Вариант №4.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(0;-1;1), А₂(6;-4;-5), А₃(9;-3;-1), А₄(1;1;3). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В параллелограмме ABCD даны векторы Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма.Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.

Задание №6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB=BC=, AA₁=2. Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол=arctg. Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 60⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС. 

Задание№10.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ = 3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Вариант№5.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-5;1;3), А₂(1;-2;-3), А₃(4;-1;1), А₄(-4;3;5). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 8, ребро AD= , ребро АА₁=4. Точка К - середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(-2;1;-3), B(3;4;4), C(5;6;0), E(4;6;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(-5;1;3), B(1;-2;-3), C(4;-1;1), D(-4;3;5) Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

 На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=4 и высотой ТО₁=1. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁.