Fizika - V. F. Dmitriyeva

тиск газу певної маси (т - сопзї) при сталій температурі зміню-

ється обернено пропорційно його об'єму (закон Бойля - Маріотта).

Цей закон можна сформулювати інакше -

добуток тиску газу на об'єм для певної маси газу с величиною сталою:

рГ = СОП8*.

(4.18)

Графічно цей закон в координатах р¥ виражається лінією, яку називають ізотермою (рис. 4.12). Для тієї самої маси газу різні ізотерми відповідають процесам, які відбуваються при різних температурах.

Ізобарний процес. Закон Гей Люссака

Процес, який відбувається в газі при сталому тиску, називається ізобарним ("барос" - важкий).

Залежність об'єму газу від його температури при сталому тиску встановив французький фізик і хімік Ж. Гей-Люссак (1802).

Проведені ним досліди показати, що збільшення об'єму газу пропорційне приросту температури.

Об'єм газу певної маси при сталому тиску зростає лінійно із збіль-

шенням температури (закон Гей-Дюссака):

У = У0(і + аі).	(4.19)
Тут V - об'єм газу при температурі / ,°С;	У0 - його об'єм при 0 °С,

Величину сі називають температурним коефіцієнтом об'ємного розширення (для всіх газів а = 1 / 273 °С). Отже,

Графічна залежність об'єму від температури зображується прямою лінією - ізобарою (рис. 4.13). Якщо температури дуже низькі (близькі до - 273 °С), то закон Гей-Люссака не виконується, тому суцільну лінію на графіку замінено штриховою.

170

§ 47. Абсолютний нуль температури. Термодинамічна шкала температур

Закон Шарля

Процес, який відбувається в газі при сталому об'ємі, назива- < ться ізохорним ("хорема" - місткість).

Залежність тиску певної маси газу від температури при сталому об'ємі

•перше дослідив у 1787 р. французький фізик Ж. Шарль. Він встановив, що

іиск газу певної маси при сталому об'ємі зростає лінійно із збільшенням температури (закон Шарля):

р = р0( 1 + у/).

(4.21)

І уг р - тиск газу при температурі /, °С; р0 - його тиск при 0 °С. Ве- >шчину у називають температурним коефіцієнтом тиску. Його значенИЙ не залежить від природи газу; для всіх газів у = 1/273 °С"1. Отже,

Р = Л ) І 1 + 27З4

( 4 '2 2 )

І рафічна залежність тиску від температури зображується прямою лінню ізохорою (рис. 4.14).

Абсолютний нуль температури. Якщо ізохору (4.14) продовжити в иОласть мінусових температур, то в точці перетину з віссю абсцис маємо

р = р{ 1 + ^ 3 <)-о.

Звідси / = -273 °С (точніше, -2.73,16°С), що відповідає нулю за термодинамічною шкалою. Цю температуру називають нулем Кельвіна (або

іііно иотним нулем).

Термодинамічну шкалу температур запропонував англійський учений V Кельвін. За початок відліку на цій шкалі взято температуру нуль Кельміпл (0 К). Нуль Кельвіна - це гранична температура, при якій тиск ідеальному і азу дорівнює нулю. Температури, нижчої від 0 К, не може бути; 0 К - найнижча іемпература. в природі. Існування її передплчив М. В. Ломоносов.

За одиницю температури за термодинамічною шкалою взято кельвін (К); 1 К нідиовідає 1 °С.

171

Шкала Кельвіна Шкала ЦельіїяТемпературу, відлічену за термодинамічною

	575 К	-ЮО°С шкалою температур, позначають Т. її називають
	275,16К~	-0°С	термодинамічною температурою. Оскільки точ-
			ка танення льоду при нормальному атмосфер-
			ному тиску, взята за 0 °С, дорівнює 273,16 К
			(рис. 4.15), то можна записати:
	Рис. 4.15		Т = 273,16 + /.	(4.23)

Замінимо тепер у рівнянні (4.20) температуру, відлічену за шкалою Цельсія, термодинамічною температурою:

1 + -	1	-І	^273,16 + Л	273,16
	273,16		273,16

Позначивши через Ух і У2 об'єми газу при температурах 7| і Тг, запишемо:

Ух-Уо-	(4.24)
273,16' А	" 273,16

Поділивши почленно ці рівності, дістанемо для ізобарного процесу

УхІУг=ТхІТІ9 або VІТ ~ СОН8І.

(4.25)

Аналогічно дістанемо співвідношення між параметрами, які характе-

ризують ізохорний процес
р1/р2=Т1/Т2, або р/Т = соші.	(4.26)

Цими записами законів Гей-Люссака (4.25) і Шарля (4.26) найповніше розкривається їхній фізичний зміст.

Для певної маси газу його об9єм при ізобарному або тиск при ізохорному процесах пропорційні термодинамічній температурі

Газові закони виконуються з високим ступенем точності для газів при невеликих тисках і не дуже низьких температурах.

§ 48. Рівняння стану ідеального газу. Молярна газова стала

Рівняння Клапейрона

Розглядаючи ізопроцеси, ми досі вважали, що один з трьох параметрів стану не змінюється. На практиці найчастіше доводиться мати справу з випадками, коли одночасно змінюються всі три параметри стану.

172

Припустимо,

що початковий

стан газу

р,

Р2

при

/// - соп8І

характеризується

парамет-

рг

ра ми

Ух,

рх, Т{, а кінцевий - відповідно

ІІІІІ

НІН

№

№111 ІІІІІ

І., р2 і

Т2 (рис. 4.16). Нехай з початково-

V,

V

ІІІІІ ІІІІІ

іо етапу в кінцевий газ переходить послі-

Уг

доіпю. Спочатку змінимо тиск рх на р2,а

Ф

(ТІ)

(Т2)

Рис. 4Л6

ісмиературу Тх

не змінюватимемо. Об'єм,

ик ті матиме газ після цього переходу, позначимо V, тоді, за законом Бойня Маріотта, рхУх - р2У , звідки

у = Р \ у \ І Р І -

(4,27)

Тепер при незмінному тиску р2 зменшимо температуру від Тх до Т2, при цьому об'єм зміниться від значення У до У2; отже, за законом Шарля, Г,/У -Т2/Тх , звідки

у\ =уіт\Ітг-

(4-28)

У рівняннях (4.27) і (4.28) однакові ліві частини; отже, однакові й прані, годі

Р&	ТУг ?	а б 0	Р& = РЛ	(4.29)
Рі	Т2
юбто можна записати, що
рУ = С0П5І,		або	}) У ~ СОП8С .	(4.30)

Вираз (430) називається рівнянням Клапейрона:

добуток тиску газу певної маси на його об'єм пропорційний термодинамічній температурі.

Рівняння Клапейрона -Менделєєва

Значення сталої в рівнянні (4.30) залежить від маси і молекуннрної маси газу, а також від вибору одиниць тиску, об'єму і температури Обчислимо цю сталу для речовини, взятої в кількості 1 моль. Як ви-

ни и ває з закону Авогадро, 1 моль будь-якого газу при однакових значеннях
гемиераіури	і тиску має однаковий об'єм. При Т= 273 К	^ =	і
р 1,013 • 105	Па 1 моль будь-якого газу має об'єм У0 = 22,4 -10~3	м3. Підста-

ипшпи ці дані в рівняння (4.30), дістанемо значення константи, яка вхопи ь до нього, причому для 1 моля будь-якого газу це значення однакове.

173

Його називають молярною (універсальною) газовою сталою (позначають /К).

Знайдемо числове значення К в СІ:

рУ0	1,01310	5 Па • 22,4• 10"3 м3 • моль"1	= 8,31 Дж /(моль-К).
Т		273К
Рівняння (1.30) для одного моля газу тепер можна записати так:
		рУ0=ЯТ.		(4.31)
Цей вираз називають рівнянням Клапейрона - Менделєєва.				З рівняння

(4.31) легко дістати рівняння для будь-якої маси газу. Газ масою т займе

об'єм V -У0(т/М), де М - маса 1 моля,	т/М	- кількість молів газу.
Помноживши обидві частини рівняння (1.31) на		т / М, дістанемо
(ІтІМ)У0р = (тІМ)ЯТ.
Але ( т / М ) У 0 - У, отже
рУ = (т/М)ЯТ.		(4.32)
Це і є рівняння Клапейрона - Менделєєва для будь-якої маси газу.
Молярна газова стала
Встановимо тепер фізичний	зміст	молярної газової сталої.

Припустимо, що в циліндрі (рис. 4,17) під поршнем при температурі Те 1 моль газу, об'єм якого У. Нагріємо його ізобарно (/> = сопзі) на 1 К,

при цьому поршень підніметься на висоту Дй , а об'єм газу збільшиться на АУ. Запишемо рівняння (4.31) для нагрітого газу

р(У + АУ) = Я(Т +1)

і віднімемо від цієї рівності рівняннярУ= КТ\ яке відповідає стану газу до нагрівання. Дістанемо

	рАУ = Я.	(4.33)
Підставимо в (4.33) значення АУ ~ 8АН , де площа основи циліндра:
р=сол$і	рЗАН = К.	(4.34)
л	Але р § - Р - сила, а РАН = А ~~ робота по перемі-
АЬ	щенню поршня, яку виконує ця сила проти зовнішніх
• и й м	сил при розширенні газу. Отже,	Я- А, тобто
	молярна газова стала визначається роботою,
	яку виконує 1 моль газу при ізобарному нагрі-
Рис. 4/17	ванні його на 1 К.

174

§49. Температура - міра середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул

Термодинамічна температура

Перейдемо тепер до найважливіших наслідків, які виплива- ють з основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів.

Візьмемо і моль газу, який займає об'єм V, Густина молекул газу "о - NА / V , і рівняння (4,17) можна записати у вигляді

р - ' - ^ У	(4.35)
Ллє для 1 моля правдивим є рівняння стану р¥ = КТ, звідки
5 ^ ЯТ
Р~ у •

Підставивши цей вираз для тиску в рівняння (435) і розв'язавши його підносно Габо (Е), дістанемо перше положення молекулярно-кінетичної теорії:

(4.36)

З рівняння (436) випливає, іцо термодинамічна температура пропорційна середній кінетичній

енергії хаотичного руху молекул газу.

Стала Больдмаїш

Отже, чим швидше рухаються молекули, тим вища температура.

2	К
З рівняння (4.36), оскільки {£')	- = ~Г /для будь-якого газу, випливає
3	МА

<)/ >уге положення молекулярно-кінетпчної теорії газів:

середні кінетичні енергії молекул різних газів при однаковій температурі однакові між собою.

З рівності середніх кінетичних енергій газових молекул випливає, що при перемішуванні різних газів, які мають однакові температури, переважного передавання енергії від молекул, одного газу до молекул іншого не

відбувається.
Величину Я/МА	у рівнянні (4,36) назвали сталою Больцмана, яка

< і азовою сталою, віднесеною до однієї молекули:

175

к =	К	8,31 Дж-моль"1 -К—і		= 1,38-10	•23	Дж/К.
	МА	6,02 • 10~23	моль"1

Отже, вираз (4.36) можна записати у вигляді

(437)

Залежність тиску газу від його концентрації і температури

Підставивши (4.37) у (4.34), знайдемо вираз для тиску газу:

р = п0кТ.	(4.38)
Тиск газу пропорційний добутку кількості молекул	в одиниці
об'єму на його термодинамічну температуру.

Аналіз рівняння (4.37) показує, що при Т = 0К кінетична енергія поступального руху молекул Е = 0, а отже, і Укв = 0. Таким чином,

при Т = 0А" поступально молекули не рухаються.

Але це не означає, що при Т = 0А припиняється рух взагалі. Зберігаються обертальний і коливальний рухи атомів і молекул. За сучасними

уявленнями, при Т = 0К атоми і ще дрібніші частинки мають деяку енергію, яку називають нульовою.

Запишемо тепер формулу (4.37) у такому виг ляді:

звідки середня квадратична швидкість

(4.39)

Звідси випливає третє положення молекулярно-кінетичної теорії:

середня квадратична швидкість молекул пропорційна кореню квадратному з термодинамічної температури.

Отже, знаючи температуру газу, можна знайти середню квадратичну швидкість руху молекул. На основі виразу (4.37) можна дати таке означення температури:

термодинамічна температура з точністю до сталого множника 3/2 к

дорівнює середній кінетичній енергії поступального руху молекули ідеального газу.

176

§ 50. Рівняння Клапейрона - Менделєєва

Рівняння Клапейрона -Менделєєва

Це рівняння можна вивести, використавши залежність тиску і азу під концентрації його молекул і температури (див. (4.38)). Позна-

чивши через п кількість молекул в об'ємі	V газу і беручи до уваги, що
п{) п / V , рівняння (4.38) запишемо у вигляді
рГ = пкТ.	(4.40)

()скільки п для певної маси газу безпосередньо не вимірюється, то рівіімишо (4.40) треба надати зручнішого вигляду. Для цього скористаємось поняттям моля.

Загальна кількість молекул в V молях молекул дорівнює п=уИА. Тому

		рУ -уКТ,	(4.41)
де Н - ШЛ	- молярна газова стала.
Рівняння	(4.41)	називають рівнянням Клапейрона - Менделєєва.
І Іри Т - С0П5І		дістанемо рівняння Бойля - Маріотта, а при	р = СОПБІ -

і;ікон Гей-Люссака.

У багатьох випадках рівняння (4.41) доцільно записувати у вигляді

тп

Короткі висновки

•Згідно з основним положенням молекулярно-кінетичної теорії:

1. Усі тіла складаються з най дрібніших частинок - атомів, молекул. Будова будь-якої речовини дискретна.

2.Атоми і молекули речовини завжди перебувають у безперервному хаотичному русі, який називається тепловим рухом.

3.Між частинками будь-якої речовини діють сили взаємодії - притягання і відштовхування. Ці сили мають електромагнітну природу.

•Макроскопічні тіла складаються з безлічі молекул, маси яких малі, тому маси молекул і їх кількість виражають у відносних одиницях (відносна молекулярна або атомна маса). Кількість речовини виражають у молях.

•Кількість речовини - це відношення числа N молекул (атомів) у певно-

му макроскопічному тілі до числа МА ^6,02 10423 моль""1 ^ атомів в

0,012 кг вуглецю:

N т

МА М

177

/

*Броунівеький рух - це тепловий рух завислих у рідині (або газі) частинок,

*Агрегатний стан речовини визначається співвідношенням між середньою кінетичною І середньою потенціальною енергією взаємодії молекул: у газів середня кінетична енергія, значно більша від абсолютного значення, середньої потенціальної енергії взаємодії молекул, у [рідин вони приблизно однакові, а. в твердих тіл абсолютні значення середньої потенціальної енергії взаємодії молекул значно більші від їх середньої кінетичної енергії,

*Потенціальна енергія взаємодії під час притягання від'ємна.

*Ідеальний газ ~ це модель реального газу, що складається з молекул, розміри і взаємодія між якими дуже малі. Середня кінетична енергія молекул ідеального газу значно більша за середню потенціальну енергію їх. взаємодії,

*Мояекулярно-кшетнчна теорія розглядає шск газу на стінки посудини, в якій він міститься, шк результат ударів молекул об його стінки.

*Тиск газу визначається як 2/3 середньої кінетичної енергії поступального руху всіх молекул, які містяться в одиничному об'ємі газу:

*Температура - це міра середньої кінетичної енергії хаотичного (теплового) руху молекулі

*У фізиці найбільше поширилась абсолютна шкала температур (шкала Кельвіна). Один кельвін дорівнює градусу за шкалою Цельсія.

*Термодинамічні параметри, які характеризують ідеальний газ, пов'я- зані між собою рівнянням Клапейрона - Менделєєва

			1	м
Це рівняння містить у собі як окремі, випадки газові закони;
при	Г = сопзї	р¥ = СОІІВІ		закон Бойяя - Маріотта;
		V
при	р = СОІШ —= с о п - закон Гей-Люссака;
при	V = ссшві	= соїш - закон Шарля,
Запитання для самоконтрошо і повтореним
1. Сформулюйте основні			положення молекулярно-кінешчної теорії.

2, Що таке молекула? 3. Що таке атом? 4. Дайте поняття мікрсь і макросвіту,, 5. Що таке відносна молекулярна маса? 6. Що називається кількістю речовини? Яка її одиниця вимірювання? 7. Який фізичний зміст сталої Авогадро? 8. Чим зумовлений броунівський рух? 9. Що таке дифузія? 10. Який характер залежності сил міжмолекулярної взаємодії від

178

відстані між молекулами? 11. Побудуйте графік залежності потенціальної енергії взаємодії молекул від відстані між ними. 12. Які є агрегатні стани речовини? 13. Якими швидкостями характеризують рух молекул газу? 14. Який газ називають ідеальним? 15. Назвіть параметри стану газу. 16. Що таке тиск газу? Чим він зумовлений? 17. Що розуміють під середньою довжиною вільного пробігу молекул? 18. Дайте поняття вакууму. 19. Напишіть основне рівняння молекулярно-кіне- тичної теорії газів. 20. Що називається термодинамічним процесом? їзопронесом? 21. Сформулюйте закони Бойля - Маріотта, Гей-Люсса- ка, Шарля. 22. Яку температуру називають термодинамічною? 23. Який фізичний зміст мають молярна газова стала і стала Больцмана? 24. Який зв'язок між кінетичною енергією поступального руху молекул газу і його термодинамічною температурою? 25. Виведіть рівняння Клапейрона - Менделєєва з основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії.

Приклади розв'язування задач

Задача 1» Визначити середню квадратичну швидкість молекул газу, густина якого при тиску р - 5 0 кПа становить р =4,1 -10 12 кг/м3.

Дано: /7 = 5-104 Па; р = 4,М0~2 кг/м3. Знайти: (^к в ) .

Розв'язання. За основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії для тиску маємо

де п0 -- кількість молекул в одиниці об'єму; т - маса молекули. Добуток тп0 = р - це густина газу. Тоді

Обчислення:

Задача 2, Яка середня довжина вільного пробігу молекул водню при тиску 1240 мм рт. ст. і і = 7 °С?

Дано: р = 1240-133 Па = 1,65 - ІО5 Па; Г = (273 + 7)К=280К. Знайти: (X).

Розв'язання. Довжину вільного пробігу молекул визначаємо за формулою

( І )

179