§ 3. Сложное суждение и его виды. Исчисление высказываний

а	и
И	Л
Л	И

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логи­ческих связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентна и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

а	ь	а л h	a v Ь	a v Ь	а -> Ь	« = /»
И	и	И	И	Л	И	и
И	л	Л	И	и	Л	Л
Л	и	Л	И	м	И	Л
Л	л	л	Л	Л	И	И

Буквы a_, b — переменные, обозначающие суждения; буква «И» обозна­чает истину, а «Я» — ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (а Ь)можно разъяснить на сле­дующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых суждений: «Он является хорошим педагогом (а) И учится за­очно (Ь)». Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения о и Ь оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же а ложно, или b ложно, или и о, и Ь ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т.е. учи­телю была дана ложная характеристика,

Суждение «Увеличение рентабельности достигается или путем повыше­ния производительности труда (я), иди путем снижения себестоимости продукции (Ь)» — пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказыва­ние или формула с такой дизъюнкцией истинна в том случае, когда истин­но хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

Строгая дизъюнкция (a v b) — та, в которой члены дизъюнкции исклю­чают друг друга. Ее можно разъяснить на примере: «Я поеду на Юг на поез­де (а) или полечу туда на самолете (6)». Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух простых суждений истинно, и только одно.

Таблицу для импликации (а —» Ь) можно разъяснить на таком примере: «Если по проводнику пропустить электрический ток {а), то проводник нагреется (b)». Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе – ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т.е. суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т.е. чтобы суждение (Ь) было ложным.

В таблице эквиваленция (а = Ь) характеризуется так: а = b истинно в тех и только в тех случаях, когда a,и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Отрицание суждения о (т.е. S) характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а — ложно, то а — истинно,

Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или лож­ности ее переменных, будет состоять из 2³ = 8 строк; при четырех перемен­ных в таблице будет 2= 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем2⁵ = 32 строки; при п переменных 2^й строк.

Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, для четырех переменных а, Ь, с, d) таков: (см, таблицу справа):

а	ь	с	</
И	и	и	и
И	и	и	л
й	и	л	и
11	и	л	л
и	л	и	и
и	л	и	л
И	л	л	и
и	л	л	л
л	11	и	и
л	11	и	л
л	и	л	и
л	и	л	л
л	л	и	II
л	л	и	л
л	л	л
л	л	л	л

Имеем 2⁴ = 16 строк.

В столбце для о сначала пишем раз «И» и 8 раз «Л».

В столбце для b сначала пишем раза «И» и 4 раза «Л», затем повторяем и т.д.

Тождественно-истинной формулой назы­вается формула, которая при любых комби­нациях значений для входящих в нее пере­менных принимает значение «истина», Тож­дественно-ложная формула — та, которая (соответственно) принимает только значе­ние «ложь». Выполнимая формула может принимать значения как «истина», так и «ложь».

Приведем доказательство тождественной истинности формулы: ((а -»(Ь л с)) л (Ь v с)) -»и.

а	Ь	с	а	Ь	с	Ь л с	а -» (Ь л с)	(ЬУС)	(а -» (Ь л с)) л (Ь v с)	((а -» (Ь л с)) л л (Б~ч~)) -ЛГ
И	и	и	л	л	л	И	И	л	л	И
И	и	л	л	л	и	Л	л	и	л	И
И	л	и	л	и	л	л	л	и	л	И
И	л	л	л	и	и	л	л	и	л	И
л	и	и	и	л	л	и	и	л	л	И
л	и	л	и	л	и	л	и	и	и	И
л	л	и	и	и	л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	л	и	и	и	И

Так как в последней колонке имеем одни истины, то формула является тождественно-истинной, или законом логики (или, как иногда ее называ­ют, тавтологией).

Итак, конъюнкция (а л Ь) истинна тогда, когда оба простых суждения ис­тинны. Строгая дизъюнкция (а v Ь) истинна тогда, когда только одно про­стое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (а v Ь) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (а -» Ь) истинна во всех случаях, кроме одного: когда а — истинно, Ь — ложно. Эквиваленция (а = Ь) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрица­ние (а) истины дает ложь, и наоборот.

Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг дру­гу, если одно из них истинно, а другое ложно (т.е. не могут быть одновре­менно истинными и одновременно ложными).

Отрицающими являются следующие пары суждений:

а	а
И	Л
Л	И

1. А — О. «Все ^ суть Р» и «Некоторые 5 не суть Р».

2. Е — I. «Ни одно 5 не суть Р» и «Некоторое 5 суть

3. «Это ^ суть Р» и «Это 5 не суть Р».

Операцию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных сужде­ний. Существует два вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутреннее — указывает на несоответствие предиката субъекту (связка выражена слова­ми: «не суть», «не есть», «не является»). Например: «Некоторые люди не имеют высшего образования». Внешнее отрицание означает отрицание все­го суждения. Например: «Неверно, что в Москве протекает река Нева».

Отрицание сложных суждений

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем соста­ве лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т.е. конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отри­цания, а если он уже есть, то отбросить его.

Эти четыре формулы называются законами де Моргана. Применив их, получим:

(а v Ъ) л (с v е) = (а л Ь) v (с л ё).

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необходимо заме­нить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией), а именно:

(а -> Ь) = (а v Ь),

затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например: «Если я буду иметь свободное время (а), то буду вязать (Ь) или посмотрю те­левизор (с)». Формула этого сложного суждения:

а -»(Ь v с).

Противоречащее суждение будет:

а —> (Ь v с) = и v (Ъ v с) = а л (Ь л с).

Оно читается так: «У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор».

Исчисление высказываний

I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, Ъ, с, и, е,/... и те же буквы с индексами д„ а₂,... Эти символы называ­ются переменными высказываниями, или пропозициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины: —, л, v, v, -», =. Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание («не»), конъюнкция («и»), нестрогая дизъюнкция (нестрогое «или»), строгая дизъюнкция (строгое «или»), импликация («если..., то»), эквиваленция («если и только если, то...»). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 24-25 этого учебника.

3. Скобки: ().

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

II. Определение формулы (или правильно построенной формулы — ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, Ь, с ...).

2. Если А и В есть ППФ, то А, (А л В), (А v Б), (А v В), (А = В)и(А^> В) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не являются символами исчисления вы­сказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обо­значения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: (а л Ь; а — Ь; л а; а -> Ь; а л Ь; а v Ь. Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на основании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и Ь — формулы, но соединение формул связкой —> всегда сопровождается заключением в скобки; то же самое можно сказать и о двух последних словах.

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка л связывает сильнее, чем все остальные; связка v сильнее, чем —».

В силу этих правил формулу (а л Ь) v с будем писать в виде а л Ь v с. Фор­мулу (а v Ь) -> (с л а) будем писать в виде а v Ь -» с л а¹'.

Однако не всякая формула может быть записана без употребления ско­бок. Например, в формулах а -»(Ь -» с), а л (Ь -»с) исключение скобок не­возможно.

Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, В — высказывания, «+» — знак нестрогой дизъюнкции, «•» — знак конъюнкции, «-» — знак отрицания.

Словесное определение	Логическое высказывание
Не не А.	а"
Не А, а В. Не А, но В.	А -В.
Ве только А, но и В.	А -В.
А, а не В.	А -В.
А, а не В, С, а не О.	А -"В • С -Т).
Не то, что А, а В.	А -В.
Не то чтобы А, но В.	А -В.
А, но не В.	А -В.
Не А, не В, а С.	А-В -С, А + В -С.
Не А, не В, но С.	А-В -С, А + В -С.
Не А, не В, не С, а О.	А • В • С • О, А + В + С • О
А, а не В, не С.	А-В -С, А- В + С.
Ни А, ни В одновременно	А-В, А + В.
Ни А, ни В.	А • В, А + В.
Ни А, ни В, а С.	А-В -С, А+В -С.
А или В, а не С.	(А + В) -"С.