Fizika - V. F. Dmitriyeva

і	ІО
1
1Рпо=0
і	АЦ	Еп		і
шшюІ
		\ Стиск	Розтяг і
	&І2
1	4>
	Ріпр=-/сД22
				АІ X
	Рис. 3.14	Ряс. 3.15

Початок відліку потенціальної енергії (£п =0) відповідає такому стану системи, в якому сили пружної взаємодії дорівнюють нулю (/^р =0,

1-І,,

А / - 0 ) .

Графік залежності потенціальної енергії Еп деформованого тіла від подовження наведений на рис. 3.15 і являє собою параболу. Початок координат відповідає положенню рівноваги: Д / ~ 0 ; Еп = 0. Права гілка відображує змінення потенціальної енергії при розтягу, А/ > 0, оскільки / > /0. Ліва гілка відображує змінення потенціальної енергії при стиску, АІ < 0, оскільки / < /0 .

§ 31. Закон збереження механічної енергії

Повна межа вічна енергія

Механічна енергія Е є мірою механічного руху та взаємодії тіл і залежить від швидкостей і взаємного розташування тіл.

Повна механічна енергія системи тіл - це сума кінетичної і потенціальної енергії всіх тіл, які входять до системи:

Е = ЕК+ЕП.

(329)

Залежно від сил, діючих на тіла, які входять до системи, системи тіл поділяють на консервативні та неконсервативні.

130

( истема тіл є консервативною, якщо внутрішні та зовнішні сили, що діють на тіла системи, є потенціальними, наприклад гравітаційними або пружними силами.

("истема тіл є неконсервативиою, якщо поряд із потенціальними діти» і непотенціальні сили, наприклад сили тертя.

Припустимо, система тіл є замкненою і консервативною. Застосуємо до цієї системи тіл теорему про кінетичну енергію [див. формулу (3.22)]

АА=ЕК2-ЕКІ,

де АА - робота потенціальних сил; вона дорівнює спаданню потенціальної енергії [див. формулу (3.23)]

	АА = ЕП1-ЕВ2-
отже,
Еп\-Еп2	= ЕК2~ЕКІ^6°	ЕП\ Ек\ ~~ Еп2 4£,к2'
Враховуючи, що	ЕП1 + ЕК] -ЕХ	- механічна енергія системи в почат-

ковому стані, а ЕП2 + ЕК2 = Е7 — механічна енергія системи в кінцевому стані, дістанемо

Е1=Е2, або Е = СОПЗІ.

(3.30)

Формула (3.30) виражає закон збереження механічної енергії.

Повна механічна енергія замкненої консервативної системи не імінюється, тобто зберігається.

Закон збереження механічної енергії є слушним і для незамкнених консервативних систем, оскільки в теоремі про кінетичну енергію АА - цс робота всіх сил, діючих на систему тіл.

Припустимо, система тіл є неконсервативиою.

У такому разі роботу сил, діючих на систему, можна подати як суму робіт потенціальних ААП і непотенціальних ААНП сил. Застосувавши теорему про кінетичну енергію, дістанемо

£ К 1 - £ К 2 = М , + М , Г Г

Враховуючи, що ААП = ЕП1 - ЕП2, вираз набере вигляду

Перетворивши отриманий вираз, матимемо

(ЕК2+ЕП2)-(ЕКІ+ЕПІ)=ААНП.

131

Врахувавши, що Ек? + Еп2 = Е2,а Ек1 + Еп1 = Ех, отримаємо

(3.31)

Зміна повної механічної енергії системи дорівнює роботі внутрішніх непотенціальних сил. Візьмемо, наприклад, замкнену систему, в якій поряд із потенціальними силами діють і сили тертя. Робота сил тертя в рухомій системі зменшує її кінетичну енергію, а отже, механічна енергія системи зменшується, переходячи в енергію інших немеханічних форм руху матерії.

Закон збереження енергії - це універсальний принцип природи.

§ 32, Закони збереження - фундаментальні закони природи

Закони збереження дають змогу розв'язувати ряд складних задач без розгляду діючих на тіло сил і без простежування руху системи тіл. До таких задач, наприклад, належать задачі про зіткнення тіл. Застосування законів збереження спрощує розв'язання багатьох механічних задач.

Закони збереження, відкриті в механіці, виходять далеко за її межі. В тих випадках, коли закони Ньютона незастосовні, наприклад для описання руху електронів у атомі, закони збереження механічних величин не втрачають свого значення. Механічні величини - маса, імпульс, енергія - є загальними в фізиці.

Закони збереження "працюють" у мікро-, макрота мегасвіті, тобто застосовні до систем усіх матеріальних об'єктів незалежно від їх розмірів: елементарних частинок, макротіл (звичайних для нас розмірів) і до космічних тіл. Закони збереження відіграють центральну роль у фізиці.

Закони збереження дозволяють робити нові відкриття. В потужності законів збереження можна переконатися на прикладі передрікання на їх основі вражаючої елементарної частинки - нейтрино. За сучасними уявленнями нейтрино не мають маси спокою, нейтральні - їх електричний заряд дорівнює нулю, вони рухаються зі швидкістю світла і мають величезну проникну здатність. Земля для нейтрино просто прозора. Гіпотезу про існування нейтрино на підставі закону збереження енергії висловив у 1930 р. швейцарський фізик В. П. ІІаулі (1900-1958). Експериментальне відкриття нейтрино здійснилося через 26 років і було пов'язане з появою потужних джерел нейтрино-ядерних реакторів.

Закони збереження - фундаментальні закони природи - пов'язані з однорідністю часу, однорідністю та ізотропністю простору.

132

§33. Симетрія і закони збереження

Поняття симетрії

Красота - один із критеріїв, якими характеризуються багато речей, явищ, закономірностей.

Красота закону - одна з ознак його досконалості. Недарма фундамен- І.ІЛЬІІІ співвідношення фізики такі лаконічні.

Що таке симетрія? Інтуїтивно це розуміють усі, якщо мати на увазі симетрію предметів. Німецький математик Герман Вейль дав таке озна-

ч е н н я : предмет симетричний, якщо він не змінює свого зовнішнього

ииі ляду після усяких просторових операцій.

Французьким математиком А. Пуанкаре вперше було поставлене пиіання про симетрію законів фізики. Він шукав такі класи просторовочаеових перетворень, які лишають рівняння фізики у незмінному або ін~ наріантному* вигляді. В 1918 р. була опублікована праця німецького маіематика Е. Нетер, в якій вона довела наявність зв'язку між симетрією та під повідним законом збереження.

Деякі типи фундаментальних симетрій у фізиці

Перенесення в просторі. Незалежність властивостей ізольо- в а н о ю фізичного об'єкта від його місцеположення у вільному просторі є проявом однорідності самого простору. Наприклад, властивості атома за інших рівних умов мають бути однакові в усіх куточках Всесвіту, як на іемлі, так і на інших планетах. Симетрична операція перенесення в просюрі супроводжується збереженням імпульсу замкненої системи.

Закон збереження імпульсу пов'язаний з однорідністю простору.

"Зсув" у часі. Ця операція означає, що час однорідний по відношенню ю ізольованого фізичного об'єкта. Наприклад, проводячи дослідження, вчені вважають, що властивості атомів мільярди років тому були такі самі, як і зараз. Це твердження дає змогу описувати історію "народження" і розвитку Всесвіту. Симетрія "зсув" у часі - однорідність часу - веде до іоереження енергії фізичної системи. Це є слушним не тільки для систем, які знаходяться у вільному просторі, але й для систем, які знаходяться в ювпішніх постійних (що не залежать від часу) полях.

Закон збереження енергії пов'язаний з однорідністю часу.

Перехід від однієї інерціальної системи відліку до іншої інерціальної сні-геми відліку. В інерціальних системах відліку вільні об'єкти рухаються рівномірно і прямолінійно. Інерціальних систем відліку можна вибрати

'Інваріанти (від лат. іпуагіапз - незмінний) - сталі величини, що не змінюються в процесі

•ИПІІІОЦІЇ системи.

133

тіл за

	Розглянемо як приклад абсолю-		т о 2
	цій непружного удару	зіткнення		М*
	платформи з піском М,	яка руха-
	« гься зі швидкістю у}, та ядра т,		д
	що летить зі швидкістю	У2. Після		Рис.3.16

неп грального непружного удару (ядро застряло в піску) їх загальна швидкість дорівнює І/ (рис. 3.16). Визначимо її.

І і>і система неконсервативна і незамкнена, проте для неї виконується ілкон збереження проекції імпульсу на вісь X, оскільки в даному напрямку на тіла не діють сили:

МУХх + тги2х		= (М + т)і/х,
або з урахуванням напряму векторів		У2 та ОСІ X
МУх + ту2		= (М + т)і!\
ІІПДКИ
І/:	МУх	4 ту2	(3.32)
	М + т
Швидкість системи ( М + т )	після непружного зіткнення II		співнап-

римлена зі швидкостями V, і У2, Під час непружних співударянь відбуиамься зміна механічної, в даному разі - кінетичної, енергії системи, оскільки при ударі між тілами діють непотенціальні сили:

(М + т)Ц2		„	- _	Му*	о.	ту]
£КІ '	- • £
		к2
Мух	+ ту,
Враховуючи, що и = — —	~ , дістанемо
М + т
АЕ. = М + т	Мг\ + тУ2			Мгк		таї
	М + т
АЕгк2	Мт		{Г} Ї			(3.33)
	2(М +	т)

Знак "мінус" показує зменшення кінетичної енергії; оскільки АЕК <0,

юЕК2<ЕКХ.

135

Абсолютно пружний удар

До абсолютно пружних ударів можна віднести зіткнення більярдних куль, удар шайби об штангу воріт при грі в хокей, зіткнення багатьох елементарних частинок. Розглянемо центральне співударяння двох куль з масами шх і т2, що рухаються поступально вздовж осі X зі

швидкостями

і У2 (рис. 3.17). Визначимо швидкість куль 1/х та 1/2

після центрального пружного удару.

Для цієї системи тіл виконується закон збереження проекції імпульсу на вісь X- 3 урахуванням напряму векторів V,, У2 та осі X (див. рис. 3.17) закон збереження імпульсу запишемо так:

тхУх + т-р2 - тР\ + тг&2 -

Система куль консервативна, тому до неї застосовний закон збереження механічної енергії у вигляді

	2 2 _	тХІ,	, ЩЩ
		і^і
2	2	2	2

Розв'язуючи сумісно рівняння, котрі виражають закони збереження

імпульсу та енергії, дістаємо
ТТ	-	_{щ-щ)Ух+2щУ2	тг	_(т2-тх)у2+2тхух	(3.34)
СУ1		_	' 2 - —	т{ + т2
		т1 + т2

Розглянемо окремі розв'язання цієї системи рівнянь.

• Нехай одне з тіл до удару знаходиться в стані спокою. Наприклад, на хокейному майданчику в штангу воріт масою М влучає шайба масою т, яка летить зі швидкістю . Визначимо швидкість шайби ІІХ та швидкість воріт після пружного удару шайби об штангу воріт.

У цьому разі система рівнянь, що виражають закон збереження імпульсу і закон збереження енергії, матиме вигляд

тух+0 = т1/х +Ми2;

ПЮ7 тії:	ми;
2	2
	Члени рівняння, що характери-
	зують шайбу, перенесемо вліво:
	ШУх -тІ]х - МУ2;
ШШШШШШШЯПГ	ті). ті]} МЩ
Рис. 3.17

136

Мішссемо спільний множник т і друге рівняння помножимо на два:

\т(і)х -[/,)	= М(У2;
\т(і>] -11	= М1122.

І Іерепишемо перше рівняння без змін, а друге рівняння иочленно розіпнімо на перше; отримаємо

Підставивши знайдене значення £/2 в перше рівняння, дістанемо

іи(г;1-£/1) = М(г;1+£/,)•

Розкриємо дужки:

- т и\ = Мі^ + МЦ .

і Ісренесемо члени, які містять 17], вліво:

- М171	=	- тг\
		?
ІНІДКИ
— ( т + м )	= ( М	-

{ отриманої рівності визначаємо швидкість шайби після удару об штангу:

ТТМ -т

М+ т

Знак "мінус" показує, що швидкості шайби до і після удару протилеж-

но напрямлені	Т4 II,) .
Підставивши	формулу (3.35) в раніше отримане співвідношення

V | ь (У, = IIг , визначимо швидкість воріт після удару шайби об штангу:

М + т

111видкість воріт і швидкість шайби до удару співнапрямлені ( У1 ТТ ІІ 2 ) . V випадку, коли М » т , як, наприклад, при ударі тенісного м'яча

(т)об стінку (М), із формули (3.35) випливає, що

ТТМ

М

137

		тобто швидкість	тенісного м'яча
		після удару об стінку дорівнює за
		модулем його швидкості до удару,
		але протилежно їй напрямлена:
			V , П і ; , .
2Д	у >0	Якщо М = т	(наприклад, дві
	І	більярдні кулі, одна з яких руха-
	„ _	ється зі швидкістю V*, а інша пе-
	Рис. 3.18		1

ребуває у стані спокою), з формул (335) і (3.36) випливає, що при центральному пружному ударі (в більярді називається "щиголь") швидкість першої кулі Ь\ = 0, швидкість другої кулі II2 ~УХ. У разі щигля перша куля зупиняється, а друга, що раніше знаходилася в спокої, почне рухатися в напряму руху першої кулі зі швидкістю

Внаслідок удару кулі "обмінюються" швидкостями (рис. 3,18).

Друга космічна ШВИДКІСТЬ

Друга космічна швидкість - це найменша швидкість, яку треба надати тілу, щоб воно, подолавши гравітаційне тяжіння Землі (Венерн, Марса, Місяцяабо іншого космічного тіла), віддалилося від неї на нескінченно велику відстань.

Визначимо другу космічну швидкість глп ракети масою т, що стартувала з Землі (МФ ). Поблизу поверхні Землі механічна енергія ракети, що стартувала зі швидкістю , дорівнює

В міру віддалення ракети від Землі її потенціальна енергія збільшуватиметься, а кінетична - зменшуватиметься. В точці, що знаходиться на відстані г від центра Землі, механічна енергія ракети, котра рухається зі

швидкістю V < ,
	_ _ 2		г	'
На підставі закону збереження енергії
і*ю\ _	=	ш * 2	„ 0	тМФ
2	і?ф '	2		г

138

Ракета долає гравітаційне притягання Землі, якщо потенціальна енер- і іч взаємодії з Землею Еп-> 0 , тобто

	, тМа --> 0 при г —> оо .
V цьому разі закон збереження енергії має вигляд
		>1		0*пМт			та2
							2
Швидкість	з якою ракета під час запуску подолає гравітаційну
	VП	[Ш>ІЛ.І ® ,
н іа< МОДІЮ 3 Землею,
				с	т М			2Л
		V > 4			^		2
Швидкість	буде мінімальною,						тобто		космічною		швидкістю
якщо підкореневий вираз матиме мінімальне значення, тобто
/ш' - = 0; тоді
		Уп = .			12 ОМа						(3.37)
	2-6,67-10"ІІ									і л 3	,
у =		Н-м2 /кг2 -6-Ю2 4 кг
	—						——		« 11,2-10		м/с.
V		6,4-10			м
		М т
їа формулою (2.22) £ = 0—~~, а тому
							•				(3.38)

Враховуючи, що перша космічна швидкість [див. формулу (2.35)]

/'і	, друга космічна швидкість більша за першу космічну в ^[2 раз,
або	і 1 , 4 1 1 ^ , ^н = >/2їУг.

11 ижче наведено значення другої космічної швидкості для планет зем~ мої групи.

іиачення другої космічної швидкості

Планета	км/с		Планета	Уіь км/с
Меркурій		Земля		11,2
Неї і ера	10,3	Марс		5,0

139