4.4. Расчеты полей дефектов

Точное вычисление поля дефекта возможно только для ряда простейших случаев. Аналитически решены задачи для поля некоторых моделей дефектов в безграничном пространстве при (линейный случай).

Поле дефекта цилиндрической формы (рис. 2.5). Пусть имеется дефект в виде цилиндра радиусом , заполненный средой 1 си помещенный в безграничную среду 2 с. Однородное внешнее поленаправим вдоль оси. Требуется определить суммарное магнитное поле в средах 1 и 2. Изменение, которое претерпевает полевблизи цилиндра, и будет полем цилиндрического дефекта.

Рис. 2.5. Цилиндрический дефект Рис. 2.6. Соотношение декартовых

_{в поле} и цилиндрических координат

Задача может быть решена на основе решения уравнений Максвелла (раздел 2.4):

; (2.5)

; (2.6)

c учетом граничных условий (см. раздел 4.1)

; (2.7)

или . (2.8)

Выражение (2.5) означает, что линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты. Выражение (2.6) указывает на то, что в данном случае поле можно рассматривать как потенциальное, поскольку правая часть равна нулю, то есть отсутствуют сторонние токи, которые могли бы образовать вихри поля. Потенциальное поле характеризуется тем, что каждая его точка имеет магнитный потенциал . Следовательно, можно записать

. (2.9)

Это, впрочем, следует и из (2.5): поскольку , то

. (2.10)

Последнее уравнение известно как уравнение Лапласа

, (2.11)

где - оператор Лапласа (или лапласиан) - имеет вид в декартовой системе координат

, (2.12)

в цилиндрической системе координат

. (2.13)

Теперь задачу можно сформулировать следующим образом: найти потенциал в средах 1 и 2, удовлетворяющий уравнению Лапласа (2.11) и граничным условиям (2.7) и (2.8).

Будем искать потенциал вне цилиндра в виде:

, (2.14)

где - потенциал исходного поля;- потенциал дополнительного поля, обусловленного наличием цилиндра (потенциал поля дефекта).

Определяемое потенциалом (2.14) поле должно обладать следующими свойствами:

1) исчезать на бесконечности;

2) в силу цилиндрической симметрии зависеть только от и ;

3) удовлетворять уравнению Лапласа.

Этим условиям удовлетворяет функция

, (2.15)

в чём можно убедиться непосредственно подстановкой (2.15) в (2.11). Можно также доказать², что это решение является единственным.

Следовательно, потенциал поля вне цилиндра надо искать в виде

. (2.16)

Внутри цилиндра потенциал поля должен удовлетворять следующим условиям:

1) не должен обращаться в бесконечность при ;

2) зависеть только от и ;

3) удовлетворять уравнению Лапласа.

Функцией, удовлетворяющей этим условиям, является

. (2.17)

Остаётся определить константы и. Они находятся из граничных условий (2.7) и (2.8). В цилиндрических координатах;.

, (2.18)

, (2.19)

, (2.20)

. (2.21)

Из (2.7) и (2.8) с учётом (2.18) . . . (2.21) находим

, (2.22)

. (2.23)

Таким образом,

, (2.24)

. (2.25)

Следовательно,

, (2.26)

, (2.27)

, (2.28)

. (2.29)

Перейдём к декартовым координатам. Из рис. 2.6 видно, что

,

,

; ;.

С учётом этого

. (2.30)

Аналогично

, (2.31)

, (2.32)

. (2.33)

Основные характеристики поля цилиндрического дефекта. Из (2.32) и (2.33) видно, что поле цилиндрического дефекта в среде и однородном поле по своей структуре совпадает с полем дипольной нити, расположенной в центре дефекта и имеющей дипольный момент

. (2.34)

Из этого главного вывода следует несколько выводов очевидных:

- топография поля цилиндрического дефекта не зависит от величины его радиуса (величина- пропорциональна);

- составляющая приипри;

- составляющая приипри.

Поле трещины.Наиболее часто встречающийся поверхностный дефект - трещина с выходом на поверхность. Формы трещин обычно достаточно сложные, но для расчётов их можно упростить и свести к трём модификациям (рис. 2.7). Но даже и для таких форм расчёты не могут быть выполнены точно в связи со сложностью граничных условий.

а б в

Рис. 2.7. Простейшие модели поверхностных дефектов

Для расчёта полей поверхностных дефектов используют искусственные приёмы, один из них заключается в следующем.

Грани дефекта (рис. 2.7а) можно рассматривать как торцы намагниченного изделия, на которых образуются магнитные полюса. Магнитный полюс можно описать системой магнитных объёмных и поверхностных зарядов, распределённых с некоторыми плотностями v и s, зависящими от координат.

Если известно распределение зарядов, то можно определить поле, которое они образуют в пространстве (собственно это и будет поле дефекта). Например, точечный магнитный заряд создаёт поле

, (2.35)

, (2.36)

, (2.37)

где - расстояние от точки наблюдения до заряда; и- составляющие поля заряда вдоль координат,(заряд помещён в центре при,).

Рис. 2.8. Полюса на гранях Рис. 2.9. К расчёту поля трещины

Поле трещины, изображённой на рис. 2.8 и 2.9, можно рассматривать в в простейшем случае как поле от двух систем зарядов, распределённых по её граням с плотностью и.

Элементарный заряд на единицу длины (в плоскости, перпендикулярной рисунку 2.9, дефект бесконечен) . Выражение для напряжённости поля в точке A, создаваемого элементарным зарядом , по (2.35):. Принимая во внимание, что; ; , получим в координатном представлении

Аналогично можно записать выражения для , , и после интегрирования по при условии получим следующие выражения для и:

, (2.38)

. (2.39)

Графическое представление зависимостей (2.38) и (2.39) дано на рис. 2.10 и 2.11.

Составляющая имеет экстремум при. Еслии, то

= . (2.40)

H_y

H_x

Рис. 2.10. Составляющие Рис. 2.11. Поле рассеяния трещины