Вариант 2.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄: A₁(1;8;2),A₂(5;2;6), A₃(0;-1;-2), A₄(-2;3;-1). Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 5, а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание №3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(1;8;2), В(5;2;6), С(0;-1;-2), D(-2;3;-1). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;4;2), В(3;-3;4), С(2;3;-3), D(3;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора ,если это возможно.

Задание №5.

На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃, причем A₁A₂=k⋅A₁A₃, В₁В2= k⋅В₁В₃. Докажите, что прямые А₁В₁, А₂В₂, A₃B₃ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6. В кубе , ребро которого равно, найдите:

а) расстояние от вершины  до плоскости

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с длиной ребра AB= . Найдитерасстояние между скрещивающимися диагоналями AC и А₁В смежных граней ABCD и AA₁B₁B.

Задание №8.

В правильной треугольной пирамиде SАВС с вершиной S высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой SА.

Задание №9.

 В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D  середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁. 

Задание №10.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SВ. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и АF.

Вариант №3.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(4;3;4), А₂(5;5;3), А₃(6;8;0), А₄(4;5;8). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=2, AC=4, BC=3. Через середину высоты SD  проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной  ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма A(3;-2;4), B(4;0;3), C(7;1;5). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(1;2;3), В(3;-2;1), С(1;1;-3), D(5;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6. Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание №8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым  КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 2.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным 60°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 5.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1 , а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.