Вариант№17.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(5;0;5), А₂(7;6;3), А₃(1;2;3), А₄(7;0;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=2, AC=4, BC=9. Через середину высоты SD  проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной  ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограммаA(5;7;2), B(8;3;0), C(6;0;3). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(5;1;1), В(1;0;2), С(7;5;-1), D(1;-4; 1). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 10. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание№8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым  КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 2.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₂C₃D₄ лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным 35°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 8.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2 , а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=3:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Вариант№18.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(6;-8;4), А₂(5;-2;-8), А₃(6;-9;-63), А₄(3;1;5). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В параллелограмме ABCD даны векторы Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма. Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.

Задание №6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC=, AA₁=2. Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол=arctg. Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 45⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС. 

Задание№10.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 8, а боковые ребра равны 12. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ = 6:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.