Тема 4. Трансцендентные функции и решение трансцендентных уравнений.

Задание 1. Ознакомиться с соответствующим разделом Введения.

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по теме, образуя общий раздел для всего комплекса заданий по т. 4 (вставить № и название темы, дату занятия) и отдельные подразделы для последующих заданий. Занести в 1-ю текстовую строку каждого подраздела соответствующее задание.

Задание 3.

3.1. Вычислить значения логарифмических функций из задания 7 темы 2 для значений х = 1; 2; е, 10 с точностью 6 знаков. Составить таблицу этих значений для всех 3-х функций. Сверить найденные значения с определяемыми из графиков.

3.2. Вычислить: log[2](256); ln(10); log10(e) с точностью по умолчанию.

3.3. Найти решение уравнения ln(x) = A в общем аналитическом виде и вычислить результат для А = 10.

Задание 4. Закон радиоактивного распада описывается следующей формулой для числа оставшихся (не распавшихся) частиц:

N = N0*exp(-t/T) , (1)

где N₀ – начальное число частиц, Т – постоянная размерности времени.

4.1. Построить графики этой функции для N₀ = 100 при Т = 0,1; 1; 10 на интервале t = [0…10] на одном рисунке.

4.2. Найти предел этой функции при t (T0).

4.3. Найти аналитическое решение уравнения (1) относительно времени t.

4.4. Найти, при каком времени t число N = N₀ /2 (дать формулу и численное значение при Т = 15 мин.)

Задание 5.

5.1. Построить график функции

y = x*exp(-x) , (2)

в наиболее наглядном и удобном интервале.

5.2. Приравняв функцию (2) значению A найти аналитическое решение полученного уравнения относительно х. Используя Help, ознакомьтесь с функцией, представляющей решение, скопируйте из Help её описание.

5.3. Подставить в найденное решение А = 0,2 и вычислить соответствующее значение Х.

5.4. Приравняв функцию (2) значению 0,2 найти численное решение полученного уравнения; сравнить его с найденным в п. 3.

5.5. По графику функции (2) найти её значение при А = 0,2 и сравнить со значениями, полученными в п.п. 3 и 4.

Тема 5. Дифференцирование функций.

Задание 1. Ознакомиться с соответствующим разделом Введения.

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по теме, создав нужное число подразделов для последующих заданий. Занести в 1-ю текстовую строку каждого подраздела соответствующее задание.

Задание 3.

3.1. Зная путь равноускоренного движения s = s0 + v0* t + A*t^2 /2 , найти скорость v и ускорение a, используя их определение через производные.

3.2. Задав значения s0, v0 и a, обеспечивающие хорошую наглядность графика, построить графики s(t), v(t) и a(t) на одном рисунке. Сравнить ход функции и её производных.

Задание 4.

4.1. Для функции f = x^2*exp(- x^2) найти 1-ю и 2-ю производную.

4.2. Построить графики f(х) и её 1-й и 2-й производной на одном рисунке.

4.3. Найти координаты экстремумов f(х) аналитически, сравнить их со значениями, определяемыми из графика и с координатами нулей 1-й производной. Указать какие из этих точек соответствуют максимуму, а какие – минимуму.

4.4. Найти координаты точек перегиба f(х) аналитически, вычислить их, сравнить со значениями, определяемыми из графика и с координатами нулей 2-й производной.

4.5. Вычислить значения f(х) в точках экстремума и сверить их с графиком.

Задание 4. Найти 3-ю производную функции y = Asin(kx)exp(- bx). Представить результат в наилучшем виде.

Задание 5. Координата материальной точки массы m меняется по закону x=Aexp( -kt)cos(wt). Найти ускорение точки и действующую на неё силу. Построить график силы при m=1, A=5, k=1/4, w=5.

Задание 6.

6.1. Для функции 2-х переменных F = Asin(kx)exp(- by) найти частные производные и. Сравнить их.

6.2. Для той же функции найти смешанные частные производные и. Сравнить их, сделать вывод.