16.1.2. Справка по дзета-функции Римана.

Zeta - The Riemann Zeta function

Calling Sequence

Zeta(z); Zeta(n, z).

Parameters

n - algebraic expression; understood to be a non-negative integer, z - algebraic expression

Description

The Zeta function (zeta function) is defined for Re(z)>1 by Zeta(z) = sum(1/i^z, i=1..infinity)

and is extended to the rest of the complex plane (except for the point z=1) by analytic continuation. The point z=1 is a simple pole. Zeta(n,z) = diff(Zeta(z),z$n)

> plot(Zeta(n), n=1.2..5);

График 16.1. Представление дзета-функции.

Возможно нахождение суммы конечного числа членов ряда. (см.п. 6)

> S1:=sum('1/k!', 'k'=0..n); S2:=sum('1/k!', 'k'=n+1..infinity); simplify(S1+S2);

16.2. Разложение функций в ряды.

Широкий класс функций (но не все!) может быть представлен степенными рядами в малой окрестности данной точки. Так получаем аппроксимацию (приближённое выражение) функции, тем более точную, чем более число взятых членов ряда.

1. Общий случай представления произвольной функции степенным рядом. Оператор series. Формат команды:

> series(f(x), x=a);

Параметр команды x=a указывает, в какой точке производим разложение (м. б. комплексный). По умолчанию выведено 6 первых членов ряда и остаточный член. Разложение производится в малой окрестности точки, т. е. при безразмерном (x-a) < 1 (в этом отличие такого разложения от асимптотического представления п. 11.2).

D(f) - дифференциальный оператор (подробнее см. Help, также п. 12)

16.2.1. Справка Help по оператору D.

• The D command can represent derivatives evaluated at a point. For example, the derivative of f(x) evaluated at x = 0 is represented by

> D(f)(0); convert(%, diff); `@@`(D,n)(f)(a);

The evaluation point can be any algebraic expression, not necessarily a constant. Derivatives evaluated at a point can also be expressed using a composition of eval and diff.

При вычислении (D, n)(f)(a) следует вначале найти производную порядка n от данной функции, а затем подставить в полученное выражение x=a. Эквивалентная команда:

> subs(x=a, diff(f(x),x));

Когда f(x) задано, Maple выполняет все дифференцирования и подстановки без дополнительных указаний.

Число выводимых членов ряда может быть задано дополнительным численным параметром команды (ниже - 3):

> series(f(x), x=a, 3);

2. Представление произвольной функции рядом Тейлора. Оператор taylor (с действительным параметром). Этот ряд применим для более узкого класса функций. Формат команды:

> taylor(f(x), x=a);

3. Примеры.

> taylor(a/(1-x), x=0);

O(x^6) - символ остаточного члена 6-го порядка малости. По умолчанию - разложение в окрестности т. 0. Иногда разложение в ряд Тейлора невозможно (о чём сообщает Maple), и надо прибегнуть к оператору series.

> taylor(a/(1-x), x=1);

Error, does not have a taylor expansion, try series()

(x=1 - особая точка функции!)

> series(a/(1-x), x=1);

Иногда некоторые члены ряда равны 0 и не выводятся в результате. Тогда число выведенных членов меньше, чем ожидалось по умолчанию (номер найденного приближения не равен данному значению параметра):

> series(x^2*exp(-x^2), x=0);

Увеличение точности приближения достигается добавочным параметром:

> series(x^2*exp(-x^2), x=0, 10);

>