Fizika - V. F. Dmitriyeva

і-'у, м/с

40

/

ЗО

12

3 4

5і,с

/

>

\

і і

_

Ю

/

Л

1

20

20

/

/

40ЗО

\

10

V

/

1

її

50

К м

2

З

4

Рис. 1.33

Рис. 134

Графік функції у «Ж є частиною параболи з вершиною в точці О; віссю

параболи є вісь ординат (для простоти розрахунку братимемо § = 10,0 м/с2, рис, 133). За графіком можна визначити час падіння тіла з певної висоти. Наприклад, якщо будь-яке тіло падає з висоти 20 м, то час падіння тіла (див. рис, 1,33) на Землю становить близько 2 с (якщо § = 10 м/с2).

Час падіння тіла на Землю з висоти к можна визначити, якщо в формулу (1.43) підставити у = А:

А =

звідки

(1.45)

Графіком функції ггу = §/ є пряма, що проходить через початок координат. Для вільного падіння з певної висоти А фізичний зміст має лише відрізок прямої в інтервалі часу від % = 0 до і = (п, де іп - час падіння

тіла на Землю. У розглянутому випадку (А = 20 м) тіло через 2 с впаде на Землю зі швидкістю 20 м/с (рис, 134),

§ 8. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Траєкторія руху

Якщо тілу надалі початкову швидкість у0 під кутом а до горизонту, то його рух буде криволінійним. Цей рух можна розглядати в площині ХОУ як результат додавання двох прямолінійних рухів - рівно-

50

			V	Уу = 0 у
		щ	'С^ТГ3	А'
	— / К	^^	р		'
^уО					Утах ~ ^тах	хГ
	/Лг	І				8 І І Ц V*
	их 0 = і?х					иу	^ Д х "і Х"
							\ \ V 1
							г

Рис. 1.35

мірного руху вздовж осі X до рівнозмінного руху вздовж осі У З при СКОРЯННЯМ § (рис. 1.35). Подібні траєкторії мають артилерійські снаряди, футиольні м'ячі, списи, що летять.

Визначимо траєкторію руху, нехтуючи силами опору повітря, кривиною поверхні Землі та її обертанням навколо власної осі.

У вибраній системі відліку для початкового моменту часу /0 =0

х0 - 0;	у0= 0;
1)0х =^оС08СС»	Г°0 у =8Іпа'
Закон рівномірного руху вздовж осі X має вигляд
X = х0 4- гО0х( .
З урахуванням початкових умов
Х = ( ї / 0 С О 8 а ) / .		(1-46)

Закон рівнозмінного руху вздовж осі У має вигляд

У - Уо + 1}0уі ~ &,2

або з урахуванням початкових умов

(1.47)

Отже, маємо систему двох рівнянь:

х= (^0со5єх)/; у = ( ^ 0 5 І п а ) / - — .

ІЦоб визначити траєкторію руху, слід з рівнянь виключити час. Виранімо час з першого рівняння:

т^ с о з а

51

і підставимо в друге рівняння:

	XV 0 ЗІП а			£Х 2
	^0 соза			2 ^ с о 5 2 а
^							а
	у першому доданку та враховуючи, що					зіп
Скорочуючи У0							- = і;§а ,
						соза
одержуємо траєкторію руху тіла, кинутого під кутом а до горизонту:
	у = хі§ а			——Xі.		(1.48)
			2 і ^ 0 с о з а

Графіком одержаної квадратичної залежності (1.48) є парабола, що

проходить через початок	координат. Гілки параболи напрямлені вниз,
/	£
оскільки коефіцієнт		при XІ від'ємний, а вершина параболи

^2У\ СОЗ а У

знаходиться в найвищій точці підйому тіла (на рис. 1.35 точка А).

Найбільша висота підйому

Найбільшу висоту підйому Атах = утах можна визначити з

рівняння (1.47), якщо буде відомим час руху від точки О до А, тобто час підйому.

У процесі руху тіла від точки О до А швидкість тіла змінюється. Рух вздовж осі Г буде рівносповільненим: уу = У0 зіп а - . У найвищій точці

підйому вектор швидкості V паралельний осі X (див. рис. 1.35), тому проекція V на вісь Г дорівнює нулю:

У0 зіп а - £/ПІД = 0.

Отже, час підйому
	V()$іпа						„ _
'яід=— §						(1-49)
Підставивши відшуканий час підйому в рівняння (1.47), дістанемо
	У0 зіп ос %		ґ	•		\2
				у о зіп а
	2			£	/
__ У~0 зіп	2 - 2			2 - 2		а
	а У0зіпзіп а	а__УУо0зіпЗІП			-
£	Ч

52

аким чином,

ІІ	= V	8И1 а	(1.50)
тах	-> тах
Кут а змінюється в межах	0 < а < —. Найбільша висота підйому про-

порційна квадрату початкової швидкості і є максимальною, коли кут ки-

ті	. я	. .	.
та пня	0СК1ЛЬКИ зіп	цьому разі тіло рухається прямолінійно

вертикально вверх і висота підйому, як випливає з (1.50),

(1.51)

2%

Дальність польоту

Дальність польоту визначається координатою падіння тіла на поверхню Землі, тобто координатою точки В (див. рис. 1.35).

Координату точки В визначимо з рівняння (1.46), підставивши в нього час польоту від точки А до точки В.

Оскільки парабола є симетричною відносно вершини (точки А), то час підйому дорівнює часу падіння, тобто час польоту І дорівнює подвоєному часу підйому 1ищ:

1/ — 2/ГП•	2у() ЗІП А	(1.52)
	П= — — — —
Підставивши (1.52) в рівняння (1,46), маємо
	IV П зш а
	§
Враховуючи, що 2 зіп а соза-
зіп 2а , одержимо

Уц зіп 2а	(1.53)

Як видно з формули (1.53), дальність польоту при даній початковій швидкості У0 буде

найбільшою,	коли	зш 2а = 1,
я	я
або 2а = —, а - — (рис. 1.36).
2	4	Рис. 1.36

53

Якщо опором повітря знехтувати, то максимальна дальність польоту тіла буде при куті кидання 45° до горизонту.

Реальний рух тіл у повітрі відбувається за траєкторією, що відрізняється від параболічної; тіло рухається несиметричною - балістичною - кривою. Ця крива в своїй висхідній гілці крутіша за параболу. На рис. 1.37 наведені траєкторії руху: ідеальна (у вакуумі) та реальна (в повітрі). Траєкторія змінюється тому, що на рухоме тіло діє опір повітря, котрий залежить як від форми тіла, так і від швидкості його руху. Чим більшою є швидкість тіла, тим сильніше реальна траєкторія руху відрізняється від параболи. Як показують досліди, найбільша дальність польоту в повітрі снарядів досягається при кутах, дещо менших за 45°.

Описом руху тіл в атмосфері з урахуванням опору повітря займається балістика.

§ 9. Рівномірний рух колом

Рух колом як періодичний рух

Рух колом є найпростішим прикладом періодичного руху. Періодичний рух - це рух, який повторюється через певний проміжок

часу. Наприклад, обертання Землі навколо власної осі, обертання Землі навколо Сонця. Характеристикою періодичного руху є період.

Період Т - мінімальний проміжок часу\ через який рух повторюється, тобто час одного оберту.

Одиниця періоду - секунда (с).

Знаючи період обертання, можна визначити частоту обертання.

Частота обертання V - величина, що показує число обертів в одиницю часу:

V = —-.

(1.54)

Т

Одиниця частоти - секунда в мінус першому степені (с"1).

54

Одна с~£ дорівнює частоті рівномірного обертання, з якою за час 1 с і їло здійснює один повний оберт.

1 Іеріод обертання Землі навколо власної осі - одна доба, тобто 24 години; Т = 1 доба = 8,64 • і О4 с

Внаслідок того, що Земля обертається навколо власної осі, відбувається зміна часу доби: ранок - день - вечір - ніч. Навколо власної осі обер- і лються Місяць, Сонце і планети.

Періоди обертання планет навколо осі

	Небесне тіло	Період обертання Т	Небесне тіло	Період обертання Т
		планет навколо осі, діб
				планет навколо осі діб
	< оііце	25,4	Земля	1
	Меркурій	58,6	Марс	1,03
	Номера	243	Місяць	213

Період обертання Землі навколо Сонця - 1 рік: Г = 1 рік = ЗД6-107 с.

Внаслідок того, що Земля обертається навколо Сонця, відбувається шіна часу року: весна - літо - осінь - зима. Періоди обертання планет < онячної системи навколо Сонця такі»

Періоди обертання планет навколо Сонця.

Планети	Період обертанім, рік	Планети	Період обертання, рік
Меркурій	0,24	Сатурн	29,46
Вснера	0,615	Уран	84,02
Ісмля	!	Нептун	164,79
Марс	1,88	ПЛУТОН	247,70
К)пі гер	11,86

Землю, що рухається навколо Сонця, можна розглядати як матеріальну і очку, оскільки радіус Землі (Кф = 6,4*106 м) набагато менший за середню відстань від Землі до Сонця. Середня відстань від Землі до Сонця напишеться однією астрономічною одиницею (1 а.о,).

1 а.о. = 1,5 • І О11 м.

Траєкторія Землі навкруг Сонця ~ еліпс, але фокуси еліпса близько розташовані один до одного, тому можна вважати, що Земля навколо Сонця рухається колом радіуса Л = 1,5-10п м. За один оберт, тобто за час, що дорівнює періоду Г = 1 рік = 3,16-107 с, Земля проходить шлях, який дорівнює довжині кола 5 = 2кЯ , рухаючись із середньою швидкістю < V > :

5	2кК	2-3,14-1,5-Ю11	„ л 1 л 4	,
< V > = — = — = — і — — — — ж 2,9-10				м/с.
Т	Т	3,16-ІО7

	X
Рис. 1.38	Рис. 1.39

Швидкість руху тіла колом називають лінійною швидкістю.

Радіус кола, яким рухається тіло, є величиною сталою: г = сопзі. Проведемо координатну вісь Xчерез центр кола О (рис. 1.38). Центр кола О - початок координат. Положення точки А на колі в будь-який момент часу точно визначається кутом ер між додатним напрямом осі X і радіусомвектором г, проведеним з початку координат до рухомої точки. Кут ф відлічується від додатного напряму осі Хдо радіуса-вектора г проти годинникової стрілки. Кути виражають у радіанах. Кут 360° відповідає 2к радіан.

У разі, коли радіус-вектор г повертає на кут ер = 2 тс рад, точка проходить шлях 5, що дорівнює довжині кола 5 = 2кг; коли радіус-вектор г повертає на кут Д<р, точка проходить шлях, що дорівнює довжині дуги

Д5. Із пропорції 2ті: 2кг = Дер:	визначимо Д5:
	(1.55)

Лінійний шлях Д5 дорівнює добутку модуля радіуса-вектора | г і точки на його кут повороту Дер. Кут ер змінюється в межах 0 < ер < 2к.

Елементарні повороти радіуса-вектора г можна розглядати як вектори; вони позначаються Дер. Модуль вектора | Д(р | дорівнює куту повороту, а його напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається в напрямку руху точки колом, тобто визначається за правилом правого гвинта (рис. 1.39).

Вектор, напрям якого зв'язують з напрямом обертання, називається псевдовектором. У механіці це - кутова швидкість, кутове прискорення.

Рівномірний рух ТОЧКИ колом

Рівномірний рух колом — це такий рух, коли точка рухається із сталою за модулем лінійною швидкістю:

| V }= СОП8І .

56

Vразі рівномірного руху колом за однакові проміжки часу:

•точка проходить однакові за довжиною дуги кола;

•радіус-вектор точки повертає на однакові кути.

Напрям і швидкість повороту радіуса-вектора рухомої колом точки лрактеризує кутова швидкість.

Кутова швидкість ш - векторна величина, що дорівнює відношенню / г//кі повороту радіуса-вектора Аф до проміжку часу Аі, за який цей поворот відбувся:

	(1.56)
Аі
ІНІДКИ
Аф = <оАі.	(1.57)

()диниця кутової швидкості - радіан на секунду (рад/с).

Радіан на секунду дорівнює кутовій швидкості рівномірно обертової і очки, радіус-вектор якої за час 1 с повертається на кут 1 рад.

Модуль кутової швидкості можна виразити через період обертання Т. {.і час, що дорівнює періоду (Аі = Т), радіус-вектор точки повертається мл кут 2 я (Аф = 2я).

Згідно з формулою (1.56)
со = у.	(1.58)

Застосовуючи співвідношення (1.54) і (1.58), виразимо кутову швид-

кість через частоту обертання:
СО = 2ТГУ.	(1.59)

Між модулем ЛІНІЙНОЇ ШВИДКОСТІ V точки, що обертається колом, і модулем ЇЇ кутової швидкості о) існує зв'язок. За проміжок часу А і точка проходить шлях АЗ -УАІ , а радіус-вектор повертається на кут Аф = соА/. Під- і гавляючи знайдені величини в рівняння (1.55), одержуємо

ї>Аі = гсоА/,

або

V = СОГ.

(1.60)

Модуль лінійної швидкості точки, що рухається колом, дорівнює дооутку модуля кутової швидкості на радіус кола. З формули (1.60) виплинає, що чим більшим є радіус кола, тим більша лінійна швидкість. Лінійна швидкість обертання Землі навколо власної осі є максимальною в точках екватора, а мінімальною (нульовою) - на полюсах.

57

Доцентрове прискорення

У разі рівномірного обертання модуль лінійної швидкості - стала величина, отже, тангенціальне або дотичне прискорення ат дорівнює нулю: ат = 0 . Змінення вектора швидкості V за напрямом характеризує нормальне або доцентрове прискорення а; / .

Вектор швидкості V у будь-якій точці кола напрямлений вздовж дотичної до неї, Розглянемо положення рухомої точки в двох точках на колі

(М0	і АІ) у близькі моменти часу і і і + Аі (рис. 1.40), За проміжок часу
Аі	радіус-вектор повернеться на кут Дер, гочка переміститься на Аг, швид-
кість зміниться на Ат. Модуль зміни швидкості | V | дорівнює стороні А В

трикутника М0АВ , побудованого на векторах швидкостей як на сторонах. Рівнобедрені трикушики М0ОМ і АМ0В подібні, оскільки /.М0ОМ =

= /.АМ0В = Да як куш із взаємно перпендикулярними сторонами. З подібності трикутників випливає, що

Ах; _ V

звідки

X) АУ - — Аг.

0	г	А У
За означенням, миттєве прискорення а„ - Ііт —-.
"	АІ~+0 Аі

Враховуючи вираз, отриманий для АУ , дістанемо

у ... Аг аи = — І і т •

г Аі-їО Аі

Оскільки

г Аг Ііт — - У , ТО д>->о А і

доцентрове прискорення

				VІ
		ая	=	г •	(1.61)
	Вектор		напрямлений, як і
	вектор Ау, за радіусом до центра
	кола О,	тому		що при	А/~~>0,
	Аф ~> 0	і	/М0АВ = Ш0ВА =
	я - Аф		я	Отже,	у разі
			~2
Рис. 1.40	рівномірного			руху матеріаль-

58

мої гочки колом її прискорення напрямлене перпендикулярно до швидко»

і і і, за радіусом до центра кола, і тому його називають нормальним або

доцентровим.

Враховуючи зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю (1.60) і формулу (1.61), дістанемо

ап = оз2г .

(1.62)

§ 10. Рівнозмінний рух К О Л О М

Миттєва кутова швидкість

Рівномірний рух точки колом - пе окремий випадок. Частіше спостерігається обертальний рух, коли кутова швидкість з плином часу змінюється. Такий рух характеризується середньою куговою швидкістю < ш > .

Середня кутова швидкість руху точки колом навкруг заданого центра о) > - це вектор, модуль якого дорівнює відношенню кута повороту Аф

радіуса-вектора г точки за проміжок часу Аі до тривалості цього проміжку:

=	(1.63)
	Аі

Напрям вектора <ш> визначається за правилом правого гвинта. Якщо змінити напрям обертання тіла, то зміниться і напрям вектора кутової швидкості.

Середня кутова швидкість є приблизною характеристикою обертального руху.

Миттєва кутова швидкість со - фізична величина, модуль якої дорівнює границі, до якої прямує модуль середньої кутової швидкості при на-

шиженні проміжку часу до нуля (Аі —> 0 ):
ш = Ііт < со > = Ііт	=	-	(1.64)

Миттєву кутову швидкість називають просто кутовою швидкістю.

Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від кута повороту радіуса- ш'ктора обертової точки за часом. Вектор кутової швидкості ш збіга-

<і ься за напрямом з вектором середньої кутової швидкості < со >,

Уразі рівномірного обертання точки миттєва кутова швидкість дорівнює середній кутовій швидкості: со =< со >= сопзі.

Миттєва лінійна швидкість обертової точки [див. формулу (1.21)] з урахуванням (1.55)

А 5	,.	гАф	,. Аф
V = іігп — = Ііт — ~ г			Ііт — = гсо.
А?—>0 Аі	А/-»0	А І	А/—>0 Аі

59