Fizika - V. F. Dmitriyeva

СО	Отже,
Аф	V= ГСО .	(1.65)
	Співвідношення (1.65) пов'язує	модулі
	миттєвих лінійної та кугової швидкостей обер-
	тової точки.
	Вектор миттєвої лінійної швидкості дорівнює
Рис. 1.41	векторномудобутку векторів 0) і г (рис. 1.41):
	у = [со г] .	(1.66)
Модуль векторного добутку дорівнює
	V = 0)Г5ІН (СОГ) .
		71
Як бачимо з рис. 1.41, кут між векторами со і г дорівнює		тому

5Іп(шг) = 1, тобто отриманий вираз збігається з виразом (1.60).

Кутове прискорення

Кутове прискорення (є) - векторна величина, що характеризує швидкість змінення кутової швидкості.

Уразі рівномірного обертання со = сопзі, тобто кутова швидкість не змінюється, тому £ = 0 .

Уразі нерівномірного обертального руху матеріальної точки кутова швидкість її ш у часі змінюється.

Середнє кутове прискорення < £ > - фізична величина, яка дорівнює відношенню зміни кутової швидкості (Асо = со-ш0) до тривалості проміжку часу (Аі = / - і0), протягом якого ця зміна відбулася:

< £ > = -	со — СОп		Дсо				(1.67)
			= _ .
	і-і0		Аі
Миттєве кутове прискорення г		- фізична величина, що дорівнює гра-
ниці, до якої прямує середнє кутове прискорення < £ >							при наближенні
проміжку часу А і до нуля ( Аі -> 0):
£ = І і т < £ > =		І і т	Асо	=	Ао	.	_
			А і		сіі		(1.68)
дг-->о		д/->о

Кутове прискорення є - векторна величина, яка дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом. Отже, кутове прискорення -- це швидкість змінення кутової швидкості.

Якщо в обертальному русі тіла г = соші, то такий рух називають рівнозмінним обертанням..

60

			Рис. 1.42
Якщо	</со	А	кутова швидкість	зростає - рух рівноприекорении
	є — — > 0 ,
	(ІІ
(рис. 1.42, а).			.	.	.
Якщо	(і(х)
	є = — < 0, кутова швидкість зменшується - рух рівносповільне-
	сіі

ний (рис. 1.42, б).

Коли тіло обертається навколо нерухомої точки, напрям вектора со юерігається. Вектор є збігається за напрямом з вектором со у разі прискореного обертання (є > 0) і протилежний йому за напрямом у разі сповільненого обертання (£ < 0 ) (див. рис. 1.42, а, б).

Одиниця кутового прискорення - радіан на секунду в квадраті (рад/с2).

Радіан на секунду в квадраті дорівнює кутовому прискоренню рівноприскорено обертової матеріальної точки, при якому за час 1 с кутова швидкість точки змінюється на 1 рад/с.

Із зміною кутової швидкості змінюється і її лінійна швидкість. Зміна лінійної швидкості за напрямом характеризує нормальне прискорення, яке [див. формулу (1.62)] залежить від кутової швидкості і не залежить від кутового прискорення.

Зміна величини лінійної швидкості характеризує тангенціальне при-

скорення:
	(IV
а. = —
1	(іі
або, враховуючи, що V = сог , дістанемо
ах=ге.		(1.69)

Співвідношення (1.69) зв'язує модулі миттєвого тангенціального і кутового прискорень обертової точки. Модуль тангенціального прискорення точки, що рухається колом, дорівнює добутку модуля кутового прискорення на радіус кола. З формули (1.69) випливає, що чим більший радіус кола, тим більше тангенціальне прискорення.

61

При рівногірискореному обертанні кутова швидкість у довільний мо-

мент часу	як випливає з рівняння (1.69), визначається за формулою
	ш = е > 0 + £ ( / - / 0 ) .	(1.70)
Якщо	при і0 = 0 початкова кутова швидкість	тіла со0, то рівняння
(1.70) має вигляд
	0) = (00 +Е/ .	(1.71)
Якщо при і 0 = 0 початкова кутова швидкість со0		= 0 , то
	е> = £ / .	(1.72)

Короткі висновки

•Кінематика - розділ механіки, який вивчає рух тіл без урахування чинників, що призводять до нього.

•Механічний рух - змінення взаємного положення тіл або їх частин у просторі протягом часу.

Механічний рух відбувається в просторі та часі. Просторово-часовий опис руху можливий тільки тоді, коли вибрано певну систему відліку ,

•Система відліку - сукупність тіла відліку, пов'язаної з ним системи координат та синхронізованих між собою годинників.

Дня описування механічного руху найбільш зручною є інерціальна система відліку, оскільки в ній закони механіки мають найпростіший вигляд.

У класичній механіці просторові та часу приписують абсолютний характер; лінійні масштаби і проміжки часу залишаються незмінними у разі переходу від однієї системи відліку до іншої, тобто не залежать від вибору системи відліку.

® Матеріальна точка - тіло, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати. За матеріальну точку, наприклад, вважають Землю, розглядаючи її рух навколо Сонця.

•Тверде тіло - система матеріальних точок, відстань між якими не змінюється в процесі руху.

•Положення рухомої точки М (або тіла) звичайно розглядається в декартовій (прямокутній) системі координат. У даний момент часу воно визначається трьома просторовими координатами (х, у, і) або радіусом-векто- ром г, проведеним з початку системи координат до точки М(див. рис. 1.1).

« Траєкторія - лінія, що описується в просторі рухомою матеріальною точкою (або тілом). За формою траєкторії механічний рух класифікується як прямолінійний і криволінійний. Траєкторія даного механічного руху в різних системах відліку може мати різну форму.

•Довжина шляху 5 - сума довжин усіх ділянок траєкторій, що пройдені матеріальною точкою за розглядуваний проміжок часу. Довжина шляху - величина скалярна.

Довжина шляху вимірюється в метрах (м).

•Переміщення Аг - вектор, проведений з початкового в кінцеве положення рухомої матеріальної точки.

62

Рух тіла поступальний, якщо будь-яка пряма, що сполучає дві будь-які точки тіла, залишається в процесі руху паралельною самій собі. Прямолінійний рух ~ рух, траєкторія якого в даній системі відліку є прямою лінією» У прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною

ділянкою траєкторії і модуль переміщення І Дг| дорівнює пройденому шляху М:

| Д г | = Д 5 .

Середня швидкість < V > на ділянці' траєкторії М дорівнює відношенню довжини цієї ділянки до часу АІ, за який пройдено цю ділянку:

М

Аі

Середня швидкість залежить від вибору ділянки траєкторії. За значенням середньої швидкості на певній ділянці не можна визначити переміщення тіла за весь час руху.

Миттєва швидкість V - векторна величина, що дорівнює першій похідній за часом від радіуса-вектора розглядуваної матеріальної точки:

сіг У " сії '

Вектор .швидкості завжди напрямлений вздовж дотичної до траєкторії

руху

Рівномірний рух. ~ рух, коли швидкість лишається сталою за модулем і напрямом, тобто V - соп зі:

д: = дг0+і#; 8-VI,

Прискорення а - векторно величина, що дорівнює першій похідній за часом від швидкості розглядуваної матеріальної точки:

сі\

—ЗР

Прискорення а має дві взаємно перпендикулярні складові: а, - тангенціальне або дотичне прискорення, а„ - нормальне або доцентрове при-

скорення.

Тангенціальне прискорення ат напрямлене вздовж дотичної до траєкторії руху, визначає швидкість змінення модуля швидкості, Модуль тангенціального прискорення дорівнює похідній за часом від модуля швидкості:

(IV

Нормальне прискорення а,? характеризує змінення швидкості за напрямом і напрямлене за нормаллю до траєкторії до центру її кривини. Модуль нормального прискорення залежить від швидкості точки і радіуса К кривини траєкторії:

Vі

а"п =Я—.

63

Рівнозмінний рух - рух зі сталим прискоренням: а = соп5{;

х = х	,	а і 2	, аі2
	0 +	і	5 = іу±-у; У = 1 >0±аІ.

Якщо а > 0 , то рух рівноприскорений. Якщо а < 0 , то рух рівносповільнений.

Окремим випадком рівноприскореного прямолінійного руху є вільне падіння тіл з висоти к з прискоренням § (прискорення вільного падіння):

V = V0 + 2^; к = + Є/2

Прискорення вільного падіння - прискорення, з яким падають усі тіла на Землю незалежно від їх маси за відсутності сил опору повітря.

В обертальному русі твердого тіла всі його точки описують кола, центри яких лежать на одній прямій - осі обертання.

Кутове переміщення с!ц> - кут повороту радіуса-вектора за час сії. Точки, що знаходяться на різній відстані г від осі обертання, за однакові проміжки часу проходять різні шляхи:

33 = г</ср.

Кутова швидкість ю - векторна величина, модуль якої дорівнює першій похідній за часом від кута повороту радіуса-вектора:

сіср

оз = —11.

сії

Вектор со напрямлений вздовж осі обертання, його напрям визначають за правилом правого гвинта.

Обертальний рух є рівномірним, якщо со = сопзі.

Період обертання Т - час одного повного повороту тіла навкруг осі обертання.

Одиниця періоду - секунда (с).

Частота V - число обертів, яке здійснює тіло за одиницю часу:

Т '

За один період кут повороту радіуса-вектора точки дорівнює 2п рад, тому 2тг = соТ , звідки

2тг _ со = — = 2тсу .

Т

Кутове прискорення є - векторна величина, модуль якої дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості:

(ІСО

є = — .

сії

Вектор кутового прискорення напрямлений вздовж осі обертання.

У прискореному обертанні напрями векторів є і со збігаються, у сповільненому - мають протилежні напрями.

В обертальному русі всі точки твердого тіла в даний момент часу мають однакову кутову швидкість і однакове кутове прискорення.

Лінійні характеристики - переміщення, швидкість, прискорення - різні для різних точок твердого тіла.

Лінійні та кутові характеристики пов'язані між собою співвідношеннями А£ = г • Аф; V = гоа; ах = ге.

Запитання для самоконтролю і повторення

1. Який рух називається механічним? 2. Яке тіло можна вважати матеріальною точкою? 3. Чим відрізняються поняття "система відліку" і "система координат"? 4. ІЦо таке траєкторія руху? 5. Які способи задання руху Вам відомі? 6. Що таке вектор переміщення? 7. У якому русі шлях, пройдений тілом, дорівнює модулю вектора переміщення? 8. Що характеризує швидкість руху тіла? 9. Що таке вектор миттєвої швидкості? Як він напрямлений? 10. Який рух називають рівномірним прямолінійним? 11. Що являє собою графік рівномірного прямолінійного руху? 12. Що характеризує прискорення? 13. Сформулюйте визначення миттєвого прискорення. 14. Що характеризує тангенціальне і нормальне прискорення? Як вони напрямлені? 15. Який прямолінійний рух називається рівнозмінним; рівноприскореним; рівносповільненим?

16.Як визначається графічно переміщення тіла для рівноприскореного та рівносповільненого рухів? 17. Наведіть поняття прискорення вільного падіння. 18. Чим відрізняється падіння тіл у повітрі від падіння їх у вакуумі? 19. Запишіть закон вільного падіння тіла з висоти к без почат-

кової швидкості (т>0 = 0), з початковою швидкістю у0 . 20. Якою траєкторією рухається тіло, кинуте під кутом до горизонту? 21. При якому куті кидання дальність польоту за відсутності опору повітря максимальна? 22. Як впливає сила опору повітря на дальність польоту снарядів?

23.Який рух називається періодичним? 24. Що таке період руху?

25.Дайте визначення кутової швидкості. 26. Чому рівномірний рух колом є прискореним? 27. Чому дорівнює доцентрове прискорення і куди воно напрямлене? 28. Який зв'язок існує між лінійною та кутовою швидкостями, між тангенціальним і кутовим прискореннями?

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Із пунктів Ота А, відстань між якими 240 м, водночас почали рухатися назустріч один одному два тіла. Перше тіло рухалося зі сталою швидкістю 20 м/с, друге - зі сталою швидкістю 40 м/с. Через який проміжок часу і на якій відстані від пункту О ці тіла зустрінуться? Задачу розв'язати графічним способом.

Дано: Ух =20 м/с; % =0 м; у2=40 М/С; $02 = 240 м.

Знайти: І, х.

Розв'язання. 1. Сумістимо початок координат з пунктом О, тоді х01 =0; х0? = 120 м.

Фі іик;і	65

х,м	А
240
	К
200
160
120
80
						і"4
40
					і!
					!І				2	3	4	5	6	7	8	9 і,с
		2	3		4		6 1,с
			Рис* 1*43								Рис» 1*44

2.Координати тіл змінюються за законом

3.Побудуємо графіки залежностей координат тіл. від часу (рис, 1.43).

4.Точка перетину графіків В має координати х = 80 м; / = 4 с.

Відповідь: / = 4 с, £ - 8 0 м.

Задача 2* Ліфт, піднімаючись рівноприскорено, протягом. 2 с досягає швидкості 5 м/с, з якою продовжує підйом протягом 3 с. За наступні 4 с рівносповільненого руху ліфт зупиняється. Визначте висоту підйому ліфта. Задачу розв'яжіть графічним способом.

Дано: т»0 = 0; ({ = 2 с; т;, =5 м/с; і2 = 3 с; іі2 = 5 м/с; /3 = 4 с;

= 0.

Знайти: Я.

Розв'язання. Побудуємо графік швидкості руху ліфта (рис. і .44). Висота підйому ліфта чисельно дорівнює площі трапеції ОАВС:

ОС = іг+і2+із>	= А І) = ї^ = у2.
Тоді.
2	1	2	1
Обчислення:

Я = 2 с + 2 - 3 с + 4 с 5 м/с = 30 м.

Відповідь: Я = 30 м.

Задач а 3, Рушаючи з місця, локомотив починає рухатися прямолінійно, і проходить першу ділянку шляху 500 м з прискоренням ах. а наступну ділянку шляху 500 м з прискоренням а2 - При цьому на першій ділянці шляху його швидкість зростає на. 10 м/с, а на другій ділянці на 5 м/с. Що більше:

щчи а2 ?

Дано: 5 = 5, = 52 = 500 м ; УОЇ=0; і/, = 10 м/с ; У2 = і5 м/с. Знайти: ах«

			Розв'язання. Нехай	додатний
			напрям, осі X збігається з на-
і			прямом руху локомотива. В по-
Х'01	ХЛ	Х2 X	чатковий момент часу	/0	= 0 ло-
	Х02		комотив знаходиться	в початку
	Рис. !»45		координат х0 = 0 (рис.		1.45).

66

Запишемо рівняння руху та формули швидкості для першої і другої ділянок руху локомотива в проекціях на вісь X:

ал:

алЛ

І

Х\ —

+

+ -

II

т

Сї ) >

24 .

Х'у — х^ 4- и ~і' + •

212'

Враховуючи, що л'0|

: 0 ;

х0! —

; і>0]

= 0, перша система рівнянь

набуває вигляду

І

5 = •алх

'

(1)

2

V, = аЛл.

Враховуючи, що Хд2 — X] \ л*2 — X} — о ;

—

, друга система рівнянь

набирає вигляду

а^І2-у

„

;

(3)

У2

+а2І2-

(4)

Щоб визначити ах, виразимо /,

з рівняння (2) і підставимо в рівняння (1):

_ V?

2а]

2ах '

звідки ах • 28

Щоб визначити а2 , виразимо (2

з рівняння (4) і підставимо в рівняння (3):

,

"

, агІУг

-Ух)

2 _У\-У\

12

+

2

—

- ———-,

аі

2а~>

звідки

Обчислення:

28

а, =

(10 м/с)2

м/с

2

,

а,

(15 м/с)2 -(10 м/с)2

• 0,13 м/с .

— = 0,1

=

2-500 м

2-500 м

Відповідь:

> а, .

Задача 4. Два тіла кинуті вертикально вверх з однаковою початковою

швидкістю

= 20 м/с

з інтервалом часу 1

с. Визначити швидкість руху

другого тіла відносно першого. Чому дорівнює відстань між тілами через 2 с після кидання першого тіла?

Дано:	= 20 м/с ;	М = 1 с ; / = 2 с .
Знайти:	ї/у =	^ £ •

Розв'язання. Спрямуємо вісь К вертикально вверх, початок координат 0 розташуємо на поверхні Землі в точці кидання тіл. Вектор прискорення вільного падіння % напрямлений протилежно напрямку осі У (рис. 1.46).

67

		1. Швидкість руху тіл змінюється за законом						V, = у0 + ,
	V2=Vо + 8 ( ' - Д О •
		У проекціях на вісь У
				К
				І^у^оу-ВІ*-**);
	Vо	Ку = У2у - у = Т^Оу				ГЦ0у + & + ^ =
	О			=9,8 м/с2		- 1 с = 9,8 м/с.
		2. Рівняння руху тіл у проекції на вісь У мають вигляд
	Рис. 1.46
					,2
				'ОуУ-		§(1-Аі)
						2
		У2=1}0у(<-А0-
	Відстань між тілами 5 дорівнює різниці координат:						= ух	- у2 = Ау;
		у0у(і-Аі)		+	8(1-АІ)2	у0уАі +	£Аі2
							-§АН.
		2
	Обчислення:
	5 = 20 м/с * 1 с + 9 , 8 м /		2С	' 4 - — 9 , 8 м/с2 -1 с-2 с = 5,3 м .
	Відповідь:	= 9,8 м/с ; £ = 5,3 м .

Задача 5. Чому дорівнює лінійна і кутова швидкості обертання точок поверхні Землі, що знаходяться на екваторі, припускаючи, що вісь обертання Землі проходить через полюси? Земля робить один оберт навколо своєї осі за 24 год.

Дано: Г = 24 год = 8,64-104 с ; Кф =6,4-106 м .

Знайти: V, со.

Розв'язання. Припустивши обертання Землі навколо своєї осі рівномірним, визначаємо кутову швидкість за формулою (1.58), а лінійну швидкість - за формулою (1.60):

2тг7 V = С0Яе .

Т

Обчислення:

2-3,14 рад = 7,3-10~5 рад/с; 8,64 -104 с

V = 7,3-10~5 рад/с • 6,4 • 106 м = 467,2 м/с.

Відповідь: со = 7,3 • 10"5 рад/с; V = 467,2 м/с.

Задача 6. Колесо велосипеда, діаметр якого 80 см, обертається зі сталим кутовим прискоренням 2,5 рад/с2. Через який проміжок часу від початку руху швидкість велосипеда дорівнювала 5 м/с?

Дано: £> = 2г = 80 см = 0,8 м ; г = 0 , 4 м ; є = 2,5 рад/с2 , чу = 5 м / с .

Знайти: /.

Розв'язання. Лінійна і кутова швидкості пов'язані між собою [див. формулу (1.60)]:

V = СОГ .

Кутова швидкість за умови /()=0, % = 0 визначається за формулою (1.72): (0=8/.

Отже,

V = ггі,

звідки визначаємо і:

і - гг1}

Обчислення:

5м/с

*= 2,5 рад/с2г 0,4 м = 5 с.

Задачі для самостійного розв'язування

1. На рис. 1.47 зображено траєкторію руху матеріальної точки. Визначити, на яких ділянках траєкторії: а) рух прямолінійний, криволінійний; б) змінився напрям руху точки; в) модуль вектора переміщення дорівнює шляху; г) модуль вектора переміщення менший за шлях; д) модуль вектора переміщення дорівнює нулю.

2.Швидкість розповсюдження радіохвиль (швидкість світла в вакуумі) дорівнює 3-Ю8 м/с. Хто раніше почує голос соліста, що співає перед мікрофоном у Москві: радіослухачі, які сидять на відстані 60 м від нього, або слухачі, які знаходяться на відстані 6000 м? Швидкість звуку в повітрі взяти рівною 340 м/с.

3.Середня шляхова швидкість руху Землі навколо Сонця дорівнює

30км/с. Яку відстань при цьому русі проходить Земля за добу? за рік?

4.Пішохід за хвилину робить 90 кроків. Визначити середню швидкість руху пішохода (у км/год), беручи довжину кроку 60 см.

5.Автомобіль пройшов відстань від А до В із середньою швидкістю

36км/год, а назад - із середньою швидкістю 54 км/год. Якою є середня швидкість рейсу?

6.Швидкісний ліфт підіймається рівномірно зі швидкістю 3 м/с. Визначте час, протягом якого ліфт без зупинки підніматиметься до висоти

50м (15-й поверх). Задачу розв'язати графічно.

7.Два автомобілі рухаються назу-

стріч один одному. Один - приско-	1 2	З
рено на схід, інший - сповільнено
на захід. Як напрямлені прискорен-
ня автомобілів?
8. Тіло рухається вздовж осі X рів-
ноприскорено з початковою швид-
кістю х>0 . Наприкінці четвертої се-		р и с | 47

69