13.2. Определённый интеграл.

Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):

> int(f(x), x=a..b);

"x = a..b" - обозначение пределов и области интегрирования. Многоточие выражено двумя точками! Один или оба предела могут быть бесконечны.

В некоторых случаях программа нуждается в дополнительном определении параметров или области значений аргумента. Пример:

> int(exp(B*x^2), x=0..infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent. Need to know the sign of --> -B. Will now try indefinite integration and then take limits.

Maple не может определить, сходится ли интеграл и требует знак B. Заданный выше интеграл сходится для В<0.

> assume(B<0); int(exp(B*x^2), x=0..infinity);

В некоторых случаях, как подсказывает программа, можно попробовать найти неопределённый интеграл, а затем вычислить его предел.

Другие примеры:

> int(x^n, x=a..b);

limit: "need to determine the sign of, -n-1"

Warning, unable to determine if 0 is between a and b; try to use assumptions or use the AllSolutions option

> assume(n>-1); int(x^n, x=a..b);

Перед интегрированием введено затребованное программой условие на n (см. выше).

> int(sin(x), x=a..b);

Иногда интеграл может оказаться не имеющим определённого значения (undefined):

> int(sin(x), x=0..infinity);

Не путайте этот ответ программы с понятием неопределённого интеграла!

Определённый интеграл также может выражаться высшей трансцендентной функцией.

> assume(a>0); int(exp(-a*x^2), x=0..z); int(exp(-a*x^2), x=0..infinity);

int(x^n*exp(-x), x=0..infinity);

Определённый интеграл функции комплексного переменного (пределы могут быть в комплексной плоскости).

> int(x*exp(-I*x), x=0..1); int(x*exp(-I*x), x=0..1+I);

>

14. Многократные интегралы.

Многократные интегралы находятся применением оператора int нужное число раз. Интегрируемая функция определяется оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду. Необходимо указать все аргументы, по которым интегрируем (параметры команды). Все выражения, явно не содержащие этих аргументов, считаются постоянными. Можно использовать как последовательность отдельных команд (рекомендуется начинающему пользователю), так и одну составную команду с внутренними операторами (последний формат используйте, когда известно, что "внутренний" интеграл имеет определённое выражение или значение).

1. Неопределённый интеграл. Формат команд:

> int(x^n*exp(a*y), x); F:=int(%, y); F:=int(int(x^n*exp(a*y), y), x);

В интеграле составной командой изменён порядок интегрирования, результат - тот же. См. также п. 13. Дополнительное осложнение с применением составной команды может возникнуть, когда внутренний интеграл не имеет первообразной или не определён (undefined). Для сложной команды можно использовать палитру выражения (см. ниже).

2. Определённый интеграл. Переменные интегрирования считаем независимыми. Для каждого оператора int надо указать пределы аргументов, по которым интегрируем. В остальном формат команд тот же, что выше.

Пример: нахождение массы шара постоянной плотности . Интегрируем в сферических координатах r, , . Под интеграл входит якобиан преобразования r^2*sin(alpha). (Промежуточные формулы не выведены).

>phi:=rho*r^2*sin(alpha);M:=int(int(int((phi),beta=0..2*Pi),alpha=0..Pi),r=0..R)

Если имеются затруднения в наборе составной формулы многократного интеграла, наберите 3 последовательных интеграла, или используйте палитру выражения.

> M1:=int(phi, beta=0..2*Pi): M2:=int(M1, alpha=0..Pi): M3:=int(%, r=0..R);

> int(int(int(%?, %?=%?..%?), %?=%?..%?), %?=%?..%?);

Последняя строка набрана с помощью палитры. Сравните её с командой для М, набранной выше. Для вычисления следует подставить значения на место символов %?.

>