Вариант№19.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-6;10;2), А₂(2;-2-15), А₃(4;-1;4), А₄(-1;3;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= , ребро AD=, ребро АА₁=3. Точка К- середина ребра СС₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(-5;4;-8), B(0;2;5) C(1;6;3), E(4;3;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(-6;7;8), B(2;5;-1), C(7;4;-1), D(-2;2;10) Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

 На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=2:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде SАВС с вершиной S высота равна 15, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой SА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=3 и высотой ТО₁=5. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны a, точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁. 

Вариант№20.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(8;2;0), А₂(5;3;1), А₃(9;0;3), А₄(2;4;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 12, ребро AD=3, ребро АА₁=3. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда:A(5;1;4), B(6;1;2), C(6;2;6), D(5;1;8). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(-2;9;0), B(7;0;5), C(7;9;5), D(3;5;0). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

 Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно .

Задание №8.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 3:1, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямымиAB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны , найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.