Fizika - V. F. Dmitriyeva

пропорційна масі Землі Мф . Тому сила тяжіння прямо пропорційна як масі тіла (ш), так і масі Землі (МФУ Отже, сила притягання прямо пропорційна добутку мас взаємодіючих тіл;

/г _ т . д,/ #

Таким чином, І Ньютон вважав, що рух Місяця навколо Землі, рух планет навколо Сонця - це вільне падіння, яке то-

читься мільярди років. Причиною такого руху є сила всесвітнього тяжіння. Але чому планети не падають на Сонце, а Місяць не падає на Землю?

Місяць не падає на Землю, а планети - на Сонце тому, одо вони рухаються за інерцією. Якби на Місяць не діяла сила притягання Землі, то Місяць, рухаючись за інерцією вздовж прямої лінії, умчав би в безодню космічного простору» Якби припинився рух Місяця за інерцією, він впав би на Землю,. Падіння продовжувалося б, як вирахував І. Ньютон, чотири доби дев'ятнадцять годин п'ятдесят чотири хвилини п'ятдесят сім секунді Вільне падіння і рух за інерцією відбуваються одночасно, тому Місяць рухається за кривою, що близька до кола (рис.. 2.14).

Закон всесвітнього тяжіння

Відкриття закону всесвітнього тяжіння пов'язане з розв'язанням задач динаміки першого типу. Ньютону були відомі закони руху планет навколо Сонця - закони Кеплера. За відомими кінематичними законами руху планет Ньютон визначив силу всесвітнього тяжіння і установив закон всесвітнього тяжіння.

Закон всесвітнього тяжіння є фундаментальним законом природи. Будь-які дві матеріальні, точки взаємодіють з силою, еропорцій-

мою добуткові їж мас і обернено пропорційною квадрату віддалі між ними:

=	(2.17)
	г<-

Коефіцієнт пропорційності О називається гравітаційною сталою, яка визначається експериментально.

Уперше гравітаційну сталу було визначено в 1798 р. англійським вченим Г. К. Кавендішем. Наступні виміряння лише уточнювали її значення.

90

Гравітаційна стала дорівнює модулю сили притягання двох тіл масою по 1 кг кожне, які знаходяться на віддалі 1 м одне від одного:

(17 — 6,67 -10"11 м3 /(кг с2) або £7 = 6,67-10~п Н-м2 /кг2 .

І равітаційні сили, сили притягання напрямлені вздовж прямої, яка і < днує взаємодіючі точки, а тому є центральними силами.

Закон всесвітнього тяжіння є слушним не тільки для матеріальних точок, але й для:

•тіл довільної форми, розміри яких малі у порівнянні з відстанями між їх центрами мас;

•тіл із сферично-симетричним розподілом мас. У цих випадках г - відстань між центрами мас взаємодіючих тіл.

Якщо тіло масою т знаходиться над поверхнею Землі на висоті А, то на нього діє сила земного тяжіння, яка визначається за формулою

тМт	(2.18)

де Мф , Кф - маса і радіус Землі.

1 Іеревірка закону всесвітнього тяжіння в умовах Землі та за допомогою чисельних астрономічних спостережень підтвердила його загальний характер.

Перші прямі вимірювання гравітаційної сталої були виконані Г. Кавендішем приблизно через сто років після відкриття Ньютона. Основу установки становила чутлива кругильна вага (рис. 2.15). На кінцях коромисла ваги було укріплено кульки невеликої маси т{ = т2 і за кутом закручуваності нитки, яка підтримувала коромисло, вимірювалась сила притягання кульок до масивних нерухомих куль М Якщо величини мас та їх розташування відомі, то із співвідношення (2.17) можна обчислити значення константи С.

2.0 /771

Рис. 2Л5

91

—11	Н •м	2	/кг	2	. Зазначимо, що при
Г. Кавендіш знайшов, що О = 6,710"

цьому йому довелось виміряти сили розміром КГ8 -1(Г9 Н . У звичайних умовах на тіла з боку навколишнього середовища завжди діють набагато більші за величиною сили: повітряні потоки, тертя, електричні та магнітні поля тощо. Виміряти на цьому тлі слабке притягання тіл одне до одного з експериментальною технікою XVIII ст. було вельми непросто. У такому сенсі дослід Г. Кавендіша - один з найтонших і блискучих експериментів того часу. Наукове значення цього експерименту важко переоцінити. Вимірювання О перетворило закон тяжіння з якісного співвідношення на потужний розрахунковий інструмент. Кавендіш за результатами свого експерименту вперше обчислив, застосовуючи співвідношення (2.17), середню густину Землі. Як він сам сказав: "Я зважив Землю!"

Завдяки закону всесвітнього тяжіння були відкриті восьма та дев'ята планети Сонячної системи - Нептун (1846 р.) і Плутон (1930 р.).

Сьома планета Сонячної системи - Уран - відкрита англійським астрономом В. Гершелем у 1781 р. Таблицю положень семи планет Сонячної системи було складено на багато років наперед. Через майже 60 років при перевірці даних цієї таблиці виявилось, що табличні і фактичні дані не збігаються. Було зроблено припущення, що розбіжність даних пов'язана з дією на Уран невідомої планети, яка знаходиться від Сонця далі, ніж Уран. Користуючись законом всесвітнього тяжіння і знаючи про розбіжність даних, англійський вчений Дж.-К. Адамс і французький вчений У. Левер'є обчислили положення цієї планети. Левер'є про результати обчислень повідомив німецького астронома Й.-Г. Галле. Під час першого ж спостереження увечері 23 вересня 1846 р. Й.-Г. Галле відкрив ще одну планету Сонячної системи, яку назвали Нептун. Аналогічно було відкрито й дев'яту - найменшу планету Сонячної системи Плутон. Відкриття сталося 14 березня 1930 р.

Закон всесвітнього тяжіння дозволяє обчислювати масу планет і їх супутників, пояснювати явища припливів і відпливів, описувати рухи в зоряних скупченнях - галактиках.

Поширивши цей закон на весь Всесвіт у цілому, І. Ньютон продемонстрував геніальність інтуїції вченого, оскільки співвідношення (2.17) було отримане на підставі закономірностей, слушних у межах однієї Сонячної системи. Тільки в наш час спостереження за далекими зорями і зоряними системами підтвердили загальну слушність і універсальність закону всесвітнього тяжіння.

§ 19. Гравітаційне поле

Гравітаційна взаємодія

Гравітаційна взаємодія - це взаємне притягання матеріальних тіл, яке спостерігається в будь-якому середовищі та вакуумі.

Іранітаційна взаємодія властива всім тілам Всесвіту. Проявляється ця

н»асмодія у вигляді сил всесвітнього тяжіння, які залежать тільки від розміщення тіл одне відносно одного. Гравітаційна взаємодія є далекодійиою, тобто її радіус дії вважається нескінченно великим. Із чотирьох тииїм фундаментальних взаємодій інтенсивність гравітаційної взаємодії найменша, проте вона відіграє важливу роль у Всесвіті тому, що сили тяжіння забезпечують існування планет, планетних систем - Сонячної сис- і еми, зірок, зоряних систем та інших об'єктів Всесвіту.

Рух тіл у гравітаційному полі Землі

Гравітаційне поле - це форма матерії, за допомогою якої ідійснюється гравітаційна взаємодія.

І равітаційне поле Землі - це область Всесвіту, в якій сили притягання, що діють на матеріальні об'єкти з боку Землі, більші за сили притягання, що діють з боку інших космічних тіл.

Траєкторія руху тіл у гравітаційному полі Землі залежить від початконих умов.

Якщо початкова швидкість У0 тіла, піднятого на висоту Н над поверх- нею Землі, напрямлена перпендикулярно до осі X, тобто за лінією дії грамі гаційної сили (рис. 2.16)

(Яф+к)2

і о, згідно з другим законом Ньютона, ця сила надає тілу прискорення а, напрямлене, як і сила Р, до центра Землі:

та - С- тМа

(Дф+ЛГ

звідки

Рис. 2Л6

а= С

ІІоблизу поверхні ЗЄХМЛІ (к<^Я@ ) прискорення а дорівнює прискоренню вільного падіння

а= С——; а = §==соп5і.

Яе

93

Тіла, що знаходяться в гравітаційному полі Землі, поблизу її поверхні рівноприскорено рухаються за прямою до її центру (вільно падають) з прискоренням вільного падіння

		8 = 0		^ .		(2.19)
При будь-яких к «с		прискорення є функцією г = К + к:
	8 = 0	(Я т +Н)		; 8 = 0 - ? - .		(2.20)
			2		г2

Із формул (2.19) і (2.20) випливає, що прискорення вільного падіння не залежить від маси надаючого тіла - ш, а визначається масою Землі Мф - масою тіла, яке створює гравітаційне поле (джерела поля), та взаємним розміщенням взаємодіючих тіл.

Прискорення вільного падіння тіл на Місяці £ = 1,6 м/с2. Поблизу поверхні планет їх гравітаційне прискорення залежить, як випливає з формули (2.19), від їх маси та радіуса.

Нижче наведено значення гравітаційних прискорень планет Сонячної системи поблизу їх поверхні.

Гравітаційні прискорення планет

Планета	8, М/с2	Планета	8» м/с2
Меркурій	3,7	Сатурн	12
Венера	8,9	Уран	11
Марс	3,7	Нептун	12
Юпітер	26	Плутон	2

Підставивши формулу (2.20) в (2.18), визначимо силу тяжіння
¥ = т%.	(2.21)
Якщо початкова швидкість У0 тіла, піднятого на висоту к над поверх-
нею Землі, напрямлена горизонтально, тобто	вздовж осі X, то рух тіла

буде складним. Він складатиметься з двох незалежних рухів: вільного

падіння та прямолінійного і рівномірного зі швидкістю				У0 = сопзі	вздовж
осі X. Траєкторія руху - крива лінія (див. рис. 2.16). Чим більше					У0 , тим
далі від місця "кидання" приземляється			тіло. При	певній швидкості
V0 =V^ тіло не повертається на Землю. Швидкість				називається пер-
шою космічною швидкістю.
Перша космічна	швидкість	г\ - це мінімальна швидкість, яку			треба
надати тілу, щоб	воно перетворилося на		супутник Землі і рухалось ко-
лом, площина якого	проходить	через центр	Землі.

94

Коли супутник Землі рухається колом радіуса Яф+к, на нього діє грані гацінна сила

І [я сила надає супутникові нормальне - доцентрове прискоренні

V,2 Кф 4"Н

За другим законом Ньютона

т- У7 • = О- тМт

т

('коротивши обидві частини рівності на Ят+к , дістанемо

V, Ма.

Якщо супутник запускається і Землі (А = 0), то перша кос-

мічна швидкістьф

ь\ щ

Згідно з		(2,19)			Я2
іому
	VI			-	(2.22)
ї',	=>/9,8	м/с2 •6,4-106м «
	- 7,9 * 103м/с » 7,9 км/с,
Якщо швидкість запуску біль-
ні.і	за першу космічну
ллє	менша	за	другу	космічну,
і о	і раєкторія		руху	є	еліпсом,
плин І фокусів якого збігається
і центром Землі (рис. 2.17).						Рис, 2Л7

95

1

Планети - супутники Сонця. Вони рухаються еліптичними орбітами; в одному з фокусів еліпса знаходиться Сонце. Орбіти планет лежать приблизно в одній площині.

§ 20. Сила тяжіння. Вага

Прискорення вільного падіння і сила тяжіння

Вимірювання прискорення вільного падіння в різних точках земної поверхні показують, що його числове значення й напрям залежать від широти місцевості. Максимального значення прискорення вільного падіння набуває на полюсах - £ т а х » 9,83 м/с2, мінімального значення - £ггап « 9,78 м/с2 - на екваторі. Крім того, прискорення вільного падіння в усіх точках земної поверхні, крім полюсів і екватора, не напрямлене точно до центра Землі. Це пов'язано з тим, що:

•Земля має форму геоїда, а не кулі, тобто "сплюснута" біля полюсів;

•Земля обертається навколо своєї осі.

Розглянемо тіло, що знаходиться в довільній точці В поверхні Землі. У точці В, яка знаходиться на широті ер, на нерухомій відносно Землі

підставці лежить тіло (рис. 2.18). На це тіло діють дві сили: сила притягання Рс і сила реакції земної поверхні (або сила реакції опори) ТУ, напрям якої визначається не тільки силою притягання, але також обертанням Землі. Рівнодійна Р цих двох сил забезпечує рух тіла колом з центром О' при добовому обертальному русі Землі навколо осі.

Сила тяжіння Е ^ . - сила, що діє

на тіло внаслідок його земного тяжіння, рівна за модулем силі реакції ТУ, але напрямлена протилежно їй.

Сила тяжіння дорівнює добуткові маси тіла на прискорення вільного падіння і прикладена ця сила до тіла:

Ртяж=т8'

(2-23)

З рис. 2.17 видно, що сили Ес і ЕТЯЖ збігаються за напрямом, якщо точка В знаходиться на полюсі або екваторі. Якщо точка В знаходиться на одному з полюсів, то вона не бере участі в добовому обертальному русі Землі. Точки земної поверхні, які лежать на екваторі, рухаються колом, радіус якого максимальний і дорівнює радіусу Землі.

96

Вага тіла. Невагомість

Вага тіла Р - сила, з якою тіло внаслідок притягання до ісмлі діє на опору або підвіс, які утримують його від вільного падіння.

Вага тіла прикладена не до тіла, а до опори чи підвісу.

Вага тіла чисельно дорівнює діючій на тіло силі тяжіння тільки в тому ра ІІ, коли опора чи підвіс знаходяться в спокої відносно Землі або в стані рівномірного прямолінійного руху, тобто а = 0. Якщо ж підвіс або опора рухаються з прискоренням, то вага тіла може буги як більшою, так і меншою за силу тяжіння.

Рис. 2.19

Нехай, наприклад, хлопчик масою т знаходиться в ліфті (рис. 2.19).

11 а нього діють напрямлена вертикально вниз сила тяжіння

і напрям-

лена вертикально вверх сила реакції опори N (на рисунку не показані). Якщо ліфт підіймається з прискоренням а (випадок 2), то рівняння руху

дитини в проекції на вісь ОУ - = та , звідки

= т + а).

За третім законом Ньютона з такою самою за значенням силою |Р2| = | тіло давить на підлогу ліфта. Іншими словами, вага дитини в системі відліку "ліфт" дорівнює Р2 = т(§ + а), тобто є більшою за силу тяжіння. В цьому разі хлопчик перебуває в стані перевантаження. (Великі перевантаження зазнають космонавти під час старту і посадки космічних кораблів.)

Якщо ліфт опускається з прискоренням -а (випадок 3), то рівняння

руху дитини М3 - т£ = -та , звідки

= т(% - а). Дитина давить на під-

логу з силою 1^1 = І^з |, тобто її вага в системі "ліфт" менша за силу тяжіння. При вільному падінні ліфта (а = §) вага дитини дорівнює нулеві. У цьому разі вона знаходиться в стані невагомості.

4 Фізика

97

Невагомість - це стан, у якому тіло рухається під дією тільки сили тяжіння.

Вусіх розглядуваних випадках сила тяжіння ЕТЦЖ = пг§.

Устані невагомості знаходяться всі предмети в космічному кораблісупутнику, коли припиняється робота двигуна і на корабель діє тільки сила притягання до Землі. Не можна говорити про вагу Місяця, Землі та інших планет Сонячної системи. Космічні об'єкти характеризуються масою.

§ 21. Способи вимірювання маси тіла

Узаконах І. Ньютона маса тіла є мірою його інертності.

Взаконі всесвітнього тяжіння маса характеризує ще одну властивість тіл їх здатність взаємодіяти з іншими тілами. У цих випадках маса виступає як міра гравітації, або міра тяжіння, і її називають гравітаційною масою

Схематично все викладене у цьому параграфі показано на рис. 2.20.

У сучасній фізиці з високим ступенем точності установлена тотожність значень інертної та гравітаційної мас даного тіла. Експериментальна перевірка рівності інертної та гравітаційної мас була проведена в 1896 р. угорським фізиком Етвешем; точність вимірювань становила 1 0 . Радянський фізик Брагинський у 1971 р. виконав вимірювання з точністю 10 12.

Найбільш загальний спосіб вимірювання маси тіл - за їх інертністю. Якщо тіло невідомої маси (тх ) взаємодіє з тілом, масу якого умов-

но взято за одиницю (еталон маси тс ), то внаслідок взаємодії тіла набудуть

Рис. 2.20

98

прискорення ах і ас. Вимірявши прискорення
<ік невідомої маси та прискорення ас еталона
. .	ар	тл.
маси, зі співвідношень	—- = —- дістанемо
	ск
-
11,сй спосіб вимірювання маси ґрунтуєть-			тед
ся на одночасному застосуванні другого та			Рис. 2.21
іретього законів Ньютона.

На практиці й у фізичних експериментах масу виміряють за допомогою важільних терезів.

Рівнораменні важільні терези знаходяться в рівновазі за умови (рис. 2.21) % = тх£, звідки випливає те = тх , оскільки прискорення вільного па-

діння в місцях знаходження обох сил однакове.

11,сй спосіб вимірювання маси тіл ґрунтується на застосуванні закону всесвітнього тяжіння, другого та третього законів Ньютона, умови рівноваги гіла, яке має вісь обертання.

§ 22. Сили в механіці

Сила тертя

Сила тертя - це сила, яка виникає при стиканні поверхонь тіл і перешкоджає їх відносному переміщенню в площині дотику.

Розрізняють сили тертя спокою ГТ СП, сили тертя ковзання Рт кою , сили

і сртя кочення Гткоч. Для одних і тих самих поверхонь Ртсп > Ртковз > /7ТК0Ч . ( или тертя мають електромагнітну природу і залежать від швидкості руху тіл відносно одно одне. Розв'язуючи задачі динаміки, частіше доводиться мати справу з тертям ковзання, яке виникає при відносному переміщенні стичних тіл. Сила тертя ковзання Рт к о т *, що виникає при

цьому, завжди напрямлена в бік, протилежний відносній швидкості 11 ичних тіл, і залежить від сили нормального тиску ТУ:

(2.24)

Сила нормального тиску N завжди перпендикулярна до поверхні, по якій рухається тіло. У випадку руху по горизонтальній поверхні /V = пщ,

ю м у = \\1П£ .

Ф Далі Рт ковз позначатимемо Р .

І

99