2. Электрические и магнитные поля в вакууме и веществе

2.1. Электрическое поле

Электромагнитное взаимодействие между частицами зависит от их электрического заряда. Заряд имеет следующие свойства:

- существуют положительные и отрицательные заряды;

- в любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется (закон сохранения электрического заряда);

- величина заряда не зависит от системы отсчета (т.е. не зависит от его движения).

Всякий электрический заряд изменяет свойства окружающего пространства – создает электрическое поле. Взаимодействие между зарядами осуществляется через это поле. Сила, действующая на неподвижный точечный пробный заряд, может быть представлена как

, (1.8)

где вектор - напряженность электрического поля в данной точке. Вектор можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд.

Из опыта (закон Кулона) следует, что поле неподвижного точечного заряда на расстоянииот него можно представить как

, (1.9)

где - электрическая постоянная; – орт радиус-вектора , проведенного из центра поля, в котором расположен заряд, до интересующей нас точки. Коэффициент= 910⁹ м/Ф, заряд измеряется в кулонах (Кл), напряженность поля– в вольтах на метр (В/м).

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции).

Электрическое поле подчиняется двум важнейшим законам, называемым теоремами, теореме Гаусса и теореме о циркуляции вектора .

Теорема Гаусса. Поток вектора сквозь произвольную поверхностьравен

. (1.10)

Эта величина алгебраическая и зависит не только от конфигурации электрического поля, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль брать наружу (внешняя нормаль). Теорема Гаусса гласит, что поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на:

. (1.11)

В дифференциальной форме теорема Гаусса может быть записана как

, (1.12)

где - объемная плотность заряда в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью. В тех точках поля, где дивергенцияположительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна – стоки (отрицательные заряды). Линии векторавыходят из источников и заканчиваются в местах стоков.

Циркуляция вектора . Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути от точки 1 к точке 2 равна. Этот интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора. В любом электростатическом поле циркуляция вектораравна нулю, т.е.

. (1.13)

Поле, обладающее свойством (1.13) называют потенциальным. Из (1.13) следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Линии поля начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных или уходят в бесконечность.

Потенциал. Тот факт, что работа сил по перемещению единичного заряда не зависит от пути, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат , убыль которой равна

, (1.14)

где и- значения функциив точках 1 и 2. Величинаназывается потенциалом поля. Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Потенциалопределяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Поскольку все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля, которая определяется разностью потенциалов в соседних точках поля, то эта постоянная не имеет значения. Потенциал измеряют ввольтах (В).

Учитывая, что элементарная убыль потенциала есть

, (1.15)

можно к примеру найти потенциал неподвижного точечного заряда:

, где учтено, что проекция вектора на вектор, а значит и на векторравна приращению модуля вектора, т.е.. Опуская аддитивную константу (т.е. полагая, что потенциал на бесконечности равен нулю), получим потенциал поля точечного заряда в виде

. (1.16)

Связь потенциала и вектора . Электрическое поле может быть полностью описано векторной функцией . Зная её, можно найти силу, действующую на заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля по перемещению заряда и т.д. А зная потенциалможно восстановить и само поле. Пусть перемещениепараллельно осиX, тогда , где - орт осиX, - приращение координатыx. В этом случае , где- проекция векторана орт. Учитывая (1.15), получим.

Рассуждая аналогично, можно получить выражения для проекций и. По проекциям определяется и сам вектор:

_{. (1.17)}

_{Величина в скобках есть градиент потенциала . В более компактной форме (1.17) записывают в виде:}

, _(1.18)

т.е. напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Для описания электрического поля используется понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение. Вектор направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, там напряженность поля больше.

Электрическое поле в веществе. Истинное электрическое поле в веществе (микрополе) меняется весьма резко как во времени, так и в пространстве (в различных точках атомов, между атомами и т.д.). Найти его величину весьма сложно. Под электрическим полем в веществе (макрополе) понимается пространственно усредненное микрополе. Усреднение проводится по объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно.

При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Явление называют электростатической индукцией, а появившиеся заряды называют индуцированными. Результирующее электрическое поле определяется как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов. Распределение индуцированных зарядов и создаваемое ими поле зависят от свойств самого вещества.

Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует (= 0).

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью , вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний).

Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.18), что потенциал в проводнике одинаков во всех его точках, т.е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной.

Избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и на сплошном – на его наружной поверхности. На этом основана электростатическая защита – экранирование тел (людей, приборов и т.д.) от электростатических полей. При этом сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.

Электроёмкость. Конденсаторы. Опыт показывает, что между зарядом и потенциаломуединенного проводника существует прямая пропорциональность:

. (1.19)

Коэффициент назвалиэлектроёмкостью.

Если проводник не уединен, то его ёмкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел, вследствие появления на них индуцированных зарядов в поле проводника. Система проводников обладает ёмкостью, значительно большей, чем уединенный проводник. Такую систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Заряды на обкладках должны быть одинаковыми по модулю и противоположны по знаку. В отличие от ёмкости уединённого проводника под ёмкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением):

. (1.20)

Ёмкость уединённого проводника и ёмкость конденсатора измеряют в фарадах. Зарядом конденсатора называют заряд на положительно заряженной обкладке.

Диэлектрики. Поляризация. Диэлектриками (изоляторами) называют вещества, которые практически не проводят электрический ток. В отличие от проводников в диэлектриках нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния. Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решётки. Сами молекулы могут быть полярными и неполярными. У полярных молекул центр объемного отрицательного заряда сдвинут относительно центра положительного и такие молекулы обладают собственным электрическим дипольным моментом . У неполярных молекул центры зарядов совпадают и.

При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле происходят изменения как в поле, так и в самом диэлектрике (на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается ёмкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и т.д.).

Под действием поля происходит поляризация диэлектрика. В диэлектрике из неполярных молекул в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, отрицательных против поля. В диэлектрике из полярных молекул происходит ориентация их дипольных моментов по полю. Однако независимо от механизма поляризации в этом процессе положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные - против поля. В результате поляризации на поверхности диэлектрика и в его объёме появляются нескомпенсированные заряды.

Чтобы охарактеризовать поляризацию в конкретной точке диэлектрика, выделяют физически бесконечно малый объем , содержащий эту точку, находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объёме и определяютполяризованность диэлектрика:

. (1.21)

Единицей поляризованности служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Как показывает опыт, для широкого круга диэлектриков поляризованность линейно зависит от напряжённости электрического поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то

, (1.22)

где - диэлектрическая восприимчивость вещества. Диэлектрическая восприимчивость - безразмерная положительная величина, характеризующая свойства самого диэлектрика.

Постоянный электрический ток. Электрический ток представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность (например, через сечение проводника). Количественной мерой электрического тока служит сила тока, т.е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность в единицу времени:

. (1.23)

Единицей силы тока является ампер (А).

Электрический ток может быть неравномерно распределен по поверхности, через которую он протекает. В этом случае используют понятие вектора плотности тока . Модуль этого вектора численно равен отношению силы токачерез элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей тока, к её площади, т.е.. За направление векторапринимают направление вектора скорости упорядоченного движения положительных носителей (или для металлов – направление, противоположное направлению движения электронов). Сила тока через поверхность:

. (1.24)

Сила тока – скаляр, а ее знак зависит от выбора нормали к поверхности .

Для расположенной в проводящей среде, где течет ток, замкнутой поверхности выполняется:

. (1.25)

Выражение (1.25) называют уравнением непрерывности и оно отражает закон сохранения электрического заряда.

Закон Ома в дифференциальной форме. Для изотропного проводника плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля:

. (1.26)

Обобщенный закон Ома. Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электростатического поля, то положительные заряды переместились бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные двигались бы в противоположном направлении. Это привело бы к выравниванию потенциалов - и ток бы прекратился. На самом деле в цепи постоянного тока имеются участки, на которых перенос положительных носителей осуществляется в сторону возрастания потенциала за счет действия т.н. сторонних сил, обусловленных химической и физической неоднородностью проводника – соприкосновение разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и т.д.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил . Под действием электрического поля и поля сторонних сил плотность тока

(1.27)

Выражение (1.27) – обобщенный закон Ома.

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Для тонкого провода, когда направление тока совпадает с направлением оси провода и плотность тока одинакова во всех точках сечения, выбрав направление элемента провода от сечения 1 к сечению 2 , деля на и интегрируя по длине провода, из (1.27) можно получить

. (1.28)

Левая часть (1.28) есть произведение сопротивления участка цепи на силу тока в нем , первый интеграл в правой части – разность потенциалов, а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (э. д. с.), действующую на участке 1-2. Если э. д. с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении, то. Таким образом

, (1.29)

что выражает закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи.