15. Вычисление и графическое представление интегралов.

Вычисление интеграла, выведенного в аналитическом виде - операторы eval или evalf (см. п. 5). Для примера п. 14:

> phi:=rho*r^2*sin(alpha); int(int(int((phi), beta=0..2*Pi), alpha=0..Pi), r=0..R): M:=evalf(subs([rho=2, R=5], %));

Когда промежуточная формула не интересует нас, можно вставить команды evalf(subs(...)) сразу в предыдущую команду (как внешние) и получим численное значение М.

> M:=evalf(subs([rho=2,R=5],int(int(int((phi),beta=0..2*Pi),alpha=0..Pi), r=0..R)));

Другие примеры:

> V:=evalf(4*Pi*int(r^2, r=0..1), 7);

(объём шара единичного радиуса);

> int(x^2*exp(-x),x=0..infinity); evalf(int(x^2*exp(-x),x=0..1));

Последние примеры показывают вычисление интеграла без его предста-вления формулой. Это можно применять, когда интеграл не имеет анали- тического выражения ("не берётся"). Тогда программа вычисляет его численным методом с достаточной точностью.

В тех же случаях можно и представить интеграл графически:

> plot(int(x^2*exp(-x), x=0..z), z=0..10);

График 15.1. Асимптотическое приближение интеграла к вышенайденному значению 2

>

16. Ряды, разложение функций в ряды.

Ряд представляется последовательностью с бесконечным числом членов. которую невозможно ни ввести в команду, ни вывести на экран. При выводе Maple выводит несколько первых членов ряда (по умолчанию - 6), а остаточный член, пренебрежимый в данном приближении, имеет специальное обозначение O = Omicron (см. 11.2), причём в скобках указана его главная зависимость от аргумента. Задаётся общий член ряда u[k].

16.1. Суммирование рядов.

Оператор суммы - sum (см. п. 6); формат команды: sum(u[k], k=m..n); k - индекс суммирования, номер общего члена ряда. Для нахождения полной суммы ряда следует положить m=0 (или m=1, если u[0]= или не определено) и n= (infinity). Конечное значение суммы существует только для сходящихся рядов! Иногда сумма имеет аналитическое выражение в виде комбинации чисел и математических констант. В других случаях она выражается трансцендентными функциями параметра. Возможно вычисление суммы ряда без вывода её аналитического выражения.

Примеры (иногда надо вводить условия на параметры общего члена ряда).

> sum('1/k', 'k'=1..infinity);

(Расходящийся гармонический ряд).

> sum('1/k!', 'k'=0..infinity); evalf(%);

Сумма есть число Непера - основание натурального логарифма.

Сумма геометрического ряда (обобщение геометрической прогрессии на нецелые степени q (q<1!))

> sum('q^(k/2)', 'k'=0..infinity); evalf(subs(q=1/2,%));

> sum('1/(k!)^2', 'k'=0..infinity); evalf(%);

Результат представлен функцией Бесселя.

16.1.1. Справка по функциям Бесселя.

BesselI, BesselJ - The Bessel functions of the first kind

Calling Sequence

BesselI(v, x); BesselJ(v, x).

Parameters

v - algebraic expression (the order or index), x - algebraic expression (the argument)

Description

BesselI and BesselK are the modified Bessel functions of the first and second kinds, respectively. They satisfy the modified Bessel equation: x^2*y'' + x*y'^2 - (x^2 + v^2 ) y = 0

Более подробно о фунциях Бесселя см. п. 17.

> assume(n>1); sum('1/k^n', 'k'=1..infinity);

Результат представлен дзета-функцией Римана.