Вариант№21.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ :

A₁(7,9,2), A₂(7,2,4), A₃(0,-10,-8), A₄(-7,2,-1). Требуется найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна a, а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание №3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(2;5;9), В(2;6;5), С(2;-1;0), D(-1;3;2). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(7;0;3), В(3;-3;5), С(2;3;-5), D(1;-4; 7). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃, причем A₁A₂=k⋅A₁A₃, В₁В₂= k⋅В₁В₃. Докажите, что прямые А₁В₁, А₂В₂, A₃B₃ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

В кубе , ребро которого равно, найдите:

а) расстояние от вершины до плоскости

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с длиной ребра AB= . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями AC и А₁В смежных граней ABCD и AA₁B₁B.

Задание №8.

В правильной треугольной пирамиде SАВС с вершиной S высота равна 7, а боковые ребра равны 9. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой SА.

Задание №9.

 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 6, точка D  середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁. 

Задание №10.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SВ. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и АF.

Вариант№22.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(0;0;10), А₂(10;18;9), А₃(8;18;0), А₄(7;6;8). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=8, AC=8, BC=9. Через середину высоты SD  проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной  ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма ,,. Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(9;3;3), В(0;-2;3), С(9;1;-4), D(4;-4; 11). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами a и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание №8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым  КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 5.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₂D₁ лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным 36°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 30.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 10 , а боковые ребра равны 15. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=5:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.