Kompendium_po_biofizike_1

	Тормозное	и	характеристическое
	рентгеновское излучение. его свойства и
	использование в медицине				239
1.	Рентгеновское излучение: характеристическое и
тормозное. Закон Мозли ............................................................................					239
2.	Основные свойства и характеристики рентгеновского
излучения .....................................................................................................					239
3.	Устройство простейших рентгеновских аппаратов ............................				240
4.	Закон ослабления потока рентгеновского излучения .........................				241
5.	Физические основы применения рентгеновского излучения
в медицине ...................................................................................................					241
6.	Методы защиты от рентгеновского излучения ...................................				245
7.	Основы рентгеновской компьютерной томографии...........................				245
	Явление	радиоактивного		распада.
	Ипользование радионуклидов в медицине				249
1.	Радиоактивность. Виды радиоактивного распада...............................				249
2.	Спектры -, - и -излучений................................................................				250
3.	Методы получения радионуклидов. Использование
радионуклидов в медицине........................................................................					250
4.	Методы регистрации ионизирующих излучений.
Дозиметрические и радиометрические приборы. ...................................					251
	Основы	дозиметрии	ионизирующих
	излучений				254
1.	Взаимодействие ионизирующих излучений (ИИ) с
веществом (когерентное рассеяние, некогерентное рассеяние,
фотоэффект, аннигиляция) ........................................................................					254
2.	Количественные характеристики взаимодействия ИИ с
веществом (удельная ионизация, удельные ионизационные
потери, полный пробег частиц).................................................................					254
3.	Особенности взаимодействия с веществом -,			- и -
излучений и нейтронов. Физические принципы защиты от
ИИ.................................................................................................................					255
4.	Основные биологические эффекты при действии ИИ .......................				256
5.	Поглощенная, экспозиционная и эквивалентная дозы.
Мощность дозы. Связь мощности дозы с активностью
источника ИИ ..............................................................................................					256
6.	Естественный радиационный фон. Техногенный фон .......................				260
					11

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

1.Механические колебания: гармонические, затухающие

Под колебанием подразумевают периодическое изменение состояния тела или системы: это обозначает, что тело или система через один и тот же промежуток времени (период) возвращается в начальное состояние.

Под механическим колебанием понимают такое движение тела, при котором тело проходит через одно и то же положение в пространстве через некоторый промежуток времени.

Отклонение тела от некоторого положения (чаще всего положения равновесия) называют смещением

Для того чтобы возникли механические колебания, необходимо выполнение двух условий:

1.Наличие упругой (квазиупругой) силы – т.е. силы, направленной против смещения тела, и пропорциональной смещению.

2.Колеблющееся тело должно обладать массой. Гармоническими называются такие механические колебания,

при которых смещение тела изменяется по гармоническому (синусоидальному или косинусоидальному) закону с течением времени. Уравнение таких колебаний имеет вид:

x(t) Acos(

0t 0 ) , где x(t)

– смещение тела в момент

времени t , A –

амплитуда смещения (максимальное смещение

тела от положения равновесия),

0

2 /

0 –

собственная

круговая

частота

колебаний

(число колебаний за

2

секунд),

0

–

начальная фаза колебания (характеристика

отклонения тела от положения равновесия в

начальный момент времени). График таких

колебаний представлен на рисунке 1:

Рисунок 1. График

Следует отметить, что круговая частота

гармонического

собственных

колебаний

определяется

по

колебания

формуле:

k / m , где

k –

коэффициент

0

упругости, m – масса тела.

12

Затухающими называются такие колебания, которые характеризуются наличием трения. Затухающие колебания описываются уравнением:

x(t) Ae

t cos(

t

0. ) ,

где

r /(2m)

–

показатель

затухания ( r

–

коэффициент

трения,

m

–

масса

тела),

2

2

–

частота

затухающих

0

колебаний.

График

таких

колебаний

представлен на рисунке

2

(для

случая

2

2 ).

Как

видно

из

этого рисунка, с

0

течением

времени

амплитуда

затухающих

колебаний

экспоненциально

уменьшается. В

Рисунок 2. График

случае

2

2

будет

наблюдаться т.н.

0

затухающего

апериодическое движение – колебания вообще

колебания

не будут возникать.

Для описания процесса затухания колебаний удобно использовать величину под названием логарифмический декремент затухания, который вычисляется по формуле:

T , где T

2 /

– период затухающих колебаний.

2. Энергия гармонических колебаний

Пусть тело совершает гармонические колебания по закону:

x(t) Asin(

0t

0 ) .

Найдѐм

скорость

тела,

используя

физический

смысл

производной:

dx(t)

v(t) .

dt

v(t)

dx(t)

d

Asin(

0t

0 )

A

0 cos( 0t

0 ) .

Тогда,

dt

dt

кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна:

E			mv 2				m2 A2	0	2 cos2 (	0t 0 )		.
	k		2						2
Потенциальная энергия такого тела будет определяться по
формуле:
E			kx2			k 2 A2 sin 2 ( 0t				0 )	.
	п		2						2
												13

Aвын sin( t

Как видно из последних двух формул, кинетическая и потенциальная энергии тела будут изменяться с течением времени в противофазе: увеличение одной будет вызывать уменьшение другой.

Найдем полную энергию тела:

			E		Eп		Eк			kx2						mv 2						k 2 A2 sin 2 (								0t	0 )
												2			2														2
		m2 A2			0	2 cos2 (				0t					0 )							2				k 2			,	k 2		2 m2
							2														0					m2					0
			0	2 m2 A2 sin 2 (								0t			0 )						0		2 m2 A2 cos2 (								0t	0 )
							2																						2
					0		2 m2 A2		sin				2	(		0t					0 )				cos			2	( 0t		0 )
							2
	sin	2	(	0t			0 ) cos				2	(		0t	0 )								1					0	2 m2 A2		const E(t)
																													2

Таким образом, полная энергия гармонически колеблющегося тела остаѐтся постоянной во времени величиной, т.е. сохраняется. При гармонических колебаниях происходит лишь переход одного вида энергии в другой.

3. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.

Если на тело воздействует внешняя периодическая сила, изменяющаяся с течением времени по закону F(t) Fm sin( t) , то через некоторое время (называемое временем переходного процесса) тело будет совершать вынужденные колебания с частотой внешней силы по закону:

x(t) ), где Aвын – амплитуда вынужденных колебаний, – их фаза.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяются по формулам:

14

	Aвын				Fm						,		2		.
												2		2
		m		2	2	2	4	2	2
												0
				0
	Как видно			из	формулы						для	амплитуды вынужденных

колебаний, она будет зависеть от собственной частоты колебаний, частоты внешней периодической силы и коэффициента затухания. Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной, называется

резонансной

частотой;

она

определяется

из

условия

F

2

2 , при

2

этой

частоте

A

m

.

р

0

вын

2

2

2

m

0

Явления достижения амплитудой вынужденных колебаний своего максимального значения называется резонансом.

4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой и во взаимно перпендикулярных направлениях

Тело может принимать участие одновременно в нескольких колебательных движениях. Рассмотрим простейшие случаи сложений колебаний.

Тело принимает участие в двух колебательных движениях, совершаемых вдоль одной прямой и с одной частотой:

x1	A1 cos( t	1 )	и x2	A2 cos( t	1 ) . Тогда при сложении
получим:
x	x1 x2	A1 cos(	t	1 ) A2 cos( t	2 ) Acos( t ). Для

A

t

О Acos t Х

Рисунок 3. Векторное представление колебания

определения фазы и амплитуды результирующего колебания используем метод векторных диаграмм. Метод векторных диаграмм основан на том, что смещение тела при колебаниях может быть представлено как

изменение с течением времени проекции вращающегося вектора на некоторую ось. Т.е. если вектор

15

длиной A совершает вращение вокруг некоторой точки О со скоростью , то проекция вектора на некоторую ось ОХ будет изменяться по закону: x A cos t (см. рисунок 3):

Изобразим

на

векторной

диаграмме

вектора,

соответствующие колебаниям для x1

и x2

(см. рисунок 4). Так как

частота колебаний одинакова, то

углы

между

векторами

будут

постоянными. Угол

может быть

найден

по

формуле:

2 1.

Тогда амплитуда результирующего

A

колебания может быть найдена по

теореме косинусов:

A2

A1

2

2

A

A1

A2

2A1 A2 cos

A

2

A 2

2A A cos(

2

1

) .

2

1

1

2

1

2

Как видно из последней формулы

О

Х

результат сложения колебаний будет

зависеть от разности фаз колебаний.

Рисунок 4. Векторная

Рассмотрим два случая:

диаграмма сложения

1.

2k

, k 0,1,..., – вектора

колебаний

2

1

направлены

параллельно,

тогда

амплитуда будет максимальной.

3.

2

1

2k

1

, k 0,1,...

–

вектора

направлены

антипараллельно, тогда амплитуда будет минимальной.

Обобщая можно сказать, что разность фаз и амплитуды

складываемых

колебаний

определяют

амплитуду

результирующего колебания.

Фаза результирующего колебания будет определяться по

формуле:

arctg

A1 sin

1

A2 sin

2

.

A1 cos

1

A1 cos

1

При сложении колебаний с примерно равными частотами в результате образуются колебания с медленно гармонически изменяющейся амплитудой – биения.

Тело принимает участие в двух колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, с одинаковой

16

частотой:

x

Ax cos(

t

x )

и y

Ay cos(

t

y ) . В результате

колеблющееся тело будет описывать в пространстве кривую –

эллипс, определяемый уравнением:

x 2

y 2

2

xy

cos( x

y )

sin 2 ( x

y ) .

A 2

A

2

Ax Ay

x

y

В зависимости от соотношения фаз и амплитуд суммируемых

колебаний получают частные случаи эллипса: окружность,

отрезок прямой.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с

разными частотами получают сложные траектории движения

колеблющегося тела – т.н. фигуры Лиссажу.

5. Сложные колебания. Гармонический спектр сложных

колебаний, теорема Фурье. Разложение колебаний в

гармонический спектр

Колебание, отличное от гармонического, будем считать

сложным. Согласно теореме Фурье, сложное колебание может

быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с

кратными частотами – т.н. гармоник:

x(t)

A0

A1 cos(

t

1 )

A2 cos(2

t

2 )

A3 cos(3 t

3 ) ...

A0

Ak cos(k

t

k )

В

этой

формуле

A0

–

постоянная составляющая, A1 , A2 ,

A3 , …, – амплитуды 1-й, 2-й, 3-й и

т.д. гармоник,

, 2 ,3 , …, –

круговые частоты 1-й, 2-й, 3-й и

т.д. гармоник,

1 ,

2 ,

3 , …,

–

начальные фазы 1-й, 2-й, 3-й и т.д.

гармоник.

Рисунок 5. Представление

Гармоника

с

минимальной

частотой

называется

основной

сложного колебания суммой

гармоникой,

остальные

–

гармонических

дополнительными.

17

Для данного сложного колебания набор гармоник с известными характеристиками (амплитудами, частотами, фазами)

называется спектром. А сам процесс										нахождения гармоник
									называется		спектральным
	A	A1							(гармоническим) анализом.
									На рисунке 5		представлен
					A2
									график	сложного	колебания,
									состоящего из двух гармоник:
									сплошная линия – график сложного
		2							колебания, пунктирные линии –
									графики 1-й и 2-й гармоники.
									Наиболее		удобным
	Рисунок 6. Спектр колебания,
	состоящего из двух гармоник								преставлением спектра является
									графическое представление: по оси

абсцисс откладываются частоты гармоник, по оси ординат – их амплитуды (см. рисунок 6).

6. Механические волны, их виды и скорость распространения

Под механической волной понимают механическое колебание, распространяющееся в среде. Также механическую волну определяют как перенос энергии в среде без переноса частиц среды. Механические волны возникают из-за того, что частицы среду связаны друг с другом силами упругости, и выведение из положения равновесия одной частицы вызывает смещение соседних частиц.

Механические волны можно разделить на продольные и поперечные, а также поверхностные. В продольных волнах колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны (волны сжатия и разрежения). В поперечных – колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения. Поверхностные волны являются своеобразной комбинацией из продольных и поперечных волн, быстро затухающими вглубь среды.

Звуковые волны в воздухе являются примерами продольных волн, поперечные и поверхностные волны в металлах и на их

18

поверхности являются примерами соответственно поперечных и поверхностных волн.

Скорость, с которой возмущение распространяется в среде, называют скоростью волны. Если волна монохроматическая (т.е. может быть представлена одним гармоническим колебанием), то корректнее еѐ скорость называть фазовой скоростью, т.е. скоростью распространения фиксированной фазы колебания в среде. Если в некоторой среде возможно образование продольных и поперечных волн (например, в металле), то в таком случае для данной среды скорость продольных волн больше скорости поперечных.

7. Уравнение волны. Энергетические характеристики волны

Уравнение волны описывает смещение s(x, t) в некоторой точке среды с координатой x в момент времени t . Простейшим уравнением волны является уравнение плоской бегущей монохроматической волны, имеющее вид:

	s(x, t) A cos t	x	, где	A – амплитуда смещения,	–
		v

круговая частота колебаний в волне, v – фазовая скорость волны.

	Выражение t	x	называют фазой волны
		v

Множество точек волны, имеющих одну фазу (или колеблющихся в одной фазе), называют волновым фронтом. Длиной волны называют расстояние между двумя точками волны, разность фаз для которых равна 2 . Также длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное

одному периоду колебаний:	vT .
Как уже упоминалось	ранее, механическая волна есть

процесс переноса энергии в среде, без перемещения частиц среды, поэтому волна имеет энергетические характеристики; рассмотрим их:

Поток энергии: E / t Вт – отношение энергии, проходящей через некоторую площадку, ко времени, в течение которого она через эту площадку проходила.

19

Объемная плотность энергии:	w	E		Вт	– количество
		V		м3

энергии, приходящееся на единицу объема среды, в которой происходит перенос энергии.

Интенсивность:	I			1 dE				Вт	– отношение потока
		S S dt						м2

энергии, нормально проходящего через площадь, к этой площади.

Эти величины		связаны следующими			соотношениями:
wSv , I
	/ S wv , I			wv
Вектор			,	показывающий	направление
	I	wv

распространения энергии в среде, называется вектором Умова. Для упругих волн этот вектор может быть вычислен по формуле:

		A2 2
	I		v .
		2

20