Вариант№9.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-1;-4;-4), А₂(12;-1;-13), А₃(6;-6;-7), А₄(-16;1;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 3, а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(-1;-4;-4), B(12;-1;-13), C(6;-6;-7), D(-16;1;1). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(2;6;2), B(0;1;3), C(3;0;3), D(4;4;5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

 Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно.

Задание №8.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 3:2, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямымиAB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.

Вариант№10.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(2;2;5), А₂(5;6;4), А₃(3;2;2), А₄(4;0;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=4, AC=6, BC=7. Через середину высоты SD  проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной  ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограммаA(4;4;3), B(6;2;0), C(7;0;8). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(2;4;5), В(5;0;1), С(2;2;-1), D(5;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба  АBCDA₁B₁C₁D₁ равно. Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 18. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 4. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание№8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым  КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 4.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным 45°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 3.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1 , а боковые ребра равны 7. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.