +(b +c),	(A B) C = A (B C),
	(ab)c = a(bc),
		(A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C),
	(сполучний закон)
	3) (a +b)c = ac +bc ,	(A B)∩C = (A ∩C) (B ∩C),
	(розподільчий закон)
	4) 0 + a = a ,
	1 a = a .	Ø A = A,
		U ∩ A = A .

Доведіть самостійно !

Означення 1.7. Впорядкованою парою (а,b) елементів а і b називається множина {a,{a,b }}. Елемент а називається першим елементом впорядкованої пари, а b – другим.

З означення випливає, що якщо a ≠ b , то (a,b)≠ (b, a).

Означення 1.7. Декартовим добутком A×B множин А і В

називається множина:

A× B := {(a,b) a A, b B }

Аналогічно означається декартовий добуток трьох множин А, В,С як:

A× B ×С:= {(a,b, с) a A, b B, с С}={a,{a,b },{a,b, с}}.

Таким же чином означається декартовий добуток п множин, n N .

18

План:

1.Короткі історичні відомості.

2.Множина раціональних чисел.

3.Властивості раціональних чисел.

Короткі історичні відомості.

Число – одне з фундаментальних математичних понять. Стародавня писемна математична пам’ятка, яка дійшла до нас, – папірус Рінда, переписаний єгипетським переписувачем Ахмедом близько 2220 – 1800 р.р. до н.е., – свідчить про те, що і в той далекий час єгиптяни були обізнані з діями не тільки над цілими числами, а й над дробовими. Найстародавніші пам’ятки математичних знань ми зустрічаємо за 4 – 5 тис. років до н.е.

Однак минуло багато тисячоліть, перш ніж людина усвідомила, що два дерева, дві руки, дві людини і т.д. можна назвати одним словом “два”, тобто що це слово виражає властивості сукупностей різних предметів, яка є загальною для всіх сукупностей, предмети яких можна зіставити по одному. Отже, абстрактне поняття числа формувалося з розвитком писемності та введенням символів для позначення числа.

Додатні і від’ємні кількості вперше в історії науки розрізняли в Китаї ще понад 2000 років тому. Додатні кількості називали “чен”, від’ємні – “фу”; їх зображали різними кольорами: “чен” – червоним, “фу” – чорним.

19