11. Пределы и асимптотика функций.

Пределы функций и их асимптотическое поведение (при стремлении аргумента к бесконечности).

11.1. Пределы.

Оператор предела limit. Функцию задают оператором присвоения, или вписывают прямо в команду. Первое удобнее, когда ищут несколько пределов, либо с функцией совершают ещё какие-то действия. Параметр указывает точку, в которой ищем предел. Можно искать предел в бесконечности (infinity). Предел может быть внутренним и внешним оператором.

> limit((x^2-2*x+1)/(x-1), x=1); limit((x^2-2*x+1)/(x^2-1), x=infinity); limit(sin(x)/x, x=0); f:=(1+1/x)^x; limit(f, x=infinity); evalf(%);

Иллюстрация:

> plot([f, exp(1)], x=0..50, style=[line, point]);

График 11.1. Стремление функции к пределу.

Пределы справа (right) и слева (left) (в точках разрыва могут быть не равны!)

> limit(1/x*exp(-1/x), x=0, right); limit(1/x*exp(-1/x), x=0, left);

Без дополнительного указания предел в точке разрыва не определён (un-defined)

> limit(1/x*exp(-1/x), x=0);

Другой пример неопределённого предела (программа указывает только диапазон его):

> limit(cos(x), x=infinity);

Иногда программа возвращает ввод. Это возможно, когда не доопределён какой-либо параметр функции.

> limit(exp(-a/x), x=0);

В таких случаях необходимо дополнительное условие на параметр assume.

> assume(a>0); limit(exp(-a/x), x=0);

Условия assume в данном случае недостаточно, т. к. предел в точке разрыва не определён. Пределы справа и слева:

> limit(exp(-a/x), x=0, right); limit(exp(-a/x), x=0, left);

>

11.2. Асимптотическое поведение функций.

В ряде задач надо знать не только предельное значение функций при x => , но и закон, по которому они стремятся к этому значению (запомните отличие асимптотического разложения от представления функций рядами в малой окрестности данной точки в п. 16). Асимптотическое поведение функций выявляется с помощью оператора asympt. Функция определяется оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду в явном виде. Формат команды:

> f:=x^2*exp(-x^2/(x+1)); asf:=asympt(f, x);

Результат выводится в виде суммы нескольких первых членов ряда (см. п. 16), по умолчанию - 6. Специальное обозначение O(1/(x^4)) (O = Omicron) - пренебрежимый в данном приближении остаточный член ряда. В таких разложениях этот член убывает с ростом аргумента, в отличие от разложений в малой окрестности данной точки, где он убывает с уменьшением аргумента. Вводя в команду дополнительный цифровой параметр - точность приближения - можем уточнить или упростить результат:

> asf3:=asympt(f, x, 3);

Сравнение поведения точной функции с её асимптотическими представлениями и пределом показано на графике ниже. Для графического представления и численных оценок асимптотические разложения следует конвертировать в полином, чтобы исключить неопределённый остаточный член.

> lf:=limit(f,x=infinity);asy3:=convert(asf3,polynom);asy6:=convert(asf,polynom);

>plot([f,asy3,asy6,lf],x=1..8,style=[line,line,line,point],color=[black,red,blue,gre-en]);

График 11.2. Асимптотические представления приближаются к точной функции, а последняя стремится к пределу. Не все функции имеют асимптотическое приближение.

> asympt(sin(x), x);

Error, (in asympt) unable to compute series

Иногда, для получения нетривиального результата нужно повысить точность приближения.

> ff:=exp(-x^2)/x^6-exp(-x^2)/x^8;

> asympt(ff, x); asympt(ff, x, 8);

>