Вариант№6.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-1;-3;0), А₂(5;-6;-6), А₃(8;-5;-2), А₄(0;-1;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Задание№3.

Проверить, лежат ли точки A(2;-2;2), B(1;2;1), C(2;3;0), D(5;0;-6) в одной плоскости.

Задание№4.

Точки A(-3;2;-3), B(4;4;4), C(6;6;1), E(5;4;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ,AB = 2, AD=AA₁=1. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Задание №8.

Точка Е - середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если ребра куба равны .

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS с вершиной S боковое ребро АS вдвое больше стороны основания АВ. Найдите угол между прямыми AS и BK, где К – точка пересечения медиан грани СDS.

Задание №10.

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми SН и ВМ, если отрезок SН - высота пирамиды, точка М - середина ее бокового ребра АS.

Вариант 7.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-3;-2;-1), А₂(3;-5;-7), А₃(6;-4;-3), А₄(-2;0;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 4, ребро AD= , ребро АА₁=6. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма А(-3;-2;-1), B(3;-5;-7), C(6;-4;-3). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Точки А(-3;-2;-1), В(3;-5;-7), С(6;-4;-3), D(-2;t;1) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 64. Найти t.

Задание№5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

 На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=1:3. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC=, AA₁=2. Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол=arctg. Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SАВСD плоскостью, параллельной апофеме SL боковой грани SВС и медиане АМ боковой грани SАВ и проходящей через середину бокового ребра SC, если сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости равно 40/21.

Задание№10.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.