2.5. Разомкнутая гдс и ее свойства

Впервые определение разомкнутой гиперкомплекспой динами­ческой системы было сделано в [52].

В качестве основных можно назвать ряд причин, обусловив­ших необходимость введения понятия разомкнутой гиперкомп­лексной динамической системы.

1. Условный характер определения идеально замкнутой си­ стемы (неполнота замкнутости).

2. Возможность иерархического строения сложной ГДС, когда ее внутренние элементы представляют собой системы и нобходимо учесть взаимодействие внутри системы.

3. Факт межсистемного взаимодействия, когда ранее рас­ сматриваемые изолированные друг от друга системы объеди­ няются в единый комплекс в соответствии с задачами исследо­ вания.

4. Необходимость формализованного учета внешних воздейст­ вий. Такая ситуация возможна, например, если за счет внеш­ них источников пополняется внутренний ресурс элементов, не­ обходимый для поддержания устойчивого состояния системы и обеспечения ее жизнедеятельности.

На основе рассуждений аналогичных тем, которые были сделаны при получении (2.11), а также учитывая изложенные выше причины и обобщая их для случая произвольного числа элементов в сложной ГДС, можно записать следующее урав­нение:

где тфп; Ы_т — вклад внешнего воздействия в ресурс т-го элемента системы; 1_т — внешнее воздействие на элемент т; k — нормирующий коэффициент.

Сложение в (2.20) — гиперкомплексное. Для простоты из­ложения принимаем k=\ и опускаем в дальнейших выраже­ниях. Нормирующий коэффициент, равный гиперкомплексной единице и опускаемый при написании, присутствует также при слагаемом d<p_m в левой части выражения (2.20).

Обобщая для случая п элементов, получаем для разомкну­той ГДС полную систему уравнений, в которой внешнее воз­действие вынесено в правую часть

В развернутой матричной форме записи (2.21) можно пред­ставить в виде

Запишем (2.22) в¹ сокращеннойформе

где Y — полная матрица взаимодействий; ср — матрица ги­перпотенциалов; / — полная матрица внешних воздействий.

Рассуждая с позиций формальной логики, можно сделать вывод, что замкнутые системы — это частный случай разомк­нутых систем, у которых правая часть равна нулю. Покажем, что это не совсем так, попутно отмечая, что причинно-следст­венные закономерности формальной логики являются недоста­точными для описания процессов, происходящих в ГДС. Вме­сто аппарата формальной логики в теории ГДС введены и обо­снованы законы диалектической взаимообусловленности, част­ным случаем которой является причинно-следственная связь.

Не вдаваясь в детальное изложение закономерностей прин­ципа диалектической взаимообусловленности, покажем в ка­ком соотношении друг к другу находятся замкнутые и разомк­нутые системы в теории ГДС. Для этого рассмотрим полную систему уравнений, записанную в матричной форме, для замк­нутой ГДС со сложной структурой.

Как видим, в (2.24) вместо некоторых взаимодействий (вви­ду отсутствия места) проставлен знак сложения, что не явля­ется существенным для понимания сути излагаемых рассуж­дений.

Рассмотрим матрицуY в (2.24). На ее главной диагонали в силу свойств замкнутой ГДС должны стоять гиперкомплекс­ные единицы. Следовательно, определитель каждой клетки наи­высшей иерархии в исследуемой системе должен быть равен единице, что в данном случае конкретизируется в виде сле­дующих выражений:

где Ann — определитель сложного элемента наивысшей иерар­хии, стоящего на пересечении я-го столбца и п-й строки мат­рицы Y.

Расписываем полполученные выражения, учитываяг

где 1(пп) — гиперкомплексная единица высшего иерархического уровня для данной системы.

Необходимо помнить, что единицы разных иерархических уровней не равны другдругу. Например, в данном случае

Выражение (2.27) расписывать подробно нет необходимости, его равенство единице очевидно.

Исходя из определения разомкнутой ГДС и ее свойств, мож--но рассматривать внутренние сложные элементы исследуемой замкнутой системы как разомкнутые ГДС. Уравнения для та­ких ГДС имеют вид

где Sit и 5₂2 — внутренние элементы исследуемой ГДС, рас­сматриваемые как разомкнутые ГДС без иерархических уров­ней; у\\ и г/22 — матрицы взаимодействий разомкнутых ГДС.

представляющие собой элементы матрицы Y с соответствующи­ми индексами; ф] и фг — сложные гиперпотенциалы разомкну­тых ГДС; /_и и /22 — расчетное внешнее воздействие для Su

И 5₂2-

Обобщая изложенное, можно записать набор взаимообус-ловливающих друг друга уравнений, связывающих в единое целое замкнутые и разомкнутыеГДС

Учитывая свойства замкнутой ГДС (2.19), выражения {2.25) —(2.27) записываем как

Обобщая (2.33), получаем полную систему уравнений, опи­сывающих комплекс иззамкнутой и разомкнутой ГДС

Соотношения

называются условиями существования ГДС. Анализируя (2.34), можно сделать выводы:

1. Понятие соподчиненности замкнутой и разомкнутой ГДС, рассматриваемых с позиций оценки их степени общности, име­ ет относительный характер. Так, ГДС Su и 5₂2, несмотря на то что они разомкнутые, для нашего примера являются ком­ понентами по своей сути замкнутой ГДС иерархически более высокого уровня. В то же время сравнительный анализ по фор­ ме уравнений вида (2.16) и (2.23) позволяет сделать вывод о том, что замкнутая ГДС — это частный случай разомкнутой. Противоположность выводов не противоречива, если помнить о том, что каждое из заключений проводится в своей области определения и эти области не пересекаются.

2. Утверждение о причинно-следственной соподчиненное™ замкнутых и разомкнутых ГДС однозначно лишь при сравне­ нии ГДС одного иерархического уровня. Прямая оценка и

сравнение разноуровневых ГДС возможны только в результате приведения этих ГДС к общей мере. Основной особенностью процесса приведения разноуровневых ГДС к общей мере яв­ляется рассмотрение их (каждой отдельно) в составе специ­ально построенной, одинаковой для всех сравниваемых ГДС системы, иерархический ранг которой выше ранга любой из сравниваемых систем. В наиболее общем случае иерархический ранг этой ГДС равен сумме рангов сравниваемых ГДС.

Процесс построения ГДС, используемой в качестве общей меры, аналогичен процедуре определения полноты замкнутости, изложенной в параграфе 2.6.

3. В общем случае внешние воздействия Ihk разомкнутых ГДС, рассматриваемых в составе более сложной замкнутой ГДС, можно описатьвыражением

Сложение в (2.36) — гиперкомплексное. В частном случае при вырождении ГДС в систему первого порядка (одпокачест-венность) гиперкомплексное сложение вырождается в обычное, принятое в классической физике и математике. При этом в за­висимости от конкретного характера и способа представления исследуемых величин такое сложение может отражать, напри­мер, принцип наложения (в теории электрических цепей [79]); явление интерференции при взаимодействии световых колебаний [79]; пересечение множеств (в абстрактной алгебре [63]) и т.д.