mat.analiz_1

Такий спосіб зображення чисел використовували до середини ХІІІ ст., поки Лі Є не запропонував від’ємні числа зображати цифрами, перекресленими навскіс рискою справа наліво.

У V – VI ст. від’ємні числа з’являються і дуже поширюються в індійській математиці. Уже в творі індійського математика і астронома Брамагупти “Перегляд системи Брами” (628р.) ми читаємо: “ “Майно” і “майно” є “майно”, сума двох “боргів” є “борг”, сума “майна” і нуля є “майно”, сума двох нулів є нуль… “Борг”, який віднімають від нуля, стає “майном”, а “майно” – “боргом”. Якщо треба відняти “майно” від “боргу”, а “борг” від “майна”, то беруть їх суму…” [1].

В Європі до ідеї від’ємної кількості досить близько підійшов на початку ХІІІ ст. Леонардо Пізанський, а в явному вигляді їх застосував наприкінці ХV ст. французький математик Шюке. Сучасні позначення додатних і від’ємних чисел із знаками «+» і «–» запропонував наприкінці ХV ст. німецький математик Відман. Широко від’ємні числа почали застосовувати тільки з часів великого французького філософа і математика Рене Декарта (1596 – 1650). Створена Декартом і Ферма (1601 – 1665) аналітична геометрія дала змогу розглядати корені рівняння f (x)= 0 як координати точок перетину кривої y = f (x) з віссю абсцис, це остаточно зняло принципову відмінність між додатними і від’ємними коренями рівняння.

Поява дробових чисел зумовлювалася потребою виконувати вимірювання, застосовувати одиницю, яка ціле число разів не вкладається у вимірюваний величині. Числа, які можна подати у вигляді дробу (відношення двох цілих чисел), називали раціональними. Коли виникли дроби, невідомо, але дослідження показують, що вже стародавні єгиптяни, хорезмійці та китайці вміли виконувати найпростіші арифметичні дії з дробами.

20

Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних, але історично, напевне, раніше, ніж від’ємні. Ще стародавні греки у Піфагорійській школі відкрили в геометрії несумірні відрізки. Це відкриття було поворотним пунктом в історії аналітичної математики і його значення можна порівняти тільки із значенням неевклідової геометрії для розвитку науки ХІХ – ХХ ст. Це відкриття показало, що для вимірювання геометричних величин недостатньо раціональних чисел. Оскільки поняття ірраціонального числа грецька математика не знала, то стали виконувати дії безпосередньо над геометричними величинами, а не над числами. Це привело до створення «геометричної алгебри». В ІV ст. до н.е. Теетет розробив теорію квадратичних ірраціональностей (задачі на побудову з допомогою циркуля і лінійки ). Однак і їх було не достатньо для того, щоб, наприклад, побудувати ребро куба, об’єм якого вдвічі більший об’єму заданого куба.

Грецький математик Евдокс (ІV ст. до н.е.) розробив теорію відношень геометричних величин і методу доведення теорем про вимірювання геометричних величин, який називається «методом вичерпування». Уперше до поняття ірраціонального числа прийшли вчені Ближнього та Середнього Сходу. На початку ХІІІ ст. ірраціональні числа з’являються в західноєвропейських учених, найраніше в Леонарда Пізанського, але розглядаються вони лише з геометричного боку як нерівноправні числа. Важливий крок в подоланні цієї проблеми здійснив Р.Декарт. Він ввів одиничний відрізок і з його допомогою повністю звів дії над числами до теорії пропорцій. І лише в ХІХ ст. була створена теорія дійсного числа в працях німецьких математиків Р.Дедекіна (1831 – 1916), К.Вейєрштрасса (1815 – 1897), Г.Кантора (18/45 – 1918) і французького математика Ш.Мере (1835 – 1911). Ці теорії відрізнялись між собою способом визначення дійсного числа. Наприклад, Дедекінд означав дійсні числа як розбиття множини

21

раціональних чисел на дві непорожні підмножини, з яких одна лежить справа від іншої. Кантор і Мере означали дійсні числа з допомогою збіжних послідовностей раціональних чисел.

Вейєрштрасс розглядав стяжну систему відрізків з раціональними кінцями: [a1;b1 ] [a2 ;b2 ] ... [an ;bn ] ...

І хоча зовні ці три теорії відрізняються, всі вони приводять до поняття дійсного числа. На основі кожної з цих теорій можна встановити взаємо однозначну відповідність між множиною дійсних чисел і множиною точок числової прямої, впорядкованість цієї множини і визначити арифметичні дії над числами.

Оскільки в шкільному курсі математики дійсні числа означаються як нескінченні десяткові дроби [17], то ми і розглянемо модельний підхід К.Вейєрштрасса.

З аксіоматичною побудовою теорії дійсних чисел ви можете ознайомитися в підручниках [8], [12] та в Додатку.

Множина раціональних чисел.

Натуральні числа, які використовують при лічбі предметів, утворюють множину натуральних чисел:

N={1, 2,3,..., n,...}.

УІІІ ст. до н.е. Архімед довів, що ця множина нескінченна. В множині N вводять чотири арифметичні операції: додавання,

віднімання, множення і ділення. Сума і добуток натуральних чисел є число натуральне: m N і n N m + n N, m n N .

А от різниця двох натуральних чисел не завжди є натуральне числом. Наприклад, 3 −8 = −5 N .

Для того, щоб можна було віднімати натуральні числа, вводять число нуль та від’ємні цілі числа. Отже, число нуль означають як

нейтральний елемент множини чисел відносно операції додавання:

n N :m +0 = m .

Цілим від’ємним числом −n, n N називають таке ціле число, для якого виконується рівність (−n)+n = 0.

22

Натуральні числа, нуль та цілі від’ємні числа утворюють

множину цілих чисел: Z ={0; ±1; ±2; ±3;...; ±n;...}.

Сума, різниця і добуток цілих чисел є ціле число:

m Z i n Z m +n Z, m −n Z, m n Z .

А от частка двох цілих чисел не завжди є цілим числом,

наприклад 23 Z . Щоб ділення чисел виконувалось без обмежень,

потрібно розширити поняття цілого числа, ввівши дробові числа.

	Означення 1.7. Числа вигляду	m	, m N називаються
		n

дробовими або раціональними. Число m називають чисельником, а п – знаменником дробу. Якщо m < n , то дріб називають правильним, а якщо m > n або m = n – неправильним.

З шкільного курсу математики відомо, що сума, добуток, різниця, частка двох дробів є раціональним числами, які визначаються за правилами:

																									На прикладі:																																							В загальному вигляді:
								234									+						100									=		234 +100													=					334				;																	m								±					p					=					m ± p							;
			551																																																551																								n
																				551														551																																																				n												n
	11		+						13				=							11 4												+			13 5					=				44 + 65										=			109				m		±			p				=						m q														±					p n						=			mq ± pn
																																																													n					q										n q																			q n										nq
	50		40																	50 4															40 5								200														200
			2																	2														2																														m															m																					m
							3 1							=						3					,										3 0							= 0,																										1 =																	,																	0			= 0,
																																																																n																n																				n
			93											5																		93 5											3 1								3					;								m p																		mp
																									=													=													=																								=																	;
			100														31												100 31													20 1											20
																																																																n							q												nq
	2	:		4		=					2								9			=						2 9							=	1 3							=			3															m		:		p				= m																p					=				m q
	3 9 3 4 3 4 1 2																																										2																		n q														n									q n p
7			: 20 =														7								1							=		7																											m		: p									m 1																							m
																																																																				=																					=
11															11										20									220
																																																													n													n									p										n p
30 :					13					= 30																	5			=			150				=11								7				.												p :			m				=						p									n						=						pn		.
			5																						13									13									13
																																																																n								1										m													m
																																																									23

Основна властивість дробу: при множенні (або діленні)

чисельника і знаменника на одне і те ж, відмінне від нуля, число величина дробу не змінюється: mknk = mn , k ≠ 0 .

Множину раціональних чисел позначають буквою Q :

Q = m		m Z, n N .
n

Якщо покласти n =1, то отримаємо ціле число: mn = m1 = m Z .

Отже, множина натуральних і множина цілих чисел є підмножинами раціональних чисел: N Z Q.

Раціональне число mn , m > 0 можна також подати у вигляді

нескінченного десяткового дробу, виконуючи послідовно ділення чисельника на знаменник:

Ділення в стовпчик

У вигляді ланцюжка рівностей

m

n

m = n a0 + r0 ,

− n a0

10 r0 = n a1 + r1,

a0 , a1a2...

−

r 10

10 r1 = n a2 + r2 ,

0

.............................

n a1

r1 10

де a0 −ціленевід'ємнечисло:

− n a2

n a0 ≤ m ≤ n(a0 +1),

r

an {0; 1; 2; 3; 4; ...;9 },

2...

0 ≤ rn ≤ n.

Приклад 1

24

			7																16						7			=16 0 + 7,
	−70																								70 =16 4 + 6,
																		0, 4375
	64																								60 =16 3 +12,
			−				60																		120 =16 4 +8,
							48																		80 =16 5 + 0,
				−			120
							112																					7	= 0,4375
																											16
									−	80
										80
											0
Приклад 2
		7													22										7 = 22 0 + 7,
−	70																								70			= 22 3 + 4 ,
														0,31818...
	66																								40			= 22 1 +18,
		−		40																					180 = 22 8 + 4 ,
				22																					..........................
		−		180																				7	= 0,3181818... = 0,3(18)
																								22
				176
							4
							...

У прикладі 2 немає сенсу продовжувати далі ділення, адже третя остача дорівнює першій, тому починається повтор тих остач, які вже були одержані.

Розглянемо це питання у загальному вигляді.

Нехай задано нескоротний дріб mn , НСД (m,n)=1, де знаменник

п ділиться на деяке просте число р, відмінне від 2 і 5. Тоді ділення т

25

на п не може закінчитися ніколи, адже тоді дріб mn можна було б

подати у вигляді скінченного десяткового дробу.

При діленні числа т на п можуть бути остачі, які менші від числа п, тобто остачі від 1 до п – 1. Якщо ми використаємо після скінченного числа ділень всі остачі, то на наступному діленні якась з цих остач обов’язково повториться, і за нею всі наступні; також почнуть повторюватися і відповідні цифри частки. Отже, в частці ми отримаємо нескінченний періодичний десятковий дріб, який в періоді може мати найбільше n −1 цифру. Період може бути і коротший, оскільки повторення остач може початися раніше, ніж ми вичерпаємо всі n −1 можливі остачі. При цьому повторення остач може початися з першої з них, і тоді в частці ми отримаємо так званий чистий періодичний дріб, або з іншої остачі, тоді в частці отримаємо

змішаний періодичний дріб (приклад2).

Висновок. Будь яке раціональне число mn можна подати як

нескінчений періодичний десятковий дріб з періодом, який має не більше цифр, ніж знаменник без одиниці. Причому, різні числа подаються різними дробами.

Приклад 3.

	1)		1	= 0,2 = 0,2(0),				7	= 0,875 = 0,875(0);
		5						8
	2)		1	= 0, (3),		170	= 4, (594);
		3
					37
	3)	15			= 0,53(571428),				118		= 2,1(45).
			28							55

Виявляється, що кожний періодичний десятковий дріб можна перетворити у раціональне число. Для цього потрібно скористатись формулою суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії, яка вивчалась в дев’ятому класі СЗШ:

26

..

(b

), b

= b

q,

q

<1

, b

+b q +b q2

+...+b qn +... =

b1

..

n

n

n−1

1

1

1

1

1

− q

Приклад 4. a) Розглянемо чистий нескінченний періодичний дріб, у якого тільки одна цифра в періоді:

У загальному вигляді:

0,333... = 0,(3) 0, а1а1а1а1... = 0, (а1 ),

а1 {0,1,...,9 }

1 спосіб:							3							3											3							0,		а а а а ... =							а1		+			а1			+		а1				+... =
0,333... =											+											+						+... =					1		1	1	1			10				102					103
							10								102										103									а			1			1											a
	3							1									1															=		1	1	+			+						+...				=		1
																																										2
=					1		+							+											+...				=				10				10			10									9
	10							10									10					2
=		3					1							=					3						10		=			1
	10								1								10								9				3
					1 −
								10
2 спосіб:																																		x = 0, а1а1а1а1... = 0, (а1 ),																					10
x = 0,333... = 0, (3)																							10											10x = а1, а1а1а1... = а1 + x
10x = 3,333..., або10х = 3 + х,
																																							9x = a1
												3								1
9х = 3,							х =									=																									x =				a1
								9									3
																																												9

Висновок. Якщо чистий періодичний десятковий дріб має нуль цілих і період складається з однієї цифри, то він дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює періоду, а знаменник – дев’ятці.

б) Розглянемо чистий нескінченний періодичний десятковий дріб, у якого нуль цілих і період, наприклад, з двох цифр:

27

																																	У загальному вигляді:
				0,121212... = 0,(12)																													0, а1а2а1а2а1а2... = 0,(а1а2 )
1 спосіб:										12											12							12					0, а1а2а1а2а1а2... =
0,121212... =																	+							+					+... =				=	а1а2	+		а1а2						+					а1а2							+... =
										2											4							6
																																		102			104										106
		12				1		10						1					10								10
																											=							а а					1														1
=				1+						+												+...											=	1 2	1		+										+								+...				=
	10		2			10		2						10					4
																																		102					102
																																															104
		12				1										12						100					12				4			a1а2											а1а2
=	102						1					=			100 99												= 99			=	33.		=		100 =
																																		100									99
				1−		100
2 спосіб:																																	x = 0, а1а2а1а2а1а2...																									100
					x = 0,121212...																					100							100x = а1а2 , а1а2а1а2...,
					100x =12,1212...,
																																	100х = а1а2 + x,
							100х =12 + х,
																																							99x =
							99х =12,																																											a1а2
							х =					12						=			4				.													x =						а1а2
																																											99
												99									33

Висновок. Можна узагальнити даний результат на випадок, коли чистий періодичний десятковий дріб має нуль цілих і в періоді є п цифр: х = 0, (а1а2 ...ап), аі {0;1; 2;...;9 }, i =1, n , тоді він дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює періоду, а знаменник є натуральне число, що зображається дев’ятками, кількість яких дорівнює кількості цифр в періоді:

х = 0, (а1а2 ...ап)= а1а2 ...ап 99...9

п

Приклад 5. Розглянемо змішаний періодичний десятковий дріб, у якого декілька цифр в періоді:

28

У загальному вигляді:

0,405(63)

0,b1b2...bk (a1a2...an ),

aibj {0,1,..., 9 }, і =

, j =

.

1, п

1, k

1 спосіб:

x = 0,b1b2 ...bk (a1a2 ...an )

10k

x = 0, 405(63)=

10k x =

+ 0,(a a

...a ),

b b ...b

405

63

63

1 2

k

1 2

n

=

+

+

+... =

+

=

a1a2 ...an

103

105

107

10k x =

b1b2 ...bk

1

405

63

10n −1

=

+

1+

+...

=

n

1000

10

5

10

2

b1b2 ...bk (10

−1)+ a1a2 ...an

=

=

=

405

+

63

102

=

10n −1

(

10n +

)−

1000

105

99

=

b1b2 ...bk

a1a2

...an

b1b2

...bk

=

405(100 −1)+ 63

=

;

10n −

1

99000

=

−

b1b2...bk a1a2...an

b1b2...bk

x =

40563 − 405

99...9

99000

п

2 спосіб:

Отже,

x = 0,405(63)

1000

−

х =

b1b2...bk a1a2...an

b1b2...bk

1000x = 405,(63)=

405 +0,63 =

99...900...0

= 405 + 63 = 405 +

63

=

п

k

99

100 −1

40500 + 63 − 405

=

40563 − 405

99

99

звідки x =

40563 − 405

99

Висновок. Будь який змішаний періодичний десятковий дріб, у якого нуль цілих, дорівнює дробу, чисельник якого є різниця між числом, утвореним доперіодичною частиною і першим періодом і числом, утвореним доперіодичною частиною, а знаменник утворений з розрядних дев’яток на початку і нулів в кінці числа, причому

29