Fizika - V. F. Dmitriyeva

Обчислення:

(44,7 м/с)2

м

200 м-10 м/с2

Задачі для самостійного розв'язування

1.При різкому вириванні моркви з землі гичка рветься, а при повільному -- ні. Чому?

2.Чи може швидкість тіла змінюватися миттєво?

3.Визначити положення центра мас системи, яка складається з двох куль, маси котрих дорівнюють т і Ат . Відстань між кулями дорівнює 20 см.

4.Чотири кулі, маси яких 0,1 кг, 0,2 кг, 0,3 кг і 0,4 кг, розташовані вздовж однієї прямої. Відстань між сусідніми кулями 0,15 м. Визначити положення центра мас цієї системи.

5.Чи з однаковим прискоренням рухатиметься тіло масою т у двох випадках, показаних на рис. 2.29. Нитка невагома, нерозтяжна.

6.Молекула масою 5,3 -10~26 кг, що летить до стінки посудини зі швидкістю 600 м/с, ударяється об стінку і пружно відскакує від неї. Визначити імпульс, отриманий стінкою.

7.Куля масою 0,15 кг, рухаючись зі швидкістю 10 м/с, пружно ударяється об гладку нерухому стінку. Визначити імпульс, отриманий стінкою, якщо швидкість кулі була напрямлена під кутом 60° до площини стінки.

8.Тіло масою 2 кг падає в повітрі з прискоренням 8 м/с2. Знайти силу

опору повітря.

9. На нитці, прикріпленій до стелі ліфта, підвішено вантаж масою 0,5 кг. Визначити силу натягу нитки, якщо ліфт: 1) знаходиться в стані спокою; 2) підіймається з прискоренням 2 м/с2; 3) опускається з прискоренням 2 м/с2.

10.Вантаж масою 25 кг рівноприскорено піднімають за допомогою мотузки вертикально вверх протягом 10 с на висоту 5 м. Визначити силу натягу мотузки.

11.Два тіла масою 0,1 кг і 0,3 кг з'єднані ниткою і перекинуті через невагомий блок. Нехтуючи тертям у блоці, знайти: 1) прискорення, з яким рухаються тіла; 2) силу натягу нитки.

т

т

12.На брусок масою 4 кг в горизонтальному напрямі діє сила 20 Н. Визначити прискорення, з яким рухається брусок, якщо коефіцієнт тертя бруска о поверхню 0,5.

13.Вантаж переміщається по горизонтальній поверхні під дією сили 294 Н, напрямленій під кутом 30° до горизонту, з прискоренням 5,9 м/с2, Коефіцієнт тертя вантажу о площину 0,1. Визначити масу вантажу.

14.Два тіла масою 0,5 кг і 0,7 кг, зв'язані невагомою нерозтяжною ниткою, лежать на горизонтальній поверхні. На вантаж масою 0,5 кг діє горизонтально напрямлена сила б Н. Знайдіть прискорення, з яким рухаються вантажі, та силу натягу нитки,

15.Потяг масою 1000 т, гальмуючи, зупиняється за 20 с, пройшовши при цьому відстань і 50 м. Знайти початкову швидкість потягу і силу гальмування, якщо він рухався рівносповільнено.

16.Тіш рівномірно рухається вниз по площині, яка нахилена до горизонту під кутом 30°. Знайте коефіцієнт тертя тіла о площину.

17.Невагомий блок закріплений на кінці стола (рис. 2.30). Тіла однакової маси по 0,5 кг з'єднані ниткою й перекинуті через блок. Коефіцієнт тертя першого тіла об стіл дорівнює 0,2. Знайти: І ) прискорення, з яким пересуваються тіла; 2) силу натягу нитки.

18» Молот масою 200 кг падає з висоти 2 м на ковадло. Тривалість удару 0,01 с. Визначити середнє значення сили' удару, 19-Автомобіль масою 5-10* кг рухається зі. ШВИДКІСТЮ 36 км/год по

опуклому мосту» 3 якою силою він тисне на міст у його верхній частині, якщо радіус кривини моста 50 м?

20.Відро з водою обертається у вертикальній площині на мотузці завдовжки 60 см. З якою найменшою швидкістю треба обертати відро з водою, щоб вода з нього не виливалась?

21.Визначте радіус петлі Нестерова, якщо, виконуючи її, пілот тисне

на сидіння крісла літака у нижній точці з силою 7,1 кН Маса пілота 80 кг, швидкість літака І 40 м/с.

22.Якого перевантаження зазнає космонавт, що обертається в горизонтальній площині на центрифузі радіусом 6 м з кутовою швидкістю 4,05 рад/с? Чому дорівнює максимальне перевантаження, якщо ця центрифуга обертається у вертикальній площині з тою ж самою швидкістю?

23.Визначте силу притягання між Сонцем і Землею. Відп.: 3,6 • 1022Н.

24.На якій відстані від центра Землі розташоване тіло, котре буде притягуватися Землею і Місяцем з однаковою силою? Радіус Землі 6,4 • 10д м, середня віддаль між центрами Землі і Місяця

3,84 • І О8 м.	г — ^
25. Визначте прискорення вільного падіння на ви-	?
соті 100 км від поверхні Землі.	У///////У/7//////^\
26. На якій середній висоті над, поверхнею Землі	р
обертається по коловій орбіті штучний супутник,	^
якщо він рухається зі швидкістю 8 • І 03 м/с?	^
27. Визначте масу Сонця5 якщо період обертан-	Я
ня Марса навколо Сонця 687 діб, а середня від-
стань між їх центрами 228 млн км.	р и с , 2.30

ш

ГЛАВА З

Р, , , а

ік ~

кі •

(3.1)

(дві зорі) з боку тіл, які не .

ч •

Для будь-якого тіла, що входить до Ньютона [див. формулу (2.17)]:

(3.2)

ДО Ь]2 = "^21 > маємо
А ( т , у , + О т 2 у 2 ) =		бо	Др =	(3.3)
А/	1 2		АГ

де Р = ?и1у1 + т 2 у 2

: тіл.

що зміна сумарного сил, які діють на цю систему.

(3.3). Р

112

Закон збереження імпульсу

Замкнена система - це система тіл, на кожне з яких не діють зовнішні сили.

Якщо система тіл замкнена, то сума всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнюють нулю. Оскільки зовнішні сили не діють ні на жодне і їло системи, то в рівнянні (3.3)

Б\+Г 0 =0 .
Тоді — = 0, або Ар = 0 , Аі Ф 0, отже,
Аі
р = соп8ї або т1\] + т2\2 = 0 .	(3.4)

В інерціальній системі відліку сумарний імпульс замкненої системи тіл у часі не змінюється:

п
я, =сопзІ.	(3.5)
І=\
Імпульс системи дорівнює добуткові маси	т системи на швидкість її
центра мас Ус:
р = т\с .	(3.6)

Для замкненої системи тіл р = т\с = сопзі; оскільки т = соші, то і

Ус = соп§1.

В інерціальній системі відліку центр мас замкненої системи тіл рухається прямолінійно і рівномірно.

Векторному рівнянню (3.4) відповідають три рівняння для проекцій на осі прямокутної (декартової) системи координат:

т\°\х + т2и2х - С0П8Ї ; Щ^Іу + т2°2у - С0П8* ; т\°\г + т2и2г ~ СОП8І .

Незалежно від розміру інтервалу часу Аі імпульс системи тіл на початку і в кінці цього інтервалу часу буде тим самим.

Отже, для замкненої системи тіл виконується закон збереження імпульсу. Усі реальні системи не є замкненими, тому іцо на тіла системи діють як сили тяжіння, так і різні сили опору, наприклад тертя. У багатьох ви-

падках силами тертя можна нехтувати через їх малість.

Вокремих випадках закон збереження імпульсу можна застосовувати

йдля незамкнених систем тіл, якщо зовнішні сили, які діють на будь-яке тіло системи, зрівноважуються, тобто сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю.

* При співударянні двох тіл, наприклад більярдних куль, можна застосовувати закон збереження імпульсу, оскільки сили тяжіння тх% і /л28 та сили реакції N5 і 1\2 зрівноважуються (рис. 3.1). Силою тертя кочення можна знехтувати.

113

	N2		• Проекція суми всіх зовнішніх
			сил на яку-кебудь координатну вісь
І-	ч
			дорівнює нулю. В цьому разі має міс-
			це закон збереження проекції імпуль-
т ш ш т ш т		тгЗ	су незамкиеної системи на дану коор-
т,д			динатну вісь,
	Рис. 3.1
			Нехай	гармата знаходиться на
			платформі.	Маса системи гармата-

снаряд дорівнює М. Після пострілу з гармати снаряд масою т летить
із швидкістю У2, напрямленою під кутом а	до горизонту, гармата відко-
чується зі швидкістю ух . Модуль швидкості	|У| | можна визначити з зако-

ну збереження проекції імпульсу на координатну вісь X, оскільки проекція зовнішньої СЕЛИ - сили тяжіння снаряда пщ на вісь ОХ дорівнює нулю.

До пострілу швидкість у системи гармата-снарзд дорівнювала нулеві: V - 0, імпульс системи МУ ~ 0 , тому 0 = (М - т)УІХ + ти1х. Врахову-

ючи, що У2х = У2 совах, маємо
і і	то* соз а
	М-т
Знак "мінус" означає, що при	пострілі	в додатному напрямі осі X

швидкість гармати напрямлена в протилежний бік (рис. 3.2, б) - виникає "відбій". Модуль швидкості |У|| залежить від маси гармати (М -/»): чим

більша маса гармати, тим менше |У||. Щоб зменшити "відбій", стрілець

притискає рушницю, оскільки маса системи рушниця-куяя близько б кг, а системи стрілець-рушниця-куля понад 60 кг.

* Відбуваються швидкі взаємодії тішу вибухів або ударів. Зміни імпульсів окремих тіл системи мають місце під дієш внутрішніх сил; зовнішні сили сили тяжіння, тертя; не встигають змінити імпульс системи.

а

б

Рис. 3.2

114

Наприклад, під час вибуху снаряда його осколки розлітаються зі швидкісно від 500 до 1000 м/с. Вибух відбувається протягом малого проміжку часу А/, майже миттєво. Зовнішньою силою, ідо діє на осколки, є сила

тяжіння	. Визначимо час, протягом якого сила тяжіння змогла би
змінити швидкість від 500 до 100 м/с.
За другим законом Ньютона
			тко =		Аі{,
звідки
	тАу	Ау	а	500 м/с		» А/.
	А/, = —— = — ; А(х			=—	- = 50 с, А(х
	т§	£		10 м/с

§ 24. Реактивний рух

Закон збереження імпульсу лежить в основі теорії реактив-

ного руху.

Реактивний рух - це рух, який виникає при відділенні від тіла деякої його частини з певною швидкістю відносно тіла.

Прикладом реактивного руху є рух ракети. Під час запуску ракети відбувається витікання продуктів згоряння палива з деякою швидкістю у, відносно ракети (рис. 3.3). Імпульс продуктів згоряння рх напрямлений "вниз". Згідно з законом збереження імпульсу ракета матиме такий самий за модулем імпульс р 2 , але напрямлений у протилежний бік - "уверх". У польоті маса ракети протягом часу зменшується. Динаміка тіл змінної маси була створена наприкінці XIX сторіччя російським професором І. В. Мещерським (1859-1935) і К. Е. Ціолковським (1857-1935).

Наведемо без доведення формулу Ціолковського для визна-

чення	максимальної швидкості £>тах, яку матиме ракета		після
іштрачання всього палива:
	або	Мх
	Му
де	- швидкість витікання газів; М0 - маса ракети в момент
старту (тобто з повним запасом палива); М{		- маса ракети без
палива.			їй
Із цієї формули випливає, що збільшити		можна, якщо:
*	збільшити V, - швидкість витікання газів;		Рис. 3.3

115

• збільшити відношення —- . Цей шлях підвищення швидкості ракель

ти був указаний К. Е. Ціолковським. Він запропонував застосовувати багатоступеневі ракети для польоту в космос.

Основоположник теорії міжпланетних сполучень К. Е. Ціолковський писав: "Людство не залишиться довічно на Землі, але в погоні за світлом і простором спочатку несміливо проникне за межі атмосфери, а потім завоює собі весь навколосонячний простір". Мрія вченого здійснилась.

Початок космічної ери ознаменувався запуском першого штучного супутника Землі (4 жовтня 1957 р.)? 2 січня 1959 р. стартувала космічна ракета, яка вивела на орбіту перший штучний супутник Сонця, а 14 вересня 1959 р. ракета досягла поверхні Місяця і доставила туди герб Радянського Союзу.

Наступним етапом розвитку космонавтики став політ людини в космос. Піонером освоєння космосу був Ю. О. Гагарін. Космічний корабель "Вос- ток-1", пілотований Ю. О. Гагаріним, 12 квітня 1961 р. піднявся в космос і, здійснивши політ навколо Земної кулі, повернувся на Землю. Через 8 років (20 липня 1969 р.) два американських астронавти Н. Армстронг і Е. Олдрин з екіпажу космічного корабля "Аполлон-11" здійснили посадку на Місяць.

Великий внесок у розвиток космонавтики зробив учений, конструктор космічних кораблів "Восток" і "Восход", С. П. Корольов (1906-1966), з ім'ям якого пов'язаний початок космічної ери - перший штучний супутник Землі, перший політ людини в космос.

§ 25. Робота сили

Елементарна робота сили

Елементарною роботою АА сили Р на елементарному переміщенні Аг називають фізичну величину, яка дорівнює скалярному добуткові вектора сили Г на вектор переміщення Аг :

А4 = (ГАг).	(3.7)
Згідно з означенням скалярного добутку векторів
АА = РАг соз а ,
де а - кут між векторами Р і Аг (рис. 3.4); Р і Аг	- відповідно модуль

сили і модуль переміщення.

Робота сили Р на переміщенні Аг дорівнює добуткові модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Одиниця роботи - джоуль (Дж):

1Дж = 1кг»м2/с2.

1Дж - робота, здійснювана силою 1 Н на переміщенні 1 м, якщо напрями сили і переміщення збігаються.

116

Якщо на матеріальну точку або тіло діють одночасно кілька сил, то елементарна робота всіх цих сил при переміщенні точки (тіла) на Аг дорівнює

		АА = РрезАг соз а,
де	Р	- модуль результуючої (рівнодійної)	всіх
сил,	що діють на матеріальну точку; а - кут між			Рис. 3.4
вектором результуючої сили Р і Аг.
Залежно від взаємної орієнтації векторів Р			і Аг, тобто кута між ними,
робота може бути:
		тс

•позитивною, АА > 0 , якщо 0 < а < —, оскільки косинуси гострих

кутів (соз а) додатні;	к

•негативною, АА < 0 , якщо — <а<тс, оскільки косинуси тупих ку-

пи (соза) від'ємні;

• рівною нулеві, АА = 0 , якщо ос-™, оскільки соз-— = 0.

Сила, що перпендикулярна до переміщення, роботу не здійснює. І Іаприклад, не здійснює роботу сила тяжіння під час руху тіла по горизонтальній площині.

Внаслідок того, що поняття спокій і рух - відносні, тобто тіло, що покоїться в одній системі відліку, переміщатиметься в іншій, що рухається відносно першої, - значення елементарної роботи залежить від вибору

системи відліку.
	Робота	сили на скінченному переміщенні
	У загальному випадку обчислення роботи		А	сили на скін-
ченному переміщенні є дуже складним.
Розглянемо кілька окремих випадків.
• Сила	є сталою	(Р^сопзї), а траєкторія тіла	-	прямолінійною
(а = соп8І)	(рис. 3.5).

Відповідно до формули (3.8) робота сили Р у разі переміщення тіла з точки А в точку В дорівнює

п

А = Р сов а^Аг,- = Р соз агАВ = Р8АВ соз а .

Якщо рух прямолінійний, то модуль вектора переміщення дорівнює шляху: =

117

		Р/	• Сила є сталою (Р = сопзі),	а тра-
а		5	єкторія тіла криволінійна (АІ	Ф СОПЗІ)
АП	Гдв	!	(рис. 3.6).
			Робота сили Р при переміщенні тіла
5дв
			з точки А в точку В
Рис. 3.5
де Рг - проекція вектора сили на напрям вектора переміщення:
		Рг	-Рсоза ?
де а - кут між векторами Р і тАВ.
Тоді маємо
		А = РггАВ соз а .		(3.8)

Якщо траєкторія замкнена, тобто гАВ = 0, то сумарна робота сили Р дорівнює нулеві.

• Сила є сталою за модулем: [р] = Р = сопзі; і утворює однакові кути (а = сопзІ) з елементарними векторами переміщення Аг,- в будь-якому місці криволінійної траєкторії (рис. 3.7):

|Р,| = |Кг| = |Ки| = Н = Г = соп51.

За формулою (3.8) робота сили Р при переміщенні тіла з точки А в точку В дорівнює

п

А~Рсозсх]ГАг; - Р с о з а 8 п .

і=\

У даному випадку

£ Аг,- = 5 , ї=1

де 5 - шлях тіла від початкового до кінцевого положення В . Якщо траєкторія тіла замкнена, то робота сили відмінна від нуля.

Рис. 3.6

Рис. 3.7

118

§ 26. Робота потенціальних сил

Потенціальні сили

Потенціальні сили ~~ це сили, робота яких залежить тільки від початкового і кінцевого положень рухомого тіла. Отже, робота потенціальних сил не залежить від форми траєкторії руху.

Робота потенціальної сили по замкненій траєкторії завжди дорівнює нулеві.

До потенціальних сил належать сили пружності та сили тяжіння. Сила пружності та сила тяжіння є змінними силами, тобто такими, що залежать від Аг.

Непотенціальні сили - це сили, робота яких залежить від форми траєкторії (наприклад, сили тертя).

Якщо графік залежності Рг = /(Аг) є відомим, то за ним можна знай- ш роботу сили. Так, за рис. 3.8 робота сили на переміщенні 1-2 дорівнює

площі фігури	а -Ь ~ 2.
Елементарній	роботі АА відповідає площа криволінійної трапеції з
основою Аг; (рис. 3.8, б).

Робота пружної СИЛИ

Робота пружної сили Р = кАІ обчислюється двома способами. Спосіб 1. Графік залежності пружної сили від подовження А/ зобра-

жений на рис. 3.9, Робота сили пружності при одномірному розтягу (або стиску), який ха-

рактеризується вектором подовження	ДІ, дорівнює площі прямокутного
трикутника (на рис, 3.9, а він заштрихований), катетами якого є		| і |Л/|:
РМА\	ші
А Р	" 2

Рї СОП ЗІ

Ряс. 3.8

119