Задача № 1

Вибіркове обстеження 20 проб пряжі на міцність дало такі результати:

Таблиця 1

Міцність ниток, г	До 50	50-70	70-90	90 і більше	Разом
Число проб	7	8	3	2	20

Визначити:

1. Середню міцність ниток та граничну помилку вибірки для середньої з імовірністю 0,954;

2. Частку ниток, яких більша за 90г, та граничну помилку для частки з імовірністю 0,954 (для імовірності 0,954 коефіцієнт довіри становить 2).

1. Граничну помилку вибірки для середньої обчислюємо за формулою:

де n – обсяг вибіркової сукупності;

δ² – дисперсія ознаки Х;

t – коефіцієнт довіри.

Розрахунок середньої міцності ниток і дисперсії цього показника наведемо в таблиці.

Таблиця 2

Значення варіанта х (середина інтервалу)	Частота f	хf
40	7	280	-20	2 800
60	8	480	0	0
80	3	240	+20	1 200
100	2	200	+40	3 200
Разом	20	1 200	х	7 200

(г)

(г)

Помилка вибірки середньої з імовірністю 0,954 становить:

(г)

2. Частка ниток, міцність яких більша за 90г., становить 10%

(w=2:20=0,1)

дисперсія δ² = w(1-w)=0,1*0,9=0,09

Гранична помилка вибірки для частки з імовірністю 0,954

, або 13,4%

Задача № 2

З отари загальною чисельністю 1 000 голів вибірковій контрольній стрижці було піддано 100 голів, середній настриг вовни при цьому становив 4,2кг. на одну вівцю при середньому квадратичному відхиленні 1,5.

Визначити межі, в яких знаходиться середній настриг вовни для усіх 1 000 голів з імовірністю 0,954 (t=2).

Це простий випадковий відбір, до того є без повторний.

Підставимо дані до відповідної формули:

1. Середня помилка при безповоротному відборі:

(кг.)

2. Гранична помилка вибірки:

∆tμ=2*0,142=0,284 (кг.)

Тоді одне з можливих значень, в межах яких може знаходитись середній настриг вовни, розраховується за формулою:

= Х ±tμ

У загальному вигляді це записується таким чином:

=4,2±0,284

Що дорівнює:

3,92≤≤4,48

Таким чином, на підставі проведеної вибірки гарантуємо, що у 954 випадках із 1 000 середній настриг вовни буде знаходитись у межах від 3,9 до 4,4кг. на одну вівцю.

Задача № 3

Для визначення якості продукції відібрано 500 з 10 000 одиниць. Серед них виявлено 50 виробів третього сорту.

Визначити граничну помилку частки з імовірністю 0,997.

1. Частка першого та другого сорту становить

2. Частка першого та другого сортів становить

Р=1-W=1-0,1=0,9

3. Підставляємо дані у формулу середньої помилки частки для простого випадкового безповоротного відбору.

Таким чином, на підставі проведеної вибірки встановлено, що середній відсоток виробів третього сорту становить 10% з можливим відхиленням у той чи інший бік на 3,9%. З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що середній відсоток виробів третього сорту в усій партії буде знаходитись в межах:

Р=10% ± 3,9%, тобто від 6,1% до 13,9%.