17.1.1. Справка о функциях Бесселя.

BesselI, BesselJ- The Bessel functions of the first kind

BesselK, BesselY- The Bessel functions of the second kind

Calling Sequence

BesselI(v, x); BesselJ(v, x); BesselK(v, x); BesselY(v, x)

Parameters

v - algebraic expression (the order or index); x - algebraic expression (the argument)

Description

BesselJ and BesselY are the Bessel functions of the first and second kinds, respectively. They satisfy Bessel's equation: x^2*y'' + x*y'^2 + (x^2 - v^2 ) y = 0;

BesselI and BesselK are the modified Bessel functions of the first and second kinds, respectively. They satisfy the modified Bessel equation: x^2*y'' + x*y'^2 + (x^2 + v^2 ) y = 0

Examples

> BesselJ(0,2); evalf(%);

> BesselI(0,0);

> plot([BesselJ(0,x),BesselJ(1,x)], x=0..15) ;

График 17.1. Функции Бесселя J.

>

17.2. Решение с начальными условиями.

Стандартное обозначение начальных условий (НУ) на языке Maple - ICs (initial conditions). Эти условия необходимы для определения произвольных констант интегрирования, без чего найденные решения не могут быть использованы ни для вычислений, ни для построения графиков. Число начальных условий должно быть равно порядку уравнения и числу произвольных констант. Наиболее распространённые дифференциальные уравнения физики - 2-го порядка. НУ накладываются на значения функции и её первой производной, обычно при значении аргумента, равном нулю, например: y(0)=A, D(y)(0)=B (символ производной D см. 12.2). Формат команды решения с начальными условиями (A, B - заданные значения):

> ans:=dsolve( {ode, y(0)=A, D(y)(0)=B}, y(x));

1. Для Примера 3 п. 17.1 (ode1 - см. выше).

> Y1:=dsolve( {ode1, y(0)=0, D(y)(0)=0}, y(x));

Программа определила константы, при которых общее решение удовлетворяет заданным НУ, и подставила их в найденное выше решение. Решение однозначно определено при данных a, b, c.

2. Изменение НУ влечёт изменение вида решения (ode1 задано выше):

> Y2:=dsolve( {ode1, y(0)=A, D(y)(0)=0}, y(x));

> Y3:=dsolve( {ode1, y(0)=0, D(y)(0)=B}, y(x));

3. Наложение НУ возможно и когда решения выражаются высшими трансцендентными функциями (ode6 см. 17.1):

> H1:=dsolve({ode6, y(0)=0, D(y)(0)=B}, y(x));

Графическое представление при заданных параметрах:

> H2:=subs([B=1,b=4],B/b^(1/2)*x^(1/2)*BesselJ(1,2*b^(1/2)*x^(1/2)));

> plot(H2, x=0..15);

График 17.2. Частный вид решения, выражаемого через функции Бесселя.

Примечание: при некоторых НУ решение может оказаться тривиальным нулём, а при некоторых - может отсутствовать (см. примеры ниже).

> H3:=dsolve({ode6, y(0)=0, D(y)(0)=0}, y(x));

> H4:=dsolve({ode6, y(0)=A, D(y)(0)=0}, y(x));

>

17.3. Использование решений дифференциальных уравнений.

C решениями дифференциальных уравнений можно совершать все действия и преобразования, доступные программе. Для их графического представления должны быть определены константы интегрирования и заданы все входящие в них константы и параметры. (О графиках комплексных выражений см. оговорку в п. 8)

Для Примера 3 п. 17.1, при НУ случая 1 в п. 17.2, получим:

> simplify(subs([a=5, b=4, c=1], Y1)): Ys:=-1/3*exp(-x)+1/12*exp(-4*x)+1/4;

> plot(Ys, x=-1..4, -0.2..2);

График 17.3. Суперпозиция экспонент.

Можно применять эти действия к высшим трансцендентным функциям и получать их графики. В случае 3 п. 17.2:

> H1:= B/b^(1/2)*x^(1/2)*BesselJ(1,2*b^(1/2)*x^(1/2));

> Hs:=simplify(subs([B=5, b=4], H1));

> plot(Hs, x=-0.5..15);

График 17.4. Частный вид решения, выражаемого через функции Бесселя.

Для получения точных значений решения в некоторых точках используются средства, описанные в п. 5. Примеры:

> for x from 0 by 0.5 to 5 do Ys od;

> for x from 0 by 0.25 to 4 do Hs od;

О табличном представлении решений см. п. 7.

При решении физических задач к решениям дифференциальных уравнений предъявляют обычно некоторые дополнительные физические требования (действительности, ограниченности, неотрицательности и др.). Иногда для выполнения этих требований необходимо наложить дополнительные условия на константы интегрирования помимо и до использования НУ.

>