Fizika - V. F. Dmitriyeva

				.3.9
	ісь X збігається			з вектором АІ; хх і х2 - коор-
початку і		АІ. Робота сили пружності в цьому разі
(див. рис. 3.9, б)
		»р	2	2	(3.9)
Якщо	х, = х2, тобто АІ - 0	- траєкторія замкнена, то згідно з форму-
	і 2. На почату процесу одномірного розтягу (або стиску)				= 0 ,
оскільки	А! = 0; при подовженні		АІ	сила пружності Рм~кАІ.

Її середнє значення знаходимо як середнє арифметичне, тому що за-

Рвід АІ є прямо пропорційною:

р0 + &А/ _ & А/

с е р _	2	2
Робота сили пружності згідно з (3.8),
		к АІ2	(3.10)
=		•

Робото, .гравітаційних сил

Визначимо роботу гравітаційних сил або сил тяжіння

початку відліку. При переміщенні тіла	т сила змінюється обернено про-
порційно г2 . Роботу на ділянці 1-2	{Аі2) визначимо як суму робіт на
окремих ділянках (рис. 3.10):

Ап=А1а + АаЬ + АЬс+... + Аі2.

120

Робота на	ділянці		( 1 - а )	А{а~РХах
-(/;, - і\ ), де РХа - середня геометрична
сила (оскільки	/'"обернено пропорційна
ґ' ), яка дорівнює кореню квадратному з
добутку сил у крайніх точках:
		Мт _ Мт		•С Мт
					п п
						і 'а
Робота на цій ділянці								Рис. ЗЛО
Мт ,
				1	1
Аа=С пк -(га		-г[) = СМт			Г	ау
\'а			И
Відповідно робота на ділянках						(а-Ь),	( 6 - е ) ,	( / - 2 ) дорівнює
^аЬ • СМт	1	1	; АЬс = СМт 1				1 ;...;	Аі1- СМт 1	1
		гь)						ч і	Г2У

Додавши отримані значення роботи на окремих ділянках, дістанемо

А12 = СМт 1	1	+ СМт	1	1	+... + СМт 1		1
	а
= СМт(\		1• + .	. . +	1	1	- СМт
VI	п,	г			гі)	\г\	г'
Усі проміжні члени в дужках взаємно знищуються, тому маємо
		А = СМт	1	1			(3.11)

де гх і г2 - модулі радіусів-векторів, які характеризують початкове та кін-

цеве положення рухомого тіла. Із формули (3.11) випливає:

•робота залежить тільки від початкового і кінцевого положення рухомого тіла, тобто не залежить від форми траєкторії;

•у разі переміщення однієї з взаємодіючих матеріальних точок замкненою траєкторією (г2 = Г} ) робота сил тяжіння дорівнює нулеві.

Формулу (3.11) можна переписати у вигляді

А^еМт-^^. пг

12

121

		Нехай тіло т підняте на висоту	к над поверх-
		нею Землі (рис. ЗЛ І).
		Тоді робота при підійманні тіла масою т на ви-
		соту к з урахуванням того, що г{ =	, г2 = К® + к ,
		дорівнюватиме
	М*	А - СМфШ	(3.12)
	Земля
	Рис. 3.11	де Мф , Еф - відповідно маса і радіус Землі,

За умови к « Кф та з урахуванням того, що модуль прискорення віль-

ного падіння поблизу поверхні Землі £ =	, дістанемо
А = тф.	(3.13)

§ 27» Потужність

Конструюючи та експлуатуючи машини, слід брати до уваги не лише роботу, виконувану машиною, але й швидкість виконання роботи. Величина, яка характеризує швидкість виконання роботи, називаєть-

ся потужністю.		А до
Середня потужність чисельно дорівнює відношенню роботи
проміжку часу Аі, за який вона здійснюється:
/V	= — .	(3.14)
сер	А/

Одиниця потужності - ват (Вт); ІВт = 1 кг • м/с.

Ват дорівнює потужності, при якій робота 1 Дж здійснюється за час 1 с. Підставивши у формулу (3.14) вираз роботи А, дістанемо

..	Расова	„ Аз	(3.15)
Кср=	— = ^ ^ 7 С 0 5 А = Р Ч } * * С 0 8 0 С '

А5

Якщо машина працює нерівномірно, тобто її потужність змінюється в часі, то формула (3.14) визначатиме середню потужність, а границя цього відношення при А і -» 0 виражає миттєву потужність (потужність у даний момент):

Ал-

N ~Р Ііш —— соз ос = русоза , д*-»о А/

г А?

де ІІШ —~ = V , А/

122

Потужність дорівнює добуткові модуля вектора сили на модуль вектора швидкості та. на косинус кута між напрямами цих векторів ;іГю скалярному добуткові вектора сили на вектор швидкості:

# = (Гу).

(3.16)

І Іотужність, як і робота, - величина скалярна.

Потужність різних двигунів, у тому числі й автомобільних, до цього часу вимірюється в кінських силах: 1 к.с. = 735 Вт.

Потужність людини становить приблизно 70 Вт.

§ 28. Енергія

У природі все знаходиться у взаємному зв'язку та взаємній залежності. Пізнаючи та вивчаючи послідовність і взаємозв'язок явищ, природознавці відкривають закони природи.

Ще Арістотель у трактаті "Фізика" писав: "Оскільки природа є почаюк руху та зміни, а предметом нашого дослідження є природа, то не можна лишати нез'ясованим, що таке рух: але ж незнання руху необхідно спричиняє незнання природи". Пізніше було встановлено, що крім механічного руху існують й інші види руху; наприклад, теплові та різні види руху можуть перетворюватися один на інший. Рух зберігається, змінюється тільки форма руху. З перетворенням різних видів руху один на інший зв'язано поняття енергія* - основне поняття фізики.

Термін "енергія" сучасного змісту виник на початку XIX ст. Англійський фізик Г. Юнг (1773-1829) перший визначив енергію як працездатність рухомих, мас (1807 р.).

Усередині XIX ст. були опубліковані праці Р. Майєра (1814-1878),

Д.Джоуля (1818-1889) і Г. Гельмгольця (1821-1894), в яких викладався закон збереження і перетворення енергії. Поняття енергії поширилося, крім механічного, на інші види руху.

Можна провести аналогію між перетворенням енергії та обміном валюти: інші банкноти, інша назва, але основне - купівельна спроможність - лишається. Так само і енергія, зазнаючи перетворення, лишається енергією і характеризує здатність тіла або системи тіл виконувати роботу.

Взаємодіючі тіла, наприклад у гравітаційному полі, здатні виконувати роботу, отже, вони "володіють" енергією.

Таким чином, поняття руху і взаємодії матеріальних об'єктів та поняття енергії пов'язані між собою.

Енергія Е - це скалярна фізична величина, яка є єдиною мірою різних форм руху та взаємодії матерії.

* Енерг ія (від Греи. ЄПЄГ£ЄІа) - діяння, діяльність.

123

Відповідно до різних форм руху матерії говорять про різні види енергії - механічну, внутрішню, ядерну тощо. У процесі взаємодії тіл форма руху матерії може змінюватись; наприклад, при терті тіла нагріваються, змінюючи вид енергії; механічна енергія переходить у внутрішню.

Зміна виду енергії зумовлена дією на тіло сил і пов'язана з виконанням роботи.

Одиниця енергії, як і одиниця роботи, - джоуль (Дж).

Виконуючи механічну роботу, тіло або система тіл переходять з одного стану в інший. Стан механічної системи визначається радіусамивекторами або координатами тіл та їхніми швидкостями.

У разі зміни стану тіла або системи тіл їхня енергія змінюється.

Робота А, виконана тілом або системою тіл при цьому, є мірою змі-

неним їхньої енергії АЕ:
А = АЕ або А = Е2-Е{.	(3.17)

Запас енергії тіла (системи тіл) визначається найбільшою роботою, котру може виконати тіло (система тіл).

Виконання роботи силами пов'язане зі зміненням енергії:

© якщо система тіл виконує роботу над зовнішніми тілами, то енергія системи тіл зменшується. Наприклад, механічний (пружинний) годинник "йде" (працює) протягом певного проміжку часу, оскільки енергія пружини витрачається на виконання роботи з подолання сил тертя коліщаток, стрілок, механізму годинника;

* якщо зовнішні сили (зовнішні тіла) виконують роботу над системою тіл, то енергія системи тіл збільшується. Щоб механічний годинник працював, його треба завести, тобто зовнішні сили мають виконувати роботу з деформації пружини годинника.

Механічна енергія Е - це фізична величина, яка є функцією швидкостей і взаємного розташування тіл.

§ 29, Кінетична енергія

Озна чення кінетичної енергії

*

Кінетична енергія Ек матеріальної точки або тіла є мірою механічного руху і залежить від швидкості руху в даній інерціальній системі відліку.

У процесі руху тіла, переходять з одного стану в інший, отже, змінюється їх енергія. Зміна енергії дорівнює роботі зовнішніх сил.

* Кінетика (від грец. кіпейкоз) - той, що приводить у рух.

124

Обчислимо роботу сталої сили Р = сопзі, яка діє на тіло масою т . Тіію рухається поступально прямолінійно вздовж осі Х\ вектори сили і швидкості тіла співнапрямлені.

І Іри переміщенні тіла на Ах сила Р виконує роботу

АА=РАх.

(3.18)

При цьому за час А і швидкість руху тіла змінюється від У1 до У2 . 11 ід дією сталої сили К = /ла тіло рухається рівноприскорено (а = сопзі):

а = • А/

А^

За час Аі тіло проходить шлях

Ах = У1А( + ^^— = У{А( + Ь

-

) 0 ^

=

("» +

) ^ .

1

2

1

Аі • 2

2

/ч

. .

т(у,-уЛ

.

Отже, під дією сили

Р = —

Аі

Ьі тіло переміщується за проміжок

(у?

+

)А/

часу Аі на Ах =

•

4

2

Робота сили Р за формулою (3.18) дорівнює

АА--

т[(У2~У1)

(У2+У{)АІ

АІ

або

=

2

2

(3.19)

Із порівняння формул (3.17) і (3.19) робимо висновок, що

ту 2

ту]

.

Ек>у = ——— ; Екі =

2

2

Кінетична енергія при поступальному русі тіла дорівнює половині добутку маси тіла (пі) на квадрат його швидкості :

(3-20)

Часто у розв'язанні задач зручніше користуватися виразом кінетичної енергії тіла через його імпульс р = ту. Помноживши і розділивши на т

(т & 0) праву частину формули (3.20), дістанемо

Е к = ш ^ 2= т у2 _ 2= р _2			( 3 2 1 )
2	2т	2т

'Формула Ек = запропонована французьким ученим Коріолісом у 1809 р.

125

Кінетична енергія тіла дорівнює квадрату імпульсу тіла, розділеному на подвоєну масу тіла.

Кінетична енергія системи тіл дорівнює алгебричній сумі кінетичних енергій усіх тіл, з яких складається система:

і=1 ^

Значення кінетичної енергії тіла залежать від вибору системи відліку, але вони не можуть бути від'ємними, тобто Ек > 0.

Теорема про кінетичну енергію

На тіло можуть діяти різні сили - тяжіння, пружності, тертя або одночасно кілька сил.

Робота будь-якої сили або результуючої сил, діючих на тіло, є мірою змінення кінетичної енергії тіла. Раніше отриману формулу (3.19) можна записати так:

АА = Ек2-Екі,	(3.22)
де Ек2 - кінетична енергія тіла в кінцевому положенні;	Ек1 - кінетична

енергія тіла в початковому положенні.

Зміна кінетичної енергії тіла АЕК при переході з одного положення

в інше дорівнює роботі всіх сил, що діють на тіло.

Дія на тіло сил, робота яких на даному переміщенні є додатною, спричинює збільшення кінетичної енергії тіла.

Дія на тіло сил, робота яких на даному переміщенні є від'ємною, спричинює зменшення кінетичної енергії тіла.

§ ЗО. Потенціальна енергія

Озна чення потенціальної енергії

Тіла, підняті на деяку висоту Н над поверхнею Землі, падаючи, можуть виконати роботу. Наприклад, копер забиває палю в ґрунт. Отже, такі тіла володіють енергією. Ця енергія називається потенціальною.

Потенціальна енергія Еи - це енергія, котра залежить від взаємного

розташування тіл або частин того самого тіла.

Тіла, що падають на Землю, виконують роботу, оскільки тіло взаємодіє з Землею. Пружно деформована пружина здатна виконати роботу, тому що відбувається взаємодія між її частинами.

Потенціальна енергія - це енергія взаємодії.

126

Пошити потенціальної енергії стосується системи взаємодіючих об'єктів. Коли говорять про потенціальну енергію одного тіла, завжди мають на увазі інші тіла, з якими дане тіло взаємодіє. Тому іноді її нагинають взаємною потенціальною енергією або енергією потенціальних н шємодій, наприклад гравітаційної взаємодії.

Мірою зміненим потенціальної енергії в процесі переходу системи з одного стану в інший є робота потенціальних сил, які спрямовані на взаємодію між тілами системи або частинами того самого тіла. Робота потен-

ціальних сил Ап дорівнює спаданню" потенціальної енергії	системи
Ап = Е\а~Егп=-^Еа>	(323)
ле ЕХп - потенціальна енергія системи в початковому стані; Е1п	~~ потен-

ціальна енергія системи в кінцевому стані.

За формулою (323) роботу потенціальних сил - сил взаємодії - визначає різниця значень потенціальної енергії. Крім того, при розв'язанні фішчних задач є важливою саме ця різниця потенціальних енергій. Тому можна довільно, керуючись міркуваннями щодо спрощення розв'язання «адачі, вибрати стан системи, в якому її потенціальна енергія вважається нульовою, Цьому станові відповідає нульовий рівень потенціальної енергії. Різниця значень потенціальної енергії не залежить від вибору нудьоного рівня. Залежно від вибору нульового рівня потенціальна енергія може бути додатною (Еа> 0), від'ємною [Еа < 0) або дорівнювати нулю

( £ „ = о) .

Потенціальна енергія визначається взаємним розташуванням (відстанню) тіл у системі або частин того самого тіла. Відстані між тілами не залежать від вибору системи відліку, тобто не змінюються під час переходу від однієї системи відліку до іншої, тому і потенціальна енергія не залежить від вибору системи відліку.

Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії

Робота гравітаційної сили за формулою (3.11)

А = вМт\—- — |.

і/і	г і )
* Спадання - це різниця між початковим Еіп	і кінцевим £ значеннями (Е1п-Е2п) • При-
ріс і або зміна позначається знаком "дельта'* (А).

і 27

Якщо за одне тіло взяти Землю (М = М@), а інше тіло масою т переміщати з точки І в точку 2, які знаходяться відповідно на відстані г\ і г2

від центра Землі (рис. 3.12), то робота гравітаційної сили з переміщення тіла масою т дорівнюватиме

і	СМ^т	СМ&т	(3.24)
А=	ф	—.
	г\	Г2

Роботу гравітаційної сили можна визначити як за формулою (3.23), так і за формулою (3.24). Із порівняння цих формул випливає, що

гх г2

Прийнято потенціальну енергію взаємодії відносно нульового рівня відліку вважати додатною, якщо при взаємодії тіла відштовхуються, наприклад однойменно заряджені тіла.

Якщо при взаємодії тіла притягуються, наприклад різнойменно заряджені тіла або у разі гравітаційної взаємодії, їх потенціальна енергія від'ємна відносно нульового рівня відліку.

Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії системи двох матеріальних точок з масами т і М, які знаходяться на відстані г одна від одної, дорівнює

£ п = — •	(3.26)
г

Доцільно за нульовий рівень відліку потенціальної енергії гравітаційної взаємодії Землі з матеріальними об'єктами масою т вибрати точку, яка знаходиться на такій віддалі від Землі, щоб сила притягання тіла до Землі прямувала до нуля:

М@т

г = О — » 0, якщо г —> оо.

г

Початок відліку потенціальної енергії знаходиться на нескінченно великій відстані від центра Землі.

На поверхні Землі (г = ) потенціальна енергія гравітаційної взає-

модії мінімальна.

Графік залежності потенціальної енергії системи тіло-Земля від відстані між тілом і центром Землі наведений на рис. 3.13.

Якщо г -> оо , то Еп -> 0 .

	_				ҐЬ
Якщо г =		, то Еп		СТПМ
					—.
				Де

128

Мінімальну потенціальну енергію має тіло, що знаходиться на поверхні Землі.

Робота сили тяжіння поблизу поверхні Землі (к

визначається

«а формулою (3.13) і дорівнює А = тф ; отже, тіло, яке підійняте на висоіу її відносно поверхні Землі, має потенціальну енергію

Еп=тф. (3.27)

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла

Деформація стиску або розтягу відбувається під дією зовнішніх сил. У пружнодеформованих тілах виникають сили пружності - потенціальні сили, які перешкоджають деформації тіла. Вони діють так, щоб повернути тіло в початковий - недеформований стан рівноваги. При цьому сили пружності виконують роботу [див. формулу (3.9)]

_ М / 2

4 Ф - — >

де к ~~ жорсткість; Д/ — / , /ф, / - довжини відповідно недеформованого і деформованого тіла, наприклад пружини (рис. 3.14).

Відповідно до формули (3.23) потенціальна енергія пружних взаємодій дорівнює

^ ( А / 2 )

(3.28)

Потенціальна енергія пружнодеформованого тіла дорівнює роботі сини пружності під час переходу з деформованого в недеформований стан.

'і Фізика

129