- •Введение
- •Понятие, задачи и требования контрольной работы
- •Вопросы выносимые на контроль. Векторы и линейные операции над ними.
- •Демонстрационный вариант контрольной работы.
- •Заключение
- •Список использованной литературы
- •Приложение к курсовой работе.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант №3.
- •Вариант №4.
- •Вариант№5.
- •Вариант№6.
- •Вариант 7.
- •Вариант№9.
- •Вариант№10.
- •Вариант№11.
- •Вариант№12.
- •Вариант№13.
- •Вариант №14.
- •Вариант№15.
- •Вариант№16.
- •Вариант№17.
- •Вариант№18.
- •Вариант№19.
- •Вариант№20.
- •Вариант№21.
- •Вариант№22.
- •Вариант№23.
- •Вариант24.
- •Вариант№25.
Демонстрационный вариант контрольной работы.
Задание №1. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 : А1(1;2;1), А2(3;-1;7), А3(2;0;2), А4(7;4;-2).. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды.
Решение:
Находим координаты вектора и длину ребра
Угол между ребрами А1А2 и А1А4 вычисляется по формуле
из скалярного произведения. =
Поэтому:
Угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3 – это угол между вектором и его ортогональной проекцией А1А4` на грань А1А2А3.
Вектор перпендикулярен грани А1А2А3, что вытекает из определения векторного произведения векторов :
(Здесь . Как и в предыдущем пункте , находим
Площадь грани А1А2А3 находим, используя смысл векторного произведения:
5.Объем пирамиды А1А2А3А4 численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов .
Задание №2.
В кубе АBCDA1B1C1D1 со стороной a точка К является серединой стороны основания В1С1, точка L делит другую сторону C1D1 этого основания в отношении 2:1, считая от вершины С1, точка N является серединой бокового ребра АА1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L,N.
Решение:
Построим сечение куба через точки K, L, N.
(A1B1C1) KL A1D1 = Q, (AA1D1) NQ DD1=T, (BB1C) KG TN, NTLKG – искомое сечение. Площадь сечения вычислим, используя формулу угол между нормальными векторами плоскости основания куба и плоскости сечения. Площадь проекции сечения куба на плоскостьABC можно вычислить как В декартовой системе координат с центром в вершине кубаA координаты вершин имеют вид: KОтсюда . Нормальный векторсечения можно принять пропорциональным (коллинеарным) векторному произведению.
= (-4;-3;10). Нормальный вектор плоскости основания Тогдаи
Ответ:
Задание №3.
Даны координаты вершин параллелепипеда: A(1;2;3), B(0;1;2), C(1;1;3), D(0;0;3). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.
Решение: По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:
.
Объем этого параллелепипеда .
С другой стороны, объем параллелепипеда ,- это площадь параллелограмма:.
, тогда высота .
Угол между вектором и гранью найдем по формуле
.
Так как вектор перпендикулярен грани, в которой лежат векторы. Угол между этим вектором и векторомнаходим по известной формуле
. Очевидно, что искомый угол .
Итак: .
Задание №4.
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки ,. Найти линейную зависимость вектора, если это возможно.
Решение: Найдем три вектора: .
.
Три вектора лежат в одной плоскости, если они компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю: . Следовательно, эти три вектора линейно зависимы. Найдем линейную зависимостьот.
.
Решая эту систему, получим ответ: , т.е..
Задание 5.
В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка М — середина диагонали А1С1 грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1параллельны некоторой плоскости.
Решение: Введем векторы:
Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса. Разложим векторы по векторам этого базиса.
Имеем:
Тогда
Это означает, что векторы компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1, для которых векторы являются направляющими.
Задание №6
В кубе , ребро которого равно 6, найдите:
а) расстояние от вершины до плоскости
б) угол между диагональю грани и плоскостью
Решение:
а) Пусть отрезок — перпендикуляр из вершины на Тогда=. Найдем длину отрезка.
По правилу треугольника имеем:
Обозначим: =, a в плоскости введем базисгдеи запишем разложение векторапо векторам этого базиса в виде:=
Так как (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), значит,
Коэффициенты x и y в разложении векторанайдем, пользуясь условием:, которое равносильно системе уравнений
(, прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:.
Так как треугольники - правильные и равные, то длины их сторон равны.
Тогда:
Вернемся к решению системы уравнений (. Учитывая соотношения (и свойства скалярного произведения векторов, получаем:
Тогда
Таким образом,
б) Обозначим Так какортогональная проекцияна
Используя соотношения(**) и (***) и то, что вектор приимеет вид
Ответ: а)
Задание №7.
Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ1 и ВС1 смежных граней АА1В1В и ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1, если ребро этого куба равно 12.
Решение:
Введем векторы: Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем: по векторам этого. Имеем:
Пусть отрезок MH – общий перпендикуляр прямых AB1 и BC1 (. Тогда длина отрезкаравна расстоянию между этими прямыми:
Так как точка H лежит на диагонали коллинеарны, поэтому существует такое числоx, что .
Аналогично, в силу коллинеарности векторов .
По правилу ломанной находим:
Значения x и y найдем из условия:
Учитывая, что базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна 12, имеем:
Получаем:
Таким образом, система векторных неравенств (1) равносильна системе уравнений
Тогда
Значит,
Ответ:
Задание №8
В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4.
Решение: Пусть точка О — центр сферы, описанной около тетраэдра РАВС, R — радиус этой сферы. Тогда ОА = ОВ = ОС = ОР = R.
Введем некомпланарные векторы и примем их в качестве базисных в пространстве. Тогда при этом Найдем коэффициенты х, у и z в этом разложении вектора
По правилу треугольника имеем:
откуда
Из равенств ОА = ОВ = ОС = ОР (как радиусы сферы, описанной около тетраэдра РАВС) следует, что значит,
Тогда получаем:
Заметим, что так как базисные векторы попарно перпендикулярны и длины их равны соответственно 2, 3 и 4, то
(*
Заменяя выражением в последней системе уравнений и учитывая (*), получаем:
Тогда
и
Значит,
Ответ: 29π.
Задание №9.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD1 и CE1 , где D1 и E1 – соответственно середины ребер A1C1 и B1C1.
Решение: Введем систему координат, тогда :
Координаты точек задающих прямые, указанные в условии задачи
Найдем координаты векторов:
Найдем косинус угла между векторами
Ответ:0,7.
Задание №10.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и BF.
Решение:
то введем прямоугольную систему координат с O(0;0), OC – ось x, OD – ось y, OS – ось z;
2)Пусть OC=a, то AC=2a, тогда SO=2a, то S(0;0;2); D(0;a;0);B(0;-a;0);
3)Рассмотрим - серединаAS, то если FF1AO, то по теореме Фалеса
4)
5)
6)
Ответ: 10,25.