2.6. Определение полноты замкнутости

В соответствии с ранее описанными словесными формулировка­ми понятия полноты замкнутости системы и ее свойств можно предложить способ, позволяющий проводить оценку степени замкнутости ГДС. Так как понятие замкнутости является соз­нательной идеализацией, при которой выделяют в исследуемом объекте только существенные (в рамках поставленной задачи) характеристики и свойства объекта, то процесс определения полноты замкнутости можно также рассматривать как резуль­тат выделения и идеализации определенных системных свойств, характерных для данной задачи.

Из основных задач, возникающих при исследовании поня­тия неполноты, важнейшей и иерархически наиболее высокой является задача оценки полноты определения ГДС. Алгоритм решения такой задачи и методика, создаваемая в процессе ре­шения, представляют собой методологическую инварианту, ко­торую можно наполнять конкретным содержанием при исполь­зовании ее в частных исследованиях. Полнота определения ГДС оценивается по степени реализации системных свойств, выде­ленных в определении системы как обязательных.

Если определение системы дается путем описания конкрет­ных системных свойств, то оно называется определением по пе­речислению, а объект, обладающий набором перечисленных свойств — системой. Данную формулировку можно рассматри­вать как уточнение определения понятия системы, сделанного в первой главе.

Максимально возможное соответствие системных свойств исследуемой ГДС определению системы принимаем за 100%-ную полноту. Следовательно, отклонение от 100% дает величину, оценивающую неполноту (в данном случае рассматривается неполнота замкнутости по определению). Такую оценку можно проводить и в относительных единицах. При этом максимальная полнота принимается равной единице. В наиболее общем слу­чае эта единица является гиперкомплекской.

В соответствии с изложенным можно предложить последо­вательность операций, позволяющих оценить степень полноты определения ГДС.

1. Определяем полный набор системных свойств, в рамках которого проводят оценку полноты.

2. По каждому из выделенных системных параметров анали­ зируем исследуемую систему путем дополнения системы (по каждому из свойств отдельно) до уровня единицы.

1. Определяем гиперкомплексную матрицу неполноты.

3. Даем количественную оценку системным составляющим, проверяемым на полноту определения.

Рассмотрим конкретный пример. Проведем оценку неполно­ты для разомкнутой ГДС (рис. 2.7), где окружности и цифра возле них обозначают элемент ГДС и его номер, а величины типа Упт — взаимодействие элементов пять направлении от п к т.

Проведем оценку неполноты исходя из наиболее простого определения системы.

1. Определяем набор свойств. Пусть в качестве исходного имеем определение: система — это совокупность взаимодейст­вующих элементов. Из определения следуют два системных свойства: наличие элементов (для ГДС —• гиперкомплексность) и взаимодействие.

2. Анализ по гиперкомплексности. Учитывая нереализован­ ные связи, данная ГДС (рис. 2.7) может включить в свой со­ став еще один элемент. Имеющееся число элементов Ni — 3; возможное число элементов N = 4; дополнительное число эле­ ментов AN = N₂ = N—Ni=l.

Анализ по взаимодействию. Максимально возможное число связей ■— это связь каждого элемента со всеми остальными. Не перечисляя все эти связи, можно отразить дополнительные (не имеющиеся в исходной ГДС) связи графически.

Учитывая дополнительные элементы и связи, строим допол­няющую ГДС, изображенную на рис. 2.8, где точками отмече­ны места, уже занятые элементами ГДС (согласно рис. 2.7).

На основании графического анализа исходной разомкнутой ГДС и ее дополнения строим полную ГДС (в рамках сделан­ного определения). На рис. 2.9 сплошными линиями представ­лена исходная ГДС, а штриховыми — дополняющая. Обозна­чения взаимодействий отсутствуют, так как они могут быть лег­ко идентифицированы по рис. 2.7 и 2.8.

3. Определяем гиперкомплексную матрицу неполноты Кг-Для этого запишем в общем виде матрицы У для всех построен­ных систем.

Для полной ГДС

Из сравнения У_о, Yi и У₂ следует

При этом У₂ дает гиперкомплексную оценку искомой непол­ноты.

3. Даем количественную оценку системным составляющим, проверяемым на неполнотуопределения.

где б (N') — относительное значение неполноты по параметру N (гиперкомплексности); AN — абсолютное, количественное значение неполноты по параметру N'.

Аналогичнодаем оценку степени полноты связей

где ΔN(У) — число нереализованных связей, равное числу взаимодействий в дополняющей системе; (iV²—N) — макси­мально возможное число связей в ГДС с N элементами; k(Yi) — число связей в исходной ГДС.

Относительное значение количественной оценки неполноты взаимодействия(%)

Выражения (2.37) — (2.40) можно использовать так же, как иллюстрацию способа построения алгоритма определения коли­чественной оценки степени неполноты и по другим системным свойствам, которые не входили в определение системы, исполь­зуемое в нашем простом примере.

Свойство неполноты и способы ее оценки имеют важное методологическое значение в теории ГДС и реализации ее по­ложений на практике. Достаточно сказать, что на его основе с учетом других закономерностей теории ГДС стало возмож­ным сформулировать теорему неполноты.

Теорема неполноты. Полностью замкнутую ГДС одновре­менно по всем ее системным свойствам реализовать нельзя.

Доказательство теоремы и анализ следствий, вытекающих из нее, выходят за пределы задач, поставленных и изложенных в данной работе. Отметим только, что приведенная теорема играет в теории ГДС такую же роль, какая отведена в логике теореме Геделя о неполноте [78]. При этом, учитывая иерар­хический ранг системной методологии и инвариантность мето­дов теории ГДС, можно рассматривать эту теорему как обоб­щение теоремы Геделя.