5.2. Задача №2 - Методы исследования операций: элементы теории игр.

Альтернативы– то, что мы выбираем (пути или варианты решения проблемы). А то, к чему мы приходим в результате реализации альтернатив, называютисходами.

Различают 3 основных типа зависимости исходов от альтернатив (3 типа связей между ними):

1. Простейший тип связи, когда каждая альтернатива приводит к единственному исходу. В этом случае имеет местофункциональная зависимостьисходов от альтернатив, и решение принимается вусловиях определенности.

2. Более сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, каждый из которых может произойти сопределенной вероятностью. В этом случае имеет местостохастическая зависимостьисходов от альтернатив, и решение принимается вусловиях риска.

3. Самый сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, аколичественная мера возможности появления последних отсутствует(нет количественной информации). В этом случае имеет место неопределенный тип связиисходов с альтернативами, и решение принимается вусловиях неопределенности.

При управлении производством принимать решения очень часто приходится, не имея достаточной информации, то есть в условиях неопределенности и риска.

Методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр. В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются2 участникавыполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т.д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником.

Цель теории игр– выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, то есть выбор оптимальной стратегии поведения для каждого из них.

Теория игр (оценка риска в «играх с природой»).

В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм¹» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют «играми с природой».

Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона – «природа» – не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Пусть торговое предприятие имеет mстратегий: Т₁, Т₂, …, Т_mи имеетсяnвозможных состояний природы: П₁, П₂, …, П_n. Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышемпервой стороны для каждой пары стратегийT_iи П_j. Все показатели игры заданы платежной матрицей.

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

, (3)

то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке какпессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выборi-го варианта

. (4)

При анализе “игры с природой” вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называютриском.

Риск при пользовании стратегиейT_iи состоянии «природы» П_jоценивается разностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы»и выигрышемпри выбранной стратегииT_i:

(5)

Исходя из этого определения, можно оценить максимальный риск каждого решения:

. (6)

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.

1. Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы».

Если известны вероятности состояний «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы):

Р₁= Р(П₁); Р₂= Р(П₂); … ; Р_n= Р(П_n),

полагая, что Р₁ + Р₂ + …+ Р_j +…+P_n= 1.

Тогда в качестве показателя эффективности(рациональности, обоснованности) стратегии T_iберется среднее (математическое ожидание) – выигрыш применения этой стратегии:

(7)

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, то есть

. (8)

Если каждому решению T_i соответствует множество возможных результатов с вероятностями ,то среднее значение выигрыша определится

а оптимальная стратегия выбирается по условию.

В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»:

(9)

2. Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение, например, торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»):

(10)

3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм – пессимизм) придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей:

, (11)

где х – показатель пессимизма – оптимизма (чаще всего 0,5).

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Здесь выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

, (12)

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Комплексный анализвсех этих критериев позволяет в какой-то мере оценить возможные последствия принимаемых решений.